一元二次型不等式恒成立问题初探

上海市行知中学 陈建华

一、教学目标

(一)知识与技能

1.理解一元二次型不等式恒成立问题.

2.理解“存在”与“任意”.

3.能够尝试着解决一些简单的一元二次不等式恒成立问题.

(二)过程与方法

1.在问题的探究过程中,体会不等式、函数、方程之间的紧密联系.

2.经历数学探究活动的过程,提高学生分析问题与解决问题的能力.

(三)情感、态度与价值观

1.在问题的探索过程中,增强学生探索的精神.

2.通过问题的辨析,促进学生的数学思辨意识.

二、教学重点与难点

(一)教学重点

1.一元二次型不等式恒成立问题的理解.

2.“存在”与“任意”的区分.

(二)教学难点

“存在”与“任意”的区分.

三、教学方法与教学手段

(一)教学方法

以学生为主体,问题为驱动,引导探究,启发式教学.

(二)辅助教学手段

多媒体辅助教学.

四、教学流程设计

1.复习旧知,引入课题.

2.问题提出,思考辨析.

3.问题再探究与提升.

4.课后练习,实践巩固.

五、教学过程

(一)课本问题展示,问题引入

1.课本P38例8,如图1-5所示:当 k 为何值时,关于 x 的一元二次不等式 x ² +( k -1) x +4>0的解集为(-∞,+∞)?

学生A: 只要Δ<0.

教师: 很好,解集为 R ,不等式对应的一元二次函数图像必须在 x 轴上方,所以不等式对应的一元二次方程的根的判别式Δ<0.这是课本P38例8.

教师: 我们再来看这么一个问题.

同时,PPT展示练习册问题及学生的典型错误样本.

2.练习册P17的B组3,如图1-6所示,当 k 取何值时,关于 x 的不等式2 kx ² + kx - <0对于一切实数 x 都成立?

教师作简单点评,提醒学生注意对字母的分类讨论.

教师: 在这两个问题中,比较一下“不等式解集为 R ”与“不等式对于一切实数 x 都成立”意思是否相一致?

学生B: 意思相同.

(二)一元二次型不等式恒成立问题

1.问题的理解与比较

PPT问题展示:试比较下列问题表示的意思是否相同?

①当 k 为何值时,一元二次不等式 x ² +( k -1) x +4>0的解集为(-∞,+∞)?

②当 k 为何值时,一元二次不等式 x ² +( k -1) x +4>0对于一切实数 x 都成立?

③当 k 为何值时,对任意 x ∈ R ,都有一元二次不等式 x ² +( k -1) x +4>0成立?

④当 k 为何值时,对任意 x ∈ R ,一元二次不等式 x ² +( k -1) x +4>0恒成立?

学生C: 都相同.

2.一元二次型不等式恒成立问题

教师: 对于上述四个意思完全相同的问题,我们选取其中一种表述方式为规范的问题表述,称其为“一元二次型不等式恒成立问题”.更为一般地,我们也可以把一元二次型不等式恒成立问题中的 x 取值范围变为实数集的某个子集.

一元二次型不等式恒成立问题:

(1)对任意 x ∈ R ,都有 ax ² + bx +c +c>0(或≥0,或<0,或≤0)成立,求系数中字母取值范围.

(2)对任意 x ∈ I ( I 是 R 的子集),都有 ax ² + bx +c +c>0(或≥0,或<0,或≤0)成立,求系数中字母取值范围.

3.对一元二次型不等式恒成立问题的再理解

PPT问题展示:思考下列问题并作答.

①当 k 为何值时,对任意 x ∈ R ,都有 x ² +( k -1) x +4>0成立?

②当 k 为何值时,存在(至少存在一个) x ∈ R ,使得 x ² +( k -1) x +4≤0成立?

③当 k 为何值时,有且仅有一个实数 x ,使得 x ² +( k -1) x +4≤0成立?

④当 k 为何值时,存在无数个实数 x ,使得 x ² +( k -1) x +4≤0成立?

解:①Δ=( k -1) ² -16<0 k ∈(-3,5).

②Δ=( k -1) ² -16≥0 k ∈(-∞,-3]∪[5,+∞).

③Δ=( k -1) ² -16=0 k ∈{-3,5}.

④Δ=( k -1) ² -16>0 k ∈(-∞,-3)∪(5,+∞).

教师: 对于这4个问题,首先是要搞清题意,对于问题中的“任意”和“存在”要理解清楚.①中任意 x ∈ R 就是所有的实数 x ;②中存在 x ∈ R 就是有实数 x ,实数 x 的个数可以是一个,也可以是多个,甚至更多;③中有且仅有一个实数 x 就是实数 x 的数量只能是一个,不能出现其他情况;④中存在无数个实数 x 就是实数 x 的数量必须是无穷个,不能是有限个.然后,利用一元二次不等式对应的一元二次函数图像,当一元二次函数与 x 轴交点个数为0,1,2时,通过观察,何时分别对应符合①②③④的题意.我们要学会区分“任意”与“存在”不同.

PPT问题展示:我们学习过的哪些概念中有“任意”或“存在”?

