下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
1.知道可以通过将一元二次不等式转化为一元一次不等式组进行求解,体会转化与归类的数学思想.
2.掌握从一元二次函数的图像中寻找一元二次不等式解集的方法,熟悉解一元二次不等式的一般步骤.
3.深刻理解“三个二次”的关系,体会数形结合的思想方法.
通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法.
1.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的,树立辩证的世界观.
2.激发学生学习数学的热情,培养学生勇于探索、勇于创新的精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.
一元二次不等式的解法,“三个二次”(一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数)之间的关系.
“三个二次”(一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数)之间的关系.
理解并掌握利用一元二次函数的图像确定一元二次不等式解集的方法——图像法,其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解,不等式的解集与函数图像上对应点的横坐标的内在联系.由于初中没有专门研究过此类问题,高一学生比较陌生,要真正掌握有一定的难度,所以是本节课的难点.
以学生为中心,问题为驱动,引导探究,启发式教学.
多媒体辅助教学.
说明: 1.通过回顾一元一次不等式的解法,为接下来引出一元二次不等式的解法作铺垫.
教师: 我们上节课学习了一元一次不等式的解法,学习过程中我们探索了两种方法,它们分别是什么呢?
学生: 利用不等式性质求解(代数法)和利用一元一次函数的图像求解(几何法).
教师: 代数法的本质是?
学生: 利用不等式的基本性质对不等式进行变形.
教师: 那么大家认为几何法的本质是?
学生: 数形结合,从图像角度来解决不等式的解集问题.
教师: 利用几何法求解不等式的步骤是什么?
学生: 求根—作图—确定解集.
教师: 在探索几何法的过程中,我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一元一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种集中反映在相应一元一次函数的图像上的联系我们快速准确地求出一元一次不等式的解集,发现和体会了数形结合思想为我们求解不等式带来的便利.
2.这里同学们大部分都使用代数解法来解决,对于借助数形结合思想来解决问题的意识还不够强烈,需要在接下来的教学中适当引导,增强学生使用数形结合的意识.
教师: 今天我们来探讨另外一类不等式的解法,叫一元二次不等式.首先我们来看一下一元二次不等式的概念:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的整式不等式叫一元二次不等式.它的一般形式是 ax 2 + bx + c >0( a ≠0)或 ax 2 + bx + c <0( a ≠0).
教师: 对一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0( a ≠0),如何求解?这就是我们今天要探索的问题.(板书课题:一元二次不等式的解法)
3.通过例题,让同学们感受使用因式分解转化为一元一次不等式组不一定方便,引导学生从图形角度解决问题.
例1 请同学们探索一元二次不等式 x 2 -3 x -4<0的解集.
学生解:原不等式因式分解为( x -4)( x +1)<0.
由①,得 x >4且 x <-1,所以 x 无解;
由②,得 x <4且 x >-1,即 x ∈(-1,4).
于是这两个解集的并集(-1,4)即为不等式 x 2 -3 x -4<0的解集.
教师: 同学们在这里利用两个因式异号,准确地进行了分类讨论,将一元二次不等式转化成两个一元一次不等式组,利用不等式性质求得了这两个不等式组的解,从而得到了这个一元二次不等式的解集.还有其他方法吗?
小组讨论,总结解题思路.
解法二:将不等式与二次函数: y = x 2 -3 x -4联系:
①找到图像与 x 轴的交点-1和4,
即 y =0时方程 x 2 -3 x -4=0的两根.
②画出函数 y = x 2 -3 x -4的图像,如图1-1所示.
图1-1
③ x 2 -3 x -4<0即y<0,所以对应于图像在 x 轴下方部分的 x 的取值范围.由图可知, x 的取值范围是-1< x <4.
教师: 在这种解法中,同学们将不等式 x 2 -3 x -4<0与对应的二次函数 y = x 2 -3 x -4联系起来,通过观察二次函数的图像,计算图像与 x 轴交点的横坐标,从而得出该不等式的解集.
教师: 同时我们发现,将不等式改为 x 2 -3 x -4>0,也完全可以借助这种数形结合的方法来求得解集.
教师: 那我们接下来就深入探讨用数形结合方法求解一元二次不等式.
