幂函数的性质与图像

复旦大学附属中学 施柯杰

一、教学任务分析

本节课的内容选自《数学》(高一年级第一学期)(上海教育出版社)第四章《幂函数、指数函数和对数函数(上)》的第一节“幂函数”.本节课是该章节的第一课时,学习幂函数的性质与图像.学习幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识及研究函数的方法,为今后学习其他函数打下良好的基础.

授课对象为复旦附中高一(4)班学生,该班学生学习态度比较认真,数学思维比较活跃,有一定的分析问题及解决问题的能力,但同时也存在着学习水平参差不齐,个体差异明显的问题.

二、教学目标

理解幂函数的概念,会用描点法画特殊指数的幂函数的图像,并通过函数图像归纳总结幂函数图像的变化规律及幂函数的性质,体会从特殊到一般的研究问题的数学方法.

三、教学重点与难点

(一)教学重点

幂函数概念的理解,用描点法作幂函数的图像,观察幂函数的定义域、值域及单调性、奇偶性等性质在图像上的表现.

(二)教学难点

由函数的图像概括出幂函数的性质,体会图像的变化规律.

(三)难点突破

利用几何画板演示函数图像的生成及变化过程.

四、教学技术与学习资源应用

使用PPT课件、几何画板.

五、教学过程

(一)复习引入

在上一节课学生们学习了有理指数幂, N = a ^b ( a >0, b = , m 、 n ∈ N *).我们规定: = , = .固定 b ∈ Q ,让底数 a “动起来”,则幂 N 也跟着“动起来”,即 N 随1底数 a 的变化而发生变化.得到如 的函数.你能发现这些函数解析式有什么共同点么?

(二)新课教学

幂函数的定义:一般地,函数 y = x ^k ( k 是常数, k ∈ Q 叫作幂函数,其中 x 是自变量.即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.

例1 下列函数哪些是幂函数?

1. y =2 ^x ; 2. y =1; 3. y = x ^-2 ; 4. y =2 x ; 5. y = x ² + x .

下面,我们就 k =0、 k >0和 k <0来研究幂函数.

(1)当 k =0时,函数 y = x ₀ 是什么函数?它的图像是怎样的呢?

(2)考虑 k >0的情形.

①当 k ∈ Z ⁺ 时, ,就指数 k 的奇偶性指出其代表函数,并快速说出它们的性质,填入下表.

②当 k 为正分数的,考虑 k = ( p 、 q ∈ N *,( p , q )=1, q >1)的情形.此时 y = x ^k = = .大家能举出一些形如这类函数的特殊函数吗?

例2 研究函数 y = 的定义域、值域、奇偶性和单调性,并且作出它的图像.请根据数 p 、 q 的奇偶性的情形,用描点法画出指定函数图像,并完成下面表格.

我们将上述3个函数图像画在同一直角坐标系内,得到如图1-23所示图像.

根据上表的内容并结合图像,试总结当 k >0时,幂函数 y = x ^k 的性质:

1)图像都经过点(0,0),(1,1);

2)函数在区间(0,+∞)上是增函数;

3)在第一象限,幂函数图像呈逆时针按指数从小到大分布;

4)函数图像不经过第四象限.

(3)再讨论 k <0的情形.

①当 k ∈ Z ^- 时, y = x ^k = ,就指数 k 的奇偶性指出其代表函数,并快速说出它们的性质,填入下表.

②当 k 为负分数时,考虑 k =- ( p 、 q ∈ N *,( p , q )=1, q >1)的情形.此时 y = = .

例3 研究函数 y = 的定义域、值域、奇偶性和单调性,并且作出它的图像.请根据数 p 、 q 的奇偶性的情形,用描点法画出指定函数图像,并完成下面表格.

我们将三个函数 的图像画在同一直角坐标系内,得到如图1-24所示的图像.

根据上表的内容并结合图像,试总结当 k <0时,幂函数 y = x ^k 有如下性质:

1)图像都经过点(1,1);

2)函数在区间(0,+∞)上是减函数;

3)在第一象限内,图像向上、向右与坐标轴无限接近,但永远无法达到;

4)在第一象限直线 x =1右侧,幂函数图像呈逆时针按指数从小到大分布;

5)函数图像不经过第四象限.

(三)课堂小结

1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图像都经过定点(1,1).

2.单调性:在区间(0,+∞)上,当 k >0时, y = x ^k 在每个象限内是增函数;当 k <0时, y = x ^k 在每个象限内是减函数.

3.奇偶性:当 k 为奇数时, y = x ^k 为奇函数;当 k 为偶数时, y = x ^k 为偶函数;

4.对于形如 k = ( p ∈ N *, q ∈ Z ,( p , q )=1)的幂函数:

(1)当 p 为偶数时, y = x ^k 为偶函数,图像关于 y 轴对称;

(2)当 p 、 q 均为奇数时, y = x ^k 为奇函数,图像关于原点对称;

(3)当 q 为偶数, p 为奇数时, y = x ^k 是非奇非偶函数,图像只在第一象限.

(四)作业布置

3.已知函数 f ( x )=( m ² +2 m )· , m 为何值时, f ( x )是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.

2.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性:

3.已知幂函数 f ( x )=x ^α 为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,A= ,试在集合 A 中确定满足条件的 α 值,并作出 f ( x )= x ^α 的大致图像.

4.若( m + a ) ^-1 <(3-2 m ) ^-1 ,试求实数 m 的取值范围.

5.已知幂函数 ( m ∈ Z )的图像与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,求 m 的值.

6.已知函数 f ( x )= ( m ∈ Z )为偶函数,且 f (3)< f (5),求 m 的值,并确定 f ( x )的解析式.

六、板书设计

七、专家点评

本课是一节概念课,为幂函数的第一节,学生此前对部分幂函数已有接触.教师在教学设计中充分利用了这一点,从已有的知识出发,从熟悉到陌生,从简单到复杂,符合逐次递进的思想,增强了学生的数学思考能力.课堂条理脉络清晰,对重点的把握和难点的突破处理得流畅.师生互动好,学生的积极性得以充分调动. f/dyLGb5dGKugdS9sSBA0XKof0SSS7bULb5HjlgLEzkdS1Y30Z1JcL8PEmEfuUXk