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1.掌握两个基本不等式,并掌握其应用条件和等号成立的条件.
2.理解基本不等式的几何解释,能运用基本不等式解决一些简单问题.
在公式的探究过程中,体会代换、等价转化的数学方法,以及数形结合的数学思想.
1.通过实例引入,领会数学在实际生活中的重要价值,激发学生的学习兴趣.
2.设置问题,逐步探究,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的探索精神.
两个基本不等式的探索与证明.
两个基本不等式的几何意义及其应用.
以学生为中心,问题为驱动,引导探究,启发式教学.
多媒体辅助教学.
说明: 1.通过实例引入,让学生感受数学与生活的联系,激发学生学习的兴趣.
实例引入:(PPT展示)
图1-3
三国时期吴国的数学家赵爽创制了弦图,并且巧妙地利用弦图中的面积关系证明了勾股定理.同学们现在看到的是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标(图1-3),这个会标设计源于古代弦图,它的色调明暗相间看上去像一个风车.今天我们也来研究一下弦图.
图1-4
将上述的“风车”抽象成正方形(图1-4),正方形中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为
a
、
b
,那么大正方形的边长为
,此时四个直角三角形的面积和为
,大正方形面积为
a
2
+
b
2
.
2.通过利用弦图中相关面积间存在的数量关系,使学生由形识数,引导学生从几何图形中抽象出基本不等式1的代数形式.
请同学仔细观察图像,并思考以下问题:
问题1:图中大正方形的面积与四个直角三角形的面积满足什么关系?
学生: 图中大正方形面积大于四个直角三角形的面积和,即 a 2 + b 2 >2 ab .
问题2:直角三角形的面积和是否会等于大正方形的面积?何时相等?
学生: 中间的小正方形缩为一个点时,面积相等.
教师: (教师演示动态图形)于是可以得到:当 a = b 时, a 2 + b 2 =2 ab .
问题3:从问题1、2中,我们可以得出什么结论?如何证明你的结论?
学生: a 2 + b 2 ≥2 ab ,当且仅当 a = b 时等号成立.
教师: 根据上面的几何背景,我们已初步形成不等式的结论.我们能不能用代数方法来证明这个结论呢?
学生: 可以用作差法来证明不等式成立.
(教师与学生共同完成证明)
证明: a 2 + b 2 -2 ab =( a - b ) 2 ≥0
当 a = b 时, a 2 + b 2 =2 ab ;
当 a ≠ b 时, a 2 + b 2 >2 ab .
所以, a 2 + b 2 ≥2 ab ,当且仅当 a = b 时等号成立.
(教师解释“当且仅当”的含义)
由此,我们得到了一个重要的不等式,称为基本不等式1:
对任意实数 a 、 b ,均有 a 2 + b 2 ≥2 ab ,当且仅当 a = b 时等号成立.
3.通过用 a 、 b 代换直角三角形两直角边长,推导出基本不等式2,让学生体会代换的数学思想.
问题4:在图1 4中,如果设直角三角形的两直角边分别为
、
,那么上述不等关系该怎么表示?
学生:
教师: 这个不等式中, a 、 b 有没有限定条件?
学生: 有, a 、 b 应该都是非负数,即 a ≥0, b ≥0.
教师:
非常好,通过分析,我们便得到了,对任意非负数
a
、
b
,都有
成立,如何证明呢?
学生: 证法一:(作差法)
当且仅当
,即
a
=
b
时,等号成立.
(引导学生利用基本不等式1进行等价转化来证明基本不等式2)
4.运用基本不等式1进行等价转化来证明基本不等式2,让学生体会等价转化的思想.
学生: 证法二:(利用基本不等式1)
a
、
b
∈
R
+
,所以
a
=(
)
2
,b=(
)
2
.由基本不等式1知,(
)
2
+(
)
2
≥
,当且仅当
,即
a
=
b
时,等号成立.这个不等式,我们称为基本不等式2:
对任意
ab
、∈
R
+
,均有
,当且仅当
a
=
b
时等号成立.
教师:
我们把
和
分别叫作正数
a
、
b
的算术平均数和几何平均数,因此基本不等式2也可以描述为:两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.
说明:(1) 两个基本不等式的使用条件不同,基本不等式1适用于一切实数,而基本不等式2只适用于正实数.
(2)两个基本不等式都是带有等号的不等式,对于“当且仅当 a = b 时,等号成立”这一充要条件要深入理解.
(3 )不等式
可变形为
, 要注意不等式的逆向使用.
5.指出基本不等式的使用条件、不等关系、等号成立的条件,三者是一个整体,在使用时必须三者同时考虑.
练一练:判断下列命题的真假.
1.已知
a
、
b
∈
R
,若
ab
≠0,则
≥
.
2.已知
a
、
b
∈
R
,若
ab
>0,则
a
+
b
≥
.
3.因为
,所以
的最小值为2.
6.从实例出发,让学生感知基本不等式在实际生活中的应用.
在客观世界中,有些不等关系是永远成立的.例如,在周长相等的所有矩形中,正方形的面积最大.如何证明这个结论成立呢?
将此问题数学化:设矩形的长和宽分别为
a
和
b
(
a
、
b
为正数),则同样周长的正方形的边长为
,
2矩形的面积
S
=
ab
,正方形的面积
S
'=
.
利用基本不等式2,得
>0.
