运动之谜

如果我们只与直线运动打交道，我们就不能理解自然界中看到的运动。我们必须考虑沿弯曲路径的运动，而我们的下一步就是确定掌控这些运动的规律。这不是一件容易的事。在直线运动的情况下，我们的速度、速度的变化和力的概念是很有用的。但是我们不能马上看出来如何将它们应用到曲线运动上。可以想象，旧概念确实有可能不适用于一般运动的描述，因此必须创建新的概念。我们应该沿着老路走吗？还是寻求一条新路？

把概念进行推广（或一般化）是科学中常用的手段。推广的方法并不是唯一确定的，通常有很多方法可以实现它。但无论是哪种，都必须严格满足一个要求：当达到原始条件时，推广了的概念必须还原到原始的概念。

我们可以通过目前所使用的例子来很好地解释这一点。我们可以试着将速度、速度的变化和力这些旧概念推广到曲线运动的情况上去。确切地说，当我们说曲线的时候，就已经包括直线在内了。直线是曲线的一个特殊而简单的例子。因此，如果速度、速度的变化和力被引入曲线运动中，那么它们就自动被引入了直线运动中。但是这个结果不应该与先前得到的结果相矛盾。如果曲线变成直线，那么所有推广了的概念必须还原到描述直线运动的熟识的概念。但是这个限制不足以唯一地确定概念的推广，还有多种可能性。科学史实表明，即使是最简单的推广也会有时成功，有时失败。我们必须先猜一猜。在我们当前的情况中，很容易猜出正确的推广方法。事实证明，新概念非常成功，它帮助我们理解石头被抛在空中的运动，以及行星的运动。

那么，速度、速度的变化和力在曲线运动这种普遍情况下是什么意思呢？我们首先从速度说起。假如有一个很小的物体正沿着曲线从左向右移动。这样的小物体通常被称为质点。在图1-8中，曲线上的圆点表示质点在某一时刻的位置。与这个时刻和位置相对应的速度是多少呢？伽利略的线索再次暗示了引入速度的方式。我们须再次发挥想象力，考虑一个理想化的实验。在外力的作用下，质点沿着曲线从左向右移动。想象一下，在给定的时间，以及圆点所标记的地方，所有外力突然停止作用。那么，根据惯性定律，运动必须是匀速的。当然，在实践中，我们永远不能使物体完全摆脱所有的外部影响。我们只能揣测：“如果……，会发生什么？”然后通过从中得出的结论及它们与实验的一致性来判断我们猜测的相关性。

图1-9中的矢量表示当所有外力消失时我们猜测的匀速运动的方向。这就是所谓的“切线方向”。通过显微镜观察移动的质点，人们可以看到曲线上很小的一部分，它看起来像一小段直线。切线就是它的延长线。因此，图中画的矢量表示给定时刻的速度。速度矢量就在切线上。切线的长度表示速度的大小，或者说汽车的速度计上所示的速率。

我们不能把这个以破坏运动来寻找速度矢量的理想化实验看得太认真。它只能帮助我们理解什么是速度矢量，并让我们能够在给定的位置和时刻确定它。

图1-10展示了一个沿曲线运动的质点在三个不同位置上的速度矢量。在这个例子中，速度的方向和大小（由矢量的长度表示）都随着运动而变化。

这个新的速度概念是否满足为一切推广所制定的要求呢？换句话说：如果曲线变成了直线，这个速度会还原到我们熟悉的概念吗？显然是这样的。直线的切线就是直线本身。速度矢量位于运动的路线上，就像移动的手推车或是滚动的球体一样。

下一步是介绍质点沿曲线运动时速度的变化。这也可以靠多种方式完成，我们从中选择最简单和最方便的那个。图1-10中所示的几个速度矢量表示路线上不同点处的运动。我们可以再次画出前两个速度矢量，使它们具有共同的起点（图1-11），我们已经知道这样做是可以的。我们把虚线矢量称为“速度的变化”。它的起点是矢量1的末端，而终点是矢量2的末端。乍一看，这个速度的变化的定义似乎是人为的，毫无意义的。在矢量1和矢量2方向相同这一特殊情况下（图1-12），这个定义就更加清楚了。当然，这意味着又回到了直线运动的情况。如果两个矢量具有相同的起点，那么虚线矢量依然连接它们的末端。这与图1-6的情况相同，而以前的概念再次成为新概念的一种特殊情况。可以注意到，在图中我们必须将两条线分开画，否则它们会重合在一起，变得难以分辨。