4.在总结一元二次不等式解法的一般过程中,需要强调这两个结论使用的前提是先将二次项系数转化成 a >0,否则的话就应该画出对应一元二次函数图像,结合图像来解题.
例2 对于二次函数 y =-3 x 2 +5 x +2,当 x 取何值时, y =0, y >0, y <0?
小组讨论,对比代数和几何两种解法,并投影展示.
解法一:分解成两个因式,转化为一元一次不等式组求解.
解法二:第一步:通过解方程,求出
y
=-3
x
2
+5
x
+2与
x
轴的两个交点,
和(2,0).
第二步:画出图像,如图1-2所示.
图1-2
第三步:观察图像,得出结论.
当
y
=0时,
x
=-
或
x
=2;
当
y
>0,即-3
x
2
+5
x
+2>0 时,-
<
x
<2;
当
y
<0,即-3
x
2
+5
x
+2<0时,
x
<-
或
x
>2.
教师: 通过以上两个例题我们发现,解一元二次不等式与对应的一元二次函数图像有关.我们请同学总结一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0或 ax 2 + bx + c <0( a ≠0)的一般解法.
学生: 画出函数 y = ax 2 + bx +c的图像,找到对应方程 ax 2 + bx + c =0的两根 x 1 、 x 2 ;对比不等式,取 x 轴上方或者下方的图像对应的范围,得到不等式的解集在两根之间或者两根之外.
教师: 对应方程一定有两个根 x 1 、 x 2 吗?有两根的话,这两根一定有大小吗?
学生: 不是的,只有当方程的判别式Δ>0时,方程才会有两个不相等的实数根 x 1 、 x 2 .所以要增加这个条件.
教师: 对于不等式 ax 2 +b+ c >0,它的解集在两根之间还是两根之外?
学生: 取决于二次函数图像的开口方向.当开口向上,即 a >0时,解集在两根之外;当开口向下,即 a <0时,解集在两根之间.
教师: 这两种情况可以合并吗?
学生: 可以.在作图之前先利用不等式的性质将二次项系数变为正数.
教师: 那么接下来请同学们将一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0或 ax 2 + bx + c <0( a ≠0)的一般解法再完整地总结一次.
学生总结,教师补充:
(1)使二次项系数 a 大于零;
(2)当Δ>0时解出相对应的一元二次方程的两个根 x 1 , x 2 ,不妨设 x 1 < x 2 ;
(3)不等式 ax 2 + bx + c >0的解集是(-∞, x 1 )∪( x 2 +∞),不等式 ax 2 + bx + c <0的解集是( x 1 , x 2 );
(4)若不等式的不等号为“≥”或“≤”,则解集作相应改变,即把图像与 x 轴交点的横坐标也并入解集之中.
教师: 当然,我们今天所举的所有例子中,图像与 x 轴都是有两个交点的,即Δ= b 2 -4 ac >0,这个前提是很重要的.
5.前两题请同学回答,过程中教师注意引导学生按照解法的步骤,并由教师在黑板上板书,以此对学生的解题格式做一个示范.第三题请同学板演.
练习:1. (5- x )( x -2)<0.
2.3 x 2 +7 x +2>0.
3.2 x 2 + x -2>0.
教师: 通过这节课的学习,我们发现总是可以通过对应的一元二次函数的图像来解决一元二次不等式的解集问题.请同学们填写学案上的表格,完成对本节知识的总结.
学生活动:请同学共同完成课堂小结.
教师: 本节通过一元二次函数的图像,联系一元二次方程及一元二次不等式解集,给出了解一元二次不等式的方法,即先把二次项系数化成正数,再根据对应的一元二次方程的根的情况,结合不等号的方向,写出不等式的解集.在学习这部分知识的过程中,同学们要注意体验其所蕴含的数形结合、函数、方程、化归及分类讨论的思想方法.
练习册:习题2.2A组1,2.
“一元二次不等式的解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展,也是求解其他不等式,如分式不等式、一元高次不等式的基础,具有很强的工具性,同时也要为下一章中函数的定义域和值域求解作铺垫.另外,这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数之间的内在联系和相互转化,蕴含着归纳、转化、分类讨论和数形结合等丰富的数学思想方法,能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识.