教师: 我们学习过的第一章和第二章中哪些概念中有“任意”或“存在”?

学生浏览课本.

学生搜寻到的答案:子集、集合相等、真子集、交集、并集、补集.

教师: “任意”即“任何”“所有”,“存在”即“有”.子集、集合相等、真子集、交集、并集、补集中都有“任意”,真子集中还有“存在”.对于理解“任意”和“存在”不能只看表面文字,需要深入准确地理解文字的意思.

(三)简单的一元二次型不等式恒成立问题探究

问题一:若对任意正实数 x ,不等式 x ² - kx +1>0恒成立,求实数 k 的取值范围.

学生: Δ<0.

教师: 是这样吗?请注意审题,是“正实数 x ”,不是“实数 x ”.

学生再思考.部分学生对问题入手出现困难.

教师: 请观察一下不等式对应的二次函数开口方向和对称轴,尝试着画一些满足题意的二次函数图像.

教师板书,在黑板上画了几个满足题意的二次函数草图,如图1-7所示.学生和教师共同完成解答.

解令: f ( x )= x ² - kx +1,二次函数的对称轴为 x = k .当 >0=时,Δ k ² -4<0,解得0< k <2;当 ≤0=时, f (0)=1≥0恒成立,解得 k ≤0.综上, k ∈(-∞,2).

教师: 对于一元二次型不等式恒成立问题,当 x 的取值范围为非一切实数的时候,我们要尤其注意.我 y 们知道一元二次不等式、一元二次函数和一元二次方程三者之间的紧密联系.在此类一元二次型不等式恒成立问题中,我们需要借助一元二次函数,研究它,一般的入手顺序是开口方向、对称轴以及它与 x 轴的交点情况,而不是简单的一个Δ<0就可以了.

问题二:若对任意的 x ∈[1,4],都有 x ² -4 x - a +1<0成立,求实数 a 的取值范围.

学生: 没有思路.

教师: 请观察一下不等式对应的二次函数开口方向和对称轴,尝试着画一些满足题意的二次函数图像.

教师板书,在黑板上画了几个开口向上,对称轴为 x =2的二次函数草图,如图1-8所示.

教师: 在草图中,二次函数图像能否过点(4,0)?

学生和教师共同完成解答.

解:令 f ( x )= x ² -4 x - a +1,二次函数的对称轴为 x =2,由二次函数图像可得, 解得 a ∈(1,+∞).

(四)课后思考与练习

1.若对一切 x ∈ R ,( a ² +4 a -5) x ² -4( a -1) x +3>0恒成立,求实数 a 的取值范围.

2.若存在 x ∈ R ,使得( k -5) x ² -(5- k ) x +10<0成立,求实数 k 的取值范围.

3.若对任意 x ∈[1,2],都有 x ² + tx - t >0成立,求实数 t 的取值范围.

六、教学设计说明

(一)教学内容分析

不等式是高中数学代数与方程中的重要内容之一.不等式恒成立问题是不等式各类问题中的一类重要问题,也在历年的高考中屡见不鲜.本节课由高一数学第二章中一个不等式例题引入,然后进行深入的探究与适度的拓展.本节课的目的在于促使高一学生理解一元二次型不等式恒成立问题、理解“存在”与“任意”并能够尝试着解决一些简单的一元二次不等式恒成立问题,为以后不等式恒成立问题的深入学习做好准备.

(二)学情分析

高一学生在学习了第一章《集合与命题》及第二章《不等式》后,逻辑思维能力有了更进一步的提高,对运用函数思想处理不等式问题有了初步了解,对一元二次型不等式在实数集上恒成立问题也有了接触,但是学生对于处理复杂的不等式恒成立问题所需的知识基础还不具备,对于不等式恒成立问题的认识是懵懂的.这节课的学习目的在于学生能够初步理解一元二次型不等式在实数集或其子集上恒成立问题,会解决一些比较简单的一元二次型不等式恒成立问题,为以后更进一步地学习不等式恒成立问题打下坚实的基础.

(三)教法与学法分析

基于“问题导学”的教学理念,通过问题引导、学生主动探究,教师指导学生学习.从高一课本中的一个不等式例题出发,并复习回顾学生以前做过的练习,在复习强化的同时,引入本课主题.以问题对比的形式引出一元二次型不等式恒成立问题,然后又以问题探究的方式,强化对一元二次型不等式恒成立问题进一步的理解.通过一系列的问题链,学生由学习过的问题自然地进入新问题的研究中,在新问题和旧知识的认知冲撞中,收获新的认识.然后学生又通过主动搜寻回顾第一章所学习的概念,不仅强化对“任意”与“存在”的理解,同时还提升了对已经学习过的知识的再理解与认识,从而达到本节课的一个重要教学目标.在这个过程中,学生们主动探究,分享各自的观点,教师从旁加以引导与指导,从而达到认知上的提升.在学生对一元二次型不等式恒成立问题有了一定认识与理解的基础上,再通过问题的探究,进一步提升学生对一元二次型不等式恒成立问题处理的能力,学生在通过探究一元二次型不等式在某个区间(非实数集)上恒成立问题,感受函数思想在处理不等式问题中的应用.在这个环节中,学生尝试探究,遇到困难,分享思路想法,教师指导点拨,再探究,形成问题解决方案,互相分享,提升认识.本节课的学习为以后更深入地学习不等式恒成立问题打下了良好的基础.