现在我们来进行推广过程的最后一步。这是迄今为止我们所有猜测中最重要的一个。我们需要建立力与速度的变化之间的联系，以便我们可以得到线索来理解运动的一般性问题。

解释直线运动的线索很简单：外力造成了速度的变化，外力矢量的方向与速度的变化相同。那么现在，我们应该把什么看作是曲线运动的线索呢？与之前完全一样！唯一不同的是速度的变化如今有了比以前更宽广的含义。上面两张图中的虚线矢量清晰地展示了这一点。如果我们知道在曲线上任意一点处的速度，那么就可以马上得出在任意一点处力的方向。我们画出在两个时间间隔很短的时刻上的速度矢量，它们对应的位置也很靠近。连接第一个速度矢量末端和第二个速度矢量末端的矢量表示作用力的方向。但重要的是，两个速度矢量应该只相距“非常短”的时间间隔。对“非常近”“非常短”这些词语做严格分析没那么简单。事实上，正是这样的分析使牛顿和莱布尼茨发明了微积分。

把伽利略的线索进行推广是一条冗长而曲折的路。我们在这里无法展示这个推广的结果是多么的丰富而卓有成效。有了它以后，许多之前不相关和不能理解的事实都得到了简单且令人信服的解释。

从丰富多样的运动中，我们只选最简单的，并用刚刚制定的定律来解释它。

枪中射出的子弹、以某个角度抛出的石头、水管中喷出的水，它们都沿着我们所熟知的路径——抛物线。假如在石头上装一个速度计，那么石头在任一时刻的速度矢量都可以画出来。这一结果可以在图1-13中充分地体现出来。作用在石头上的力的方向就是速度变化的方向，而我们已经知道应当如何确定它。图1-14指出作用在石头上的力是垂直且朝下的。这和石头从塔顶掉落的情况一样。路径和速度是完全不同的，但速度的变化有着相同的方向，那就是朝着地球的中心。

一个拴在绳子末端并在水平面上转动的石头做圆周运动。如果速率不变，那么图1-15中所有表示运动的矢量都有相同的长度。但速度不是不变的，因为运动路径不是一条直线。只有在匀速直线运动中才没有力的参与，而在这里是有的。速度的大小并没有改变，但是方向变了。根据运动定律，这一改变一定是由某些力引起的，在这个例子中是由石头和握绳的手之间的力引起的。那么，另一个问题出现了：力作用的方向是什么？矢量图再次给出了答案。图1-16画出了两个邻近点的速度矢量，速度的变化就可以找到了。我们看到，最后一个矢量沿着绳子指向圆心的方向，并且始终垂直于速度矢量或切线。换句话说，手通过绳子在石头上施加力。

还有一个更重要的例子与此非常相似，那就是月球绕地球的公转。它可以近似表示为匀速圆周运动。力指向地球的原因与前一个例子指向手的原因相同。地球和月球之间没有绳子连接，但是我们可以想象两个天体的中心之间有一条线；力沿着这条线，并且指向地球的中心，就像抛在空中或从塔上掉下来的石头所受的力一样。

我们之前说过与运动相关的一切都可以用一句话来总结： 力和速度的变化是具有相同方向的矢量。 这是运动问题的初步线索，当然，它不足以完全解释所有观察到的运动。从亚里士多德的想法到伽利略的想法的转变，形成了科学基础中最重要的基石。这一突破一旦实现，进一步的发展路线就很清楚了。这里我们感兴趣的是发展的第一阶段、追随最初的线索和展示新的物理概念是如何在与旧观念的痛苦斗争中诞生的。我们只关注科学领域的先驱工作，其中包括寻找新的和意想不到的发展道路；我们只关注科学思想中的冒险，它们创造了一幅不断变化的宇宙图景。最初的基本阶段总是具有革命性的。科学的想象力认为旧的概念太过局限，于是用新的概念取而代之。沿着任一条已经开辟的思想继续发展是带有进化性的，直到到达下一个需要征服的新领域的转折点。然而，为了理解是什么原因和什么困难促成了重要概念的改变，我们不仅要知道最初的线索，还要知道从这些线索中可以得出什么结论。

现代物理学的一个最重要的特征是：从最初线索中得出的结论不仅是定性的，而且是定量的。让我们再次考虑从塔上掉下来的石头。我们已经知道它的速度随着下降而增大，但我们还想了解更多。速度的变化有多大？石头开始下降后在任一时刻的位置和速度是多少？我们希望可以预测事件，并通过实验来确定观测是否证实了这些预测，从而确定初始的假设。

为了得出定量的结论，我们必须使用数学语言。大多数科学的基本思想本质上都是简单的，且常常可以用通俗的语言来表达。要想跟进这些想法，需要高深的研究技术知识。如果我们希望得到的结论可以与实验进行比较，那么数学是必要的推理工具。我们如果仅仅关注基本的物理观念，数学语言就可以避免。由于在本书中我们始终是这样做的，所以有时必须允许自己引用一些结果，而不提供证明，因为这些结果对于理解进一步发展中出现的重要线索是必需的。放弃数学语言所付出的代价，就是失去了精确性，以及有的时候引用了一些结果，却不能展示它们的来龙去脉。

