矢量

我们之前考虑的所有运动都是 直线的 ，也就是沿直线进行的运动。现在，我们要向前走得更远。我们通过分析最简单的情况，并放下对所有错综复杂情况的尝试来了解自然定律。一条直线比一条曲线简单。因此，仅仅理解直线运动是不可能让我们满足的。那些力学原理应用得十分成功的运动——月球、地球及其他行星的运动，都是沿着曲线的运动。从直线运动过渡到曲线运动会遇到新的困难。如果我们想要理解经典力学的原理，我们就必须有勇气去克服这些困难。经典力学给我们提供了第一条线索，因而成为科学发展的起始点。

我们来考虑另一个理想实验，一个完美的小圆球在光滑的桌子上匀速滚动。我们知道，如果小球被推了一下，也就是说，如果有外力作用于它，它的速度就会改变。现在，设想推动小球的方向不是像小车的例子一样在运动的直线上，而是在一个完全不同的方向，譬如那条线垂直的方向。这个小球会发生什么呢？运动可分为三个阶段：初始运动，外力作用，以及外力停止后的最终运动。根据惯性定律，外力作用之前和之后的速度都是完全均匀的。但是，外力作用前后的匀速运动有一点不同：运动的方向改变了。小球的初始路线和力的方向相互垂直。最终的运动不会沿着这二者的任何一个方向，而是在二者之间。如果推力强且小球的初速度小，它就靠近力的方向；如果推力弱且小球的初速度大，它就靠近原始运动的方向。基于惯性定律，我们的新结论是：一般来说，外力的作用不仅可以改变速度，也能改变运动的方向。对这一事实的理解为我们在物理学中引入“ 矢量 ”这个概念做好了准备。

我们可以继续使用这种直接的推理方法。起始点依旧是伽利略的惯性定律。我们还远没有讨论完这一宝贵的线索对运动之谜的影响。

我们来考虑两个小球在一个光滑的桌子上沿不同的方向运动。为了得到一幅清楚的画面，我们假设这两个方向相互垂直。由于没有外力的作用，小球的运动是绝对均匀的。我们进一步假设它们的速度是一样的，也就是说，它们在相同的时间间隔内运动了相同的距离。但如果说这两个小球具有相同的速度，是否正确呢？可以答是，也可以答否！如果两辆车的速度计都显示为每小时40英里，我们经常会说它们有着相同的速率或速度，不管它们驶向的是哪里。可是，科学必须创造出它自己的语言和自己的概念，供自己使用。科学的概念往往源自日常生活中用到的普通概念，但它们发展得非常不一样。它们经过转变，失去了普通语言中带有的模糊性质，并得到了严格的定义，从而能够应用于科学思辨中。

从物理学家的角度来看，说这两个朝着不同方向运动的小球的速度不一样是有好处的。尽管只是习惯问题，但这样说更加方便：从同一点出发的四辆车沿不同的道路行驶，虽然它们的速度计上显示的速率都是每小时40英里，但它们的速度不同。速率和速度的区分表明了物理是如何从日常生活的概念出发，然后加以改变，使其更适合未来的科学发展。

如果长度被测定了，那么这个结果可以用多个单位表示出来。一根棍的长度可能是3英尺7英寸，某个物品的重量可能是2磅3盎司，而时间间隔是多少分多少秒。在每一种情况下，测量的结果都是由一个数字表达的。但是，仅凭一个数字是不足以描述一些物理概念的。对这一事实的认识是科学研究的一大进步。比如，对表征速度来说，方向和数值大小都是同样重要的。像这样同时具有大小和方向的量，叫作“ 矢量 ”。它通常是由一根箭头表示的。速度可以用箭头来表示，简单地说，速度是由矢量表示的，其长度在某个选定的单位上代表速度的数值大小，其方向就是运动的方向。

如果四辆汽车以相同的速率从一个交通环岛驶离，它们的速度可以用四个相同长度的矢量表示，如图1-1所示。在所使用的比例中，1英寸代表每小时40英里。这样，任何速度都可以用矢量表示出来；反之，如果比例是已知的，我们就可以从这样的矢量图确定速度。

如果两辆车在高速上擦肩而过，且它们的速度计显示的都是每小时40英里，那么我们用两个箭头指向相反的矢量来表示它们的速率（图1-2）。所以就连纽约地铁里指向“郊区”和“市区”的箭头也必须指向相反的方向。但是所有以相同速率向市区行驶的列车，无论是在不同车站还是在不同车道上，它们都具有相同的速度，这可以用同一个矢量表示。矢量不会告诉我们火车经过了哪些站，或者它行驶在众多平行轨道中的哪一个上。换句话说，依据惯例，所有像图1-3中所画的矢量都可以看作相等的；它们沿着相同或者平行的线，有着相同的长度，而且，它们的箭头指向同一个方向。图1-4中的矢量各不相同，它们或者长度不同，或者方向不同，又或者二者皆不同。同样的四个矢量可以换一个方式画出来，它们都从同一个点发射出来（图1-5）。由于起点无关紧要，因此这些矢量既可以表示四个汽车远离同一个交通环岛的速度，也可以表示四个位于不同地方的汽车向指定的方向以指定的速率行驶的速度。

现在，我们可以使用这种矢量图来描述我们之前讨论的关于直线运动的事。我们谈到了一个手推车，它在一条直线上匀速移动，并在其运动的方向上受到了推力，使它的速度增加。这可以在图画上用两个矢量表示出来，较短的那个表示推动前的速度，而在相同的方向上较长的那个则表示推动后的速度（图1-6）。虚线矢量的含义很清楚；它表示速度的变化，正如我们所料，推力对其负责。对于力与运动方向相反的情况，运动减慢了，示意图有所不同（图1-7）。虚线矢量再次对应于速度的变化，但此时，它的方向是不同的。很明显，不仅速度本身是矢量，而且它们的变化也是矢量。但速度的每一次改变都是由于受到外力的作用；因此，力也必须用矢量表示。为了描述一个力，仅仅指出我们推车的力度是不够的，我们还必须说明推动的方向。就像速度或速度的变化一样，力也必须由一个矢量来表示，而不仅仅只是一个数字。所以，外力也是一个矢量，而且它与速度的变化有着相同的方向。在这两幅图中，虚线矢量表示力的方向，因为它们表示速度的变化。

在这里，怀疑论者可能会说他没有看出矢量的引入有什么好处。我们所做的一切只不过是将先前公认的事实翻译成不熟悉且复杂的语言。在这个阶段，确实很难让他相信自己错了。事实上，他目前是对的。但我们很快会看到，正是这个奇怪的语言使我们得到一个重要的推广，其中矢量似乎是必不可少的。 A0BjurTBy0AFB/Q37rFMGgpmgaatSrSizzrYKpVG69wE4EJfd2FYWkNmfk2QFV+V