七、板书设计

八、课堂反思

问题是数学的心脏,本节课的问题源于教学实践中,起源于高考热点问题,由课本中的问题引入、展开、深入.基于高一学生的现有知识结构和认知发展水平,一些学生在学习和解决不等式恒成立问题及相关问题中所暴露出的问题与困扰——学生更多地注重解决问题的方法与技巧,忽视对问题的理解,尤其是对“任意”与“存在”的理解,当问题发生微妙的变化时,学生在解决问题时选择的方案往往与问题的初衷大相径庭.因此,本节课的重点设置为一元二次不等式恒成立问题的理解,以及对“任意”与“存在”的理解.

在本节课教学实践中,始终本着“问题导学”的教学理念.在教学的各个环节中,均依托问题为引导,以学生为主体,同时又在教师的引导下,学生积极地进行学习与探索,都比较好地完成了预设的教学目标.在“(二)”中的“3”教学环节中,在①②③④这些问题的探究中,一部分学生对于问题②④的探究还是存在一些困难,但在学习的互动中,经过几个学生发言交流与讨论试解,最终成功突破并解决问题.在完成①②③④问题的探究后,回归课本,通过寻找已学习概念中的“任意”与“存在”检验学习效果,在此教学小环节中,学生找到的概念比教师预期的更多,并且他们对于找到的这些概念中“任意”与“存在”的理解与阐述已经不仅仅是停留于文字表面,达到了预设的目标,取得了较好的教学效果.

问题从课本和实践中来,然后又回归到课本中去,现在众多的学生在学习的过程中过多地追求方法与技巧,而忽视对问题和概念的理解与认知,甚至舍弃课本,通过这样的教学设计,旨在引导学生在学习和解决问题中重视本源——对问题和概念的理解以及对课本的研读.

对于“(三)”教学环节的设计,基于学生现有的知识结构,主要利用一元二次函数来解决问题,让学生体会不等式、函数、方程之间的紧密联系,同时也为以后不等式恒成立问题的深入学习做一些铺垫工作.在此环节中,两个问题中x的取值范围不再是一切实数,难度发生了变化,学生存在困难较多,学生之间、师生之间的教学互动没有之前的那么流畅,这里教师的问题引导与点拨需要更多的打磨.

九、专家点评

陈建华老师的这节课是一节基于课本问题深入拓展的基础型课.不等式恒成立问题是高中数学教学中的一类重要问题,也在历年的高考中屡见不鲜,解决好这类问题需要学生具备一定的分析问题、解决问题的能力,能够进行问题转化,对函数思想的运用比较熟练,有时也要借助数形结合的思想来解决问题以及其他一些手段,这些都是需要一定的知识储备为基础的.当高一学生刚刚学习完第一章和第二章时,要完全能够学会处理解决好不等式恒成立问题显然是很困难的.但是,此时也正好是学生接触不等式恒成立问题的开端,问题以课本例题为契机,主题的引入时机恰当自然,又兼顾了对已学知识的巩固.同时又是以问题引导,得出什么是一元二次型不等式恒成立问题,注重理解,不停留于文字表面,抓住“任意”与“存在”,教学重点设置恰当.在这个教学环节的设计中,又让学生回顾学习过的哪些概念中有“任意”或“存在”,在学习新知和回顾旧知中,学生对知识的理解水平得到充分提升,这是本节课的一大亮点.在此教学环节中,通过不断的比较和回顾,教学重点得到充分的解读与分解,同时教学难点也合理巧妙地得到了突破.简单的一元二次型不等式恒成立问题探究环节,是对问题延伸和继续,同样基于问题引导学生探究,针对学生的知识与认知的基础,问题拓展有度,而不是一味地追求问题的深度与广度.

在这节课的教学过程中,教学氛围融洽和谐,学生在一环紧扣一环的问题引导下,学习、探索的热情和积极性得到充分的激发,能够主动探究,互相分享各自观点,互相启发,同时在教师的合理引导下,教学节奏张弛有度,从学生的课堂反馈就可以看到,学生探究问题的效率与效果都不错.教师板书规范、教态亲切、富有感染力、语言简练、生动形象、有启发性,能帮助学生认识学习规律,端正学习动机,激发学习兴趣,掌握科学的学习方法,养成良好的学习习惯.在提问和引导过程中,教师能够挖掘学生的内在因素,并加以引导、鼓励.在教学过程中,教师能够运用多媒体课件提高课堂效率.

纵观本课,一是抓住以学生为主,调动学生积极思考;二是学生受益面大,各层次的学生在知识与方法和思维与认知方面都有提高,三维目标达成度高. x3cK22/B0OwKUTjNjnv0zVE3hdxPvrYDgO2Zu1JztstUh6WeUyEtHY2xX9lBvrZR