函数的奇偶性

上海市行知中学 高振严

一、教学背景分析

(一)教材分析

奇偶性是函数的重要性质之一:一方面,奇偶性是初中学习的图像对称性内容的延伸;另一方面,学习函数性质也为进一步研究基本初等函数等内容做好准备.奇偶性是在学生学习了函数有关概念的基础上,对函数概念的进一步深化.它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起,反映在图像上为:偶函数的图像关于 y 轴对称,奇函数的图像关于坐标原点成中心对称.这样,就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析.

(二)学情分析

我教学所面对的学生是控江中学高一的学生,学生的抽象思维能力和演绎推理能力较强,所以在授课时注重从学生的问题出发,给出几个特殊函数的图像,让学生通过观察图像,直观获得函数奇偶性的感性认识,然后在这个基础上形成概念.教学过程中注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展.

二、教学目标

1.理解偶函数和奇函数的概念.

2.掌握判断函数奇偶性的方法.

3.理解函数的奇偶性与函数图像的对称性之间的关系.

4.培养学生观察比较、抽象和概括的能力.

三、教学重点与难点

(一)重点

1.形成奇偶性的形式化定义.

2.掌握函数奇偶性的判别及证明方法.

(二)难点

形成奇偶性定义的过程中,如何从图像的直观认识过渡到函数奇偶性的数学符号语言表述.

四、教学过程

(一)教学基本流程

1.课题引入;2.研讨探究;3.知识形成;4.应用练习;5.课堂小结.

(二)教学环节

教学环节如下表所示.

五、专家点评

函数的奇偶性是函数的主要性质之一,由于函数的研究对于高一的学生来说与集合、不等式章节的研究风格完全不同,特别是概念学习,学生在理解、接受上会有不适应与困惑.对于上述问题,高老师结合课程标准与考纲,提出个人设计理念:体现数学是数学活动的教学,通过活动,经历数学“概念形成”的过程,体现活力课堂的特点,关注调动学生的思维,取得较好的教学效果.

本节课归纳起来有以下几个亮点:

(一)恰当地设计调动学生参与概念形成

教育家杜宾斯基认为:“活动”是指个体通过一步步的外显性(或记忆性)指令去变换一个客观的数学对象.这里的活动泛指所有的数学活动,如操作、归纳、演绎、讨论等.由此可见,“活动”不仅涉及外显的行为操作,也涉及内隐的思维操作.所以,学生只有在活动中才能加深对知识的理解,活动能重现知识的发生发展过程,可以培养学生的数学探究能力和抽象概括能力.但在活动中不能丢掉数学的本质,不能“去数学化”,活动的目的是更好地理解数学知识,因而在经历活动后,应及时将活动抽象到数学层面.

本节课,“请大家观察一下幻灯实物图,以及初中阶段的轴对称、中心对称知识的复习”,即是由外显性(或记忆性)指令去变换一个客观的数学对象.通过设计“函数奇偶性任务实验单”及三大任务,让学生的思维活动经历操作、归纳、演绎、讨论等过程,又有三大任务予以约束,在活动中没有丢掉数学概念的本质.在经历活动后,及时将活动抽象到数学层面上,没有进入形式化的泥潭.

(二)师生的合理定位助推教学效果

从事数学活动是为了让学生获得数学活动的体验,感受数学概念的直观背景及概念之间的关系,对概念形成初步认识,但这种认识并不是也不能一直停留在这个层面,当这种“活动”经过多次重复而被个体熟悉后,就可以内化为一种称之为“程序”的心理操作,这时对概念的学习不再依赖具体的数学活动,而是可以在头脑中实施这个过程.在期间活动的主体是学生,老师是组织者、参与者,不可以替代学生的主体作用.

师问:什么时候行?学生答:如果区间端点互为相反数就行.(定义域关于原点对称,虽然学生答得不完全对,但已达到教学要求)师继续问:什么时候不行?学生答:区间端点不互为相反数时就不行.师追问:为什么?学生答:那么函数的图像就会一边多一些,一边少一些.(多么朴实无华的语言,恰恰是我们学生的心理认知的真实表现)整个过程教师没有越俎代庖,更多的是突出学生的主体作用,让学生自己经历问题的分析解决过程.

(三)语言转化、思维的辩证展现数学文化

本节课,“请大家观察一下幻灯实物图具有怎样的数学特征?” 学生: 轴对称. 师: 说明大家很有数学的眼光,会用数学的思维来看我们的实际生活问题.另外还有, 师: 那么对于函数图像上的点我们如何加以一一验证呢?借助函数的表达式来验证任意都成立.整体可确定局部,同样,局部可以确定整体.还有本节课板书上突出原有知识:图形轴对称、中心对称,图像语言,文字语言,数学语言.这一处理一方面承接了高一先前集合的学习本质(即集合是一种数学语言),另一方面突出了数学概念学习本质,经历数学再发现的过程,经历从具体到抽象、从归纳到演绎的数学化过程,发展数学观念.

本节课还有以下几个方面需要改进:

1.在否定一个函数是偶函数、奇函数时学生明显脱节,课后觉得还是在几个具体函数的引入部分做得不够到位,如果在前期具体函数变式出有一个点不关于轴(原点)对称,我们还能不能称它是关于轴(原点)对称的设计,这节课就要完美得多.

2.在偶函数概念的形成时,将学生的说法直接板书.学生的说法与课本严格定义略有区别,但已写到了黑板上,把自己逼到了绝路,确有不妥.所以今后还要加强课堂的驾驭能力.

3.与多媒体的整合还不够,虽然上课也用了幻灯片,但只局限在内容展现上,只有一处使用了几何画板,参与同学与老师均认为处理得很好,个人觉得这样的多媒体效果亮点应该更多一些才好. Pn6P0etkBuRx8SifXN5GpPCE2K5vR614+mBIToUUhRmb7KqBCdPxEB4HDtv8AYHh