又由不等式性质7,得
≥(
)
2
,即
S
'≥
S
.
教师: 我们将实际问题转化为数学问题,然后利用基本不等式2给出了它们的面积之间的关系.
7.通过这道题目的探究,巩固对基本不等式的理解及应用.
例1 已知
ab
>0,求证:
,并指出等号成立的条件.(学生思考,讨论)
学生:
利用基本不等式2,把
看作基本不等式2中的
a
,把
看作
b
.
(教师板书,规范解题步骤)
证明:∵
ab
>0,∴
a
,
b
同号,且
>0,
>0.
∴
,
当且仅当
=
,即
a
=
b
≠0时等号成立.
教师: 请同学们观察例1,尝试用语言描述例1的结论.
学生: 任意一个正数和它的倒数之和大于等于2.
8.通过设置两个思考问题,让学生进一步认识使用基本不等式的条件限制.
思考1:若把例1中条件“ ab >0”改为“ ab <0”,上述结论还成立吗?
学生: 不成立,因为当 ab <0时,不再满足基本不等式2的使用条件.
教师: 我们能不能创造条件来运用基本不等式2呢?
学生:
通过乘以-1,转化为正数来运用,即
≥2
=2,则
+
≤-2,当且仅当-
=-
,即
a
=
b
时等号成立.
教师: 碰到小于零的数,通过乘-1转为正数,再利用基本不等式2.
思考2:若把条件改为“ ab ≠0”,结论又将怎样?
学生: 需分情况讨论,当 ab >0时,即例1;当 ab <0时,即思考1.
9.设置课后再探究,旨在让学生从不同角度认识不等式的实质,培养学生的发散思维.
1.请学生归纳总结本节课所学内容.
知识:两个基本不等式及其简单应用.
思想方法:数形结合、等价转化、代换等数学思想.
2.课后再探究:对于基本不等式2,我们已经从代数角度给出了证明,那么它是否有相应的几何解释呢?
3.作业布置:课本P43,2.4(1)/1,3,4;练习册P19/1,2,3.
本节课是沪教版高中数学一年级第一学期第二章《不等式》中“基本不等式及其应用”第一课时.基本不等式及其应用是高中教材中一个重要内容,虽然基本不等式本身的证明并不困难,但是在不等式的证明和求函数最值中有广泛的应用,因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式都是十分重要的.本节课利用几何图形,通过设置问题,探究分析,得出两个基本不等式,在探究和证明过程中,渗透了数形结合等的数学思想,培养了学生分析问题、解决问题的能力.
通过前面的学习,学生已经掌握了如何比较两个数或代数式的大小,以及不等式的一些基本性质,本节课利用数形结合从几何图形中抽象出了两个基本不等式,这对学生而言有一定的难度,因此设计以问题呈现的方式,引导学生思考,根据学生的反应,灵活变通,帮助学生突破思维难点.
本节课主要采取“创设情境,探究分析”的教学方式,以问题为主,师生共同探索,互动学习,进而达到掌握知识的目的.在教学过程中,不断引导启发学生,让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题.在基本不等式的应用中,通过例题的不同变式帮助学生掌握公式的结构特点,使学生充分认识到不等式应用过程中应注意的问题,能够准确灵活地应用基本不等式来解决问题,进而突破教学重难点.
本节课是“基本不等式及其应用”的第一课时,从第24届国际数学家大会会标开始引入新课,从实际问题出发,让学生对基本不等式从形上加以认识,激发学生学习的兴趣.借助几何图形,通过层层设疑,师生合作,共同探究,让学生逐渐明白公式的来龙去脉,引导学生从直观的图形中归纳总结出基本不等式.在整个探究分析的过程中,既能够让学生掌握新的、有用的知识,又可以有效地提高学生分析问题、解决问题的能力.
反思本节课,基本完成了教学任务.在教学过程中,以问题为核心,旨在通过问题的落实而归纳总结出两个基本不等式,与学生互动比较充分,但是,在学生思维展开和引导层面上做的还不到位,有待改进.另外,例题选讲中主要针对基本不等式的使用条件进行了具体的分析,对于等号成立的条件的分析尚不够透彻.这些在以后的教学过程中,都应该加以改进.
本节课是“基本不等式及其应用”第一课时,主要内容是两个基本不等式,教师利用第24届国际数学家大会会标,即弦图,引入本节课内容,让学生很好地感受到数学与生活实际的联系,能够激发学生的学习兴趣.接下来,应用几何画板让该图形动起来,让学生更直观地观察到弦图中不同图形面积间的数量关系,让学生经历了基本不等式的概念形成过程,体会数形结合的数学思想.通过具体的感性信息的呈现,能给学生留下更为深刻的印象,使学生不是把数学作为单纯的知识去理解,而是能够更有效地去把握它,这既能培养学生的兴趣,又能大大提高课堂效率.
整节课的教学过程,以问题为核心,问题设计合理,教师通过问题的落实引导学生归纳总结出两个基本不等式,并且对两个基本不等式的使用条件、不等关系和等号成立条件进行了分析,这能够帮助学生更深刻地认识两个基本不等式.整节课,与学生互动也比较充分,大部分的内容都是在教师的引导下由学生自主总结完成,这有助于激发学生的自主思维,使学生能够充分进入课堂环境中,教师与学生的互动不仅有利于学生学习知识,对教师而言也是一个提高自身、不断适应教学发展的过程.