关于运动有一个非常重要的例子，那就是地球绕太阳的运动。众所周知，它的路线是一条闭合的曲线，称为椭圆。速度变化矢量图（图1-17）的构造表明，作用在地球上的力指向太阳。但无论如何，仅有这些信息是不够的。我们希望可以在任意时刻预测地球和其他行星的位置，我们希望预测下一次日食的日期和持续时间，还有许多其他天文事件。这些事情是可以做到的，但不能仅凭最初的那条线索，我们现在不仅需要知道力的方向，还要知道它的绝对值——力的大小。牛顿在这一点上做出了有启发性的猜测。根据他的 万有引力定律 ，两个物体之间的吸引力在很大程度上取决于它们之间的距离。当距离增加时吸引力会变小。具体地说，如果距离变为原来的2倍，那么吸引力会变小2×2=4倍；如果距离变为原来的3倍，那么吸引力就变小3×3=9倍。

因此，对于万有引力，我们已经成功地用简单的方式表达了它与运动物体间距离的依赖关系。我们接着用同样的方式处理有不同的力作用的情况，如电力、磁力等。我们尝试用一个简单的方式来表达力。只有当得到的结论被实验证实时，这种表达才是合理的。

不过，仅凭对万有引力的了解并不足以描述行星的运动。我们已经看到，在任一短时间间隔内表示力和速度的变化的矢量具有相同的方向，但是我们必须更进一步地跟随牛顿的脚步，假设它们的长度之间存在简单的关系。鉴于所有其他条件都相同，即在相等的时间间隔内，我们考虑同一个运动物体和相同的变化，那么，根据牛顿的发现，速度的变化与力成正比。

因此，关于行星运动的定量结论只需要有两个互补的猜测。一个是一般性的，说明力与速度的变化之间的联系。另一个是特殊的，说明一种特定的力和两个物体间距离的明确依赖关系。前者是牛顿的一般运动定律，后者是他的万有引力定律。它们共同决定运动。这一点可以通过下面拗口的推理变得更加清楚。假设在一个给定时间，我们可以确定行星的位置和速度，并且力是已知的；那么，根据牛顿定律，我们就可以知道速度在短时间间隔内的变化。知道了初始速度及其变化，我们就可以算出在这段时间结束时行星的速度和位置。不断地重复这一过程，我们可以追踪运动的整条路线，无须更多地依赖于观测数据。原则上说，这就是力学预测物体运动状态的方式，但在这里使用的方法几乎不实用。实际上，这种一步接着一步的过程是非常烦琐和不准确的。幸运的是，这个过程是没有必要的；数学提供了一个捷径，并且不费笔墨就可以精确地描述运动。以这种方式得出的结论可以通过观察来证实或推翻。

在石头在空气中下落，以及月球在其轨道上的公转运动中，我们可以识别出同一种力：地球对物体的吸引力。牛顿认识到下落的石头、月球和行星的运动都只是万有引力作用在任意两个物体之间的特殊表现。在简单的情况下，我们可以借助数学来描述和预测运动。在距离远和非常复杂的情况下——涉及多个物体相互作用，数学描述并不是那么简单，但基本原则是相同的。

我们通过跟随最初的线索，在抛出的石头、月球、地球及行星的运动中得出了结论。

这就是我们的全部猜测，有待实验的证实或者否定。没有任何一个假设可以被隔离进行单独测试。我们发现，在行星围绕太阳运动的情况下，力学系统运转得很好。尽管如此，我们可以想象，基于不同假设的另一个系统可能也可以正常工作。

物理概念是人类思维的自由创造，而不是由外部世界唯一决定的——尽管它看似如此。在我们努力理解现实的过程中，我们就像一个试图理解手表内部机械结构的人。他看到了表盘和移动的指针，甚至听到了嘀嗒声，但就是无法打开它。如果他很机智，那么他可以根据观察到的一切在脑海中勾勒出机械装置的画面，但他可能永远无法确定他的画面是唯一一个可以解释这些观察的。他永远不能将他的画面和真正的机械装置做比较，他甚至无法想象这种比较的可能性或者有何意义。但是他坚信，随着他知识的增多，他对现实的描绘将会变得越来越简单，并能解释越来越丰富的感观印象。他可能会相信，知识是存在理想极限的，而人类的思想正在接近它。他或许会将这个理想极限称为客观真理。 BXubjVdkGfZgR1WWqGJ3eESEG8raajxm3zK/DYvlLPpQc7oag51ExnpN/rVKOnR0