二次函数在闭区间上的最值问题

复旦大学附属中学 张 哲

一、教学任务分析

本堂课是高一年级的新授课,授课对象是复旦附中文理学院的学生.根据上海市数学学科的课程标准,学生已于初中阶段系统地学习过二次函数的图像与基本性质.本堂课的教学重点更侧重在引导和启发学生研究二次函数在闭区间上的最值问题.利用经典的例子结合多媒体技术引发学生的自主思考,锻炼学生的逻辑思维和形象思维能力,最终让学生完全了解和掌握这一类问题.

二、教学目标

1.简单复习二次函数的基本性质,回顾以前的知识.

2.引导思考和解决两类含参数的闭区间上二次函数的最值问题.

3.通过建立图像与函数的联系,进一步提高形象思维能力.

三、教学重点与难点

(一)教学重点

会求含参数的二次函数在给定闭区间上的最值和给定二次函数在变动闭区间上的最值.掌握和运用二次函数的曲线性质.

(二)教学难点

如何依据参数进行分类讨论,理解和想象参数变化情况下的图像变化.

(三)教学重点落实

通过典型例题的讲解让学生体会闭区间上二次函数的单调性质以及二次函数的最值规律.

(四)教学难点突破

通过复习二次函数的基本性质架起与新知识的桥梁,运用多媒体技术给学生以直观感受从而降低形象化思维的难度.

四、教学技术与学习资源应用

使用投影仪、PPT课件等多媒体设备.

五、教学过程

(一)复习二次函数 f ( x )= ax ² + bx + c ( a ≠0)的基本性质

引导学生回顾二次函数的对称轴、顶点解析式与判别式以及 a 、 b 、 c 的数学含义.

(二)研究给定二次函数在变动区间上的最值问题

1.从最简单的出发,提问学生给定二次函数在 R 上的最值.

2.给定一个二次函数,区间发生变动的情况下如何求解.

例1 求函数 f ( x )= x ² -2 x +1在 x ∈[ t , t +1]上的最值.

分析:根据区间[ t , t +1]相对函数 y = f ( x )的对称轴 x =1的位置关系确定函数的最大、最小值.难点在于如何进行分类讨论,根据两者的位置情况分成三类,分别是对称轴 x =1在区间[ t , t +1]的左边,对称轴 x =1在区间[ t , t +1]的右边以及对称轴 x =1在区间[ t , t +1]内三种情况.但是对称轴 x =1在区间[ t , t +1]内的情况需要根据对称轴 x =1离 t 或 t +1哪个更近再分类讨论,这往往是学生容易忽视的地方.

小结:这一类给定二次函数在变动区间上的最值问题,已知二次函数的开口方向和函数的对称轴,而区间在变动的问题需要分类讨论进行解决.

(三)研究含参数的二次函数在给定闭区间上的最值问题

1.引导学生思考含参数的二次函数在给定闭区间上的最值问题.

例2 求函数 f ( x )= x ² -2 ax +1在 x ∈[0,1]上的最值.

分析:解决含参数的二次函数在给定闭区间上的最值问题与解决给定二次函数在变动区间上的最值问题的方法类似,都需要从二次函数的对称轴相对区间的位置关系角度来进行分类讨论.与例1类似,形式上需要分成三种情况,实际上分成四种情况来讨论.

小结:这一类给定区间上的含参数的二次函数最值问题,已知二次函数的开口方向,函数的对称轴在变动的问题需要分类讨论进行解决.

2.让学生对问题求函数 f ( x )= x ² -2 ax +1在区间[0,1]上的最值进行小结.

3.提问:如果把问题改为求函数 f ( x )= x ² -2 ax +1在 x ∈(0,1)上的最值将如何解决?

(四)含参数的二次函数在给定区间上的最值问题的综合运用

例3 二次函数 f ( x )= x ² -4 x +1( a ≠0, a ∈R)在区间[0,1]上有最大值 M 和最小值 m , F ( a )= M - m ,写出 F ( a )的解析式.

分析:本题含参数的二次函数 y = f ( x )最大值和最小值是关于参数 a 的分段函数,讨论方法与例1类似, F ( a )就是参数 a 的分段函数.值得注意的是在 a 的值分别取正负数的时候,二次函数 f ( x )的开口方向发生了变化,进而会影响函数最大值、最小值的取值.

(五)课堂总结

利用两个最经典的闭区间上二次函数的最值问题让学生了解和掌握这类问题,第三个问题是作为这类问题的综合运用的形式呈现的.在解决这类问题的过程中分类讨论思想是贯穿其中的,也是最为重要的.让学生在研究这类问题的过程中体会分类讨论思想,引导学生进行形象化思维来思考为什么要进行分类讨论,如何进行分类讨论.例题的选择上也体现了解决该类问题的基本思想和核心要素,反映了二次函数的开口方向、对称轴与取值区间的关系.

(六)作业布置

1.已知函数 f ( x )= x ² -2 ax +2, x ∈[-4,6].

(1)当 a =-1时,求函数的最大值和最小值;

(2)求实数 a 的取值范围,使 y = f ( x )在区间[-4,6]上是单调函数.

2.求函数 f ( x )= x ² -2 ax +2 a ² ( a ∈R)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.

3.设函数 f ( x )=- x ² + , x ∈[ a , b ],且 f ( x )∈[2 a ,2 b ],其中 a < b ,求 a 、 b 的值.

六、专家点评

含参数的一元二次函数的最值问题是高中函数教学中的重难点,在处理的过程中一是要考查学生分类讨论的能力,二是要考查学生数形结合处理问题的习惯与能力,此外也要求学生对基本的知识做到充分理解.本节课利用三个很典型的例题,结合多媒体技术引发学生的自主思考,锻炼学生的逻辑思维和形象思维能力,在短短一节课的时间内让学生基本了解和掌握这一类问题,殊为不易. /V9aDwciB+cisrQmYrhtiw/q47CG0fuW4hu+hXXJ0XwU8Evap2wQJcT1bjZa9hZ5