学生刚刚进入高中,初中曾经学习过一元一次不等式的解法,也学过一元一次函数和一元二次函数的基本知识,了解函数的图像,也掌握了求解一元二次方程的方法.但是对于这些知识的掌握不成系统,函数与图像应用更是他们的薄弱之处,同时也缺乏知识迁移、转化、归纳的能力.但是这个阶段的学生求知欲强,思维活跃、敏捷,喜欢表现自我,有助于新知识的探索.基于这些,在学生初中知识经验的基础上,以旧探新;以一系列问题,促进主体的学习活动(如画图像、读图等),建构知识;探究解法过程中激励学生参与,在恰当时机进行点拨启发,练、导结合,讲、练结合;通过教师启发指导和学生自己领悟,实现学生对知识的主动建构;通过这些问题的解决,使学生逐步攀升,达到设定的三维目标.
本节课通过对一元一次不等式解法的复习,以旧带新引入一元二次不等式的解法问题.在引例中,比较多的学生首先想到的是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组进行求解,只有少数学生类比一元一次不等式的几何解法借助图像来做.但是通过第二个例子,学生们逐渐感受到有时转化法并非一定简捷,而借助一元二次函数图像来解决问题此时显得直观便捷得多,同时也注意到一元二次不等式的解集和对应的一元二次方程的根存在着某种联系.在这个基础上,教师和学生共同观察一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系,通过分析让学生明确“三个两次”之间的内在联系,明确只要找到方程的根,画出函数的图像,就可以观察图像得到对应的一元二次不等式的解集.有了这样的一个分析过程,学生就很自然地归纳出求解一元二次不等式的一般步骤,并能够运用到解题过程中去.在接下来的三个练习中,前两题采取学生讲教师在黑板上板演的方式,主要是为初学一元二次不等式解法的学生树立一个解题规范,而第三题直接让学生板演,既是检验知识的掌握,也是检验解题的规范.
教材上一元二次不等式及其解法是从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,继而探求其解法.根据学生的实际情况,直接引入不等式,重点放在它的解法上.首先对上一节课“一元一次不等式的解法”进行了复习,旨在让学生再次回顾求解过程中对于“三个一次”(一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式)相互关系的把握,为接下来“三个两次”的学习作铺垫.接着通过两个例题的设计,引导学生类比思考,归纳总结求解一元二次不等式的一般过程,明确第一步做什么,第二步做什么,最后做什么.整节课结束后感觉学生对于一元二次不等式的解法还是掌握得不错的,基本完成了预设的教学目标.当然,在解题规范及正确表达上可能还需要花费更多的时间来加强和巩固.
学生在求解一元一次不等式时,数形结合使用得很好,但是接下来的类比中,学生对于一元二次函数图像和不等式的联系理解得不够深刻,尤其是随机上来展示投影的几位学生,有一位学生用转化法求解但是一直没有求出对应的两根;画一元二次函数图像求解的三位学生中,有两位学生的图像画得都不太理想,其他学生中还有图像都没有画完整的,所以此处花费了太多时间,导致最后练习部分比较匆忙.所以通过这节课,以下两个方面是必须要改进的:
1.要充分做好各种课堂突发情况的预设.比如一元二次函数画图的问题,没有预设到初中生对于作二次函数图像的能力薄弱,在找学生展示之前应该找一个画好的学生作为备用,或者自己另外画一份一元二次函数的图像.这样就完全可以避免在此处三次找学生展示却效果不理想导致浪费好几分钟的上课时间.
2.在一个有效课堂中,调动学生的积极性还需要更多更好的方法.在学生数形结合碰到困难时,整个班级的积极性一下子消失了,学生们都处在认真思考却无人发言的状态中,课堂气氛一下子就没有了,这对后续水到渠成的新知识生成过程是一个很大的打击.同样,学生板演时如果遇到困难卡住,应该有更灵活的处理方式让学生能够继续下去.
下次再上这节课的时候,希望通过对每一个做得不足的细节进行改进,争取达到更好的教学效果.
本课设计合理,在学习新知识的过程中利用学生已有的知识,同时利用图像辅助分析,充分体现了数学研究问题的一般方法.课堂思维要求高,不一味追求课堂的热闹,而是给予学生充分的思考和解决问题的时间,表面看似乎效率不高,实则学生进入深层的思考与探究!老师教态自然,节奏控制适当,教学效果明显.