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1.理解函数零点的概念.
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准备.
1.通过对二次函数图像的描绘,了解函数零点的概念,渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系.
2.通过对现实问题的分析,掌握函数零点存在性的判断.
1.体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.
2.在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值,发展学生对变量数学的认识,体会函数知识的核心作用.
通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
以学生为中心,问题为驱动,探究式教学.
几何画板、Excel软件.
问题1:求方程 x 2 -5 x -6=0的实数根,并画出函数 y = x 2 -5 x -6的图像.
解:方程 x 2 -5 x -6=0的实数根为-1,6.函数 y = x 2 -5 x -6的图像如图1-19所示.
图1-19
问题2:观察函数 y = x 2 -5 x -6与相应方程 x 2 -5 x -6=0在形式上的联系.解:函数 y =0时的表达式就是方程 x 2 -5 x -6=0.
问题3:由于形式上的联系,则方程 x 2 -5 x -6=0的实数根在函数 y = x 2 -5 x -6的图像中如何体现?
解: y =0即为 x 轴,所以方程 x 2 -5 x -6=0的实数根就是 y = x 2 -5 x -6的图像与 x 轴交点的横坐标.
设计意图:以学生熟悉的二次函数图像和二次方程为平台,观察方程和函数形式上的联系,从而得到方程实数根与函数图像之间的关系.理解零点是连接函数与方程的节点.
初步提出零点的概念:-1,6既是方程x 2 -5 x -6=0的根,又是函数 y = x 2 -5 x -6在 y =0时 x 的值也是函数图像与, x 轴交点的横坐标.-1,6在方程中称为实数根,在函数 y 中称为零点.
问题4:函数 y = x 2 -4 x +4和函数 y = x 2 -4 x +5零点分别是什么?
解:函数 y = x 2 -4 x +4的零点是2.函数 y = x 2 -4 x +5不存在零点.
设计意图:应用定义,加深对概念的理解.
提出零点的定义:对于函数 y = f ( x ),把使 f ( x )=0成立的实数 x 叫作函数 y = f ( x )的零点(zero point).
问题5:有一块边长为13厘米的正方形金属薄片,如果先在它的四个角上都剪去一个边长为 x 厘米的小正方形,然后做成一个容积是140立方厘米的无盖长方体盒子,那么 x 是多少?
分析:根据题意,得 x (13-2 x ) 2 =140,即4 x 3 -52 x 2 +169 x -140=0.
提问:怎样求这个三次方程在
内的实数根?
阅读材料:学生上网搜索中外历史上方程的求解,在班级数学学习博客上交流.
设计意图:感受数学文化方面的熏陶,最大限度地调动学生的学习兴趣,提高学习的积极性和主动性.
1.转化为求函数
f
(
x
)=4
x
3
-52
x
2
+169
x
-140
的零点.
先用描点法作出
f
(
x
)在区间
上的大致图像.
提问:指出零点所在的大致区间?
启发:如果把函数比作一部电影,那么函数的零点就像是电影的一个瞬间一,个镜头一.有时我们会忽略些镜头,但是我们仍然能推测出被忽略的片断.现在我有两组镜头,如图1-20所示,哪一组能说明他的行程一定曾渡过河?
图1-20
(1)将河流抽象成 x 轴,将前后的两个位置视为 A 、 B 两点.请问当 A 、 B 与 x 轴怎样的位置关系时, AB 间的一段连续不断的函数图像与 x 轴一定会有交点?
A 、 B 两点在 x 轴的两侧,如图1-21所示.
图1-21
(2) A 、 B 与 x 轴的位置关系,如何用数学符号(式子)来表示?
A , B 两点在 x 轴的两侧时,可以用 f ( a )· f ( b )<0来表示.
设计意图:由原来的图像语言转化为数学语言,培养学生的观察能力和提取有效信息的能力.体验语言转化的过程.
所以,由表格看出,函数 f ( x )在区间(1,2),(3,4)内各有一个零点.
在一定精确度的要求下,怎样求出零点的近似值?
一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.为了方便,下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
2.下面寻求函数
f
(
x
)=4
x
3
-52
x
2
+169
x
-140
在区间(3,4)内的零点的近似值(精确到0.1).
第一步:取区间(3,4)的中点3.5,用计算器算得 f (3.5)=-14.
∵ f (3)· f (3.5)<0,∴ f ( x )在区间(3,3.5)内有零点.
第二步:取区间(3,3.5)的中点3.25,用计算器算得 f (3.25)=-2.6875.
∵ f (3)· f (3.25)<0,∴ f ( x )在区间(3,3.25)内有零点.
第三步:取区间(3,3.25)的中点3.125,用计算器算得 f (3.125)=2.3828.
∵ f (3.125)· f (3.25)<0,∴ f ( x )在区间(3.125,2.25)内有零点.
结论:由于(3.4)
(3,3.5)
(3,3.25)
(3.125,3.25),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小.
利用Microsoft Excel 逐步计算解答,如图1-22所示.
图1-22
所以 f ( x )在区间(3,4)内的零点的近似值是3.2(精确到0.1).
同样,可求得 f ( x )在区间(1,2)内的零点的近似值是1.3.
因此,上述问题中从正方形金属薄片所剪去的小正方形的边长约是3.2厘米或1.3厘米.
提出二分法的定义:从上面解题过程中可以看到,通过每次把 y = f ( x )的零点所在的小区间收缩一半,使区间的两个端点逐步逼近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫作二分法.
1.有兴趣的同学可以用计算机语言编写程序,来检验做题结果正确与否.
2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料,追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois),增强探索精神,培养创新意识.
3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解,对数学有了哪些新的认识? 将你这节课的收获与感受以小报告或小论文的形式,发表在班级数学学习博客上.
“零点”是第三章《函数的基本性质》“函数的基本性质”最后一个内容,数学思想的渗透和应用意识的培养是本节教学内容的重要任务.
在本节中,教材先介绍了“零点”的概念,零点是连接函数与方程的节点,在教学中,以学生熟悉的二次函数图像和二次方程为平台,观察方程和函数形式上的联系,得到方程的实数根与函数图像之间的关系,与此同时,教学中的一个常用思维方法:函数与方程思想得以初步建立.
高一学生对函数知识的主要印象可能就是抽象,他们最想问的可能是“函数究竟有什么用?”紧接着,教材上例10就是一个需要求函数零点的实际应用问题,解决这个问题的步骤也就是求函数零点的一般步骤.我们在平时的教学中,注重对“二分法”求函数零点的步骤解释,而对于“二分法”这个数学思想方法本身及借助计算器或计算机求函数零点的数值解关注不够.
学生熟练掌握一元二次方程的解的情况及二次函数的图像.
通过本节课的学习,使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解,从中体会函数与方程之间的联系.在求解的过程中,由于数值计算较为复杂,因此对获得给定精确度的近似解增加了困难,所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外,还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图像,掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作.
本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法、一元二次函数及其图像与性质)出发,从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系)到一般,揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上,再介绍求函数零点的近似值的“二分法”,并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想,为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获,而且希望学生感受数学文化方面的熏陶,所以在“阅读与思考”中,介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就,特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.
本节课通过“概念形成—深化理解—实际应用—提炼思想—课后巩固”的教学模式,从学生熟悉的问题情境,精心设计问题链,让学生自主探索与合作交流并归纳小结,意在给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会,充分体现了以学生为主体的理念,也渗透众多数学思想,同时也提高了学生的数学素养,总之,本节课达到了应有的教学效果.