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古希腊科学属于自然哲学的“思辨”模式，而古中国春秋战国时期的科学是追求“实用”的实验观测模式，两者是互补的，但均不同于现代科学的“逻辑实证”模式。
现代科学的要素有二，一是“逻辑”，二是“实证”。古希腊和古中国，都已经产生了逻辑，古希腊的思辨，固然少不了逻辑；春秋战国时的百家争鸣，各个学派也往往需要靠逻辑来取胜。而欧几里得几何中的“形式逻辑体系”是西方科学发展的基础之一。那什么是“形式逻辑”呢？
通俗地说，形式逻辑就是我们一般人脑海中所理解的“逻辑”。经常听见人们争论时会说“符合逻辑”或“不符合逻辑”，比如A批评B“你说乌鸦是黑的，但又说抓到了一只灰色乌鸦，你这不是不合逻辑、自相矛盾吗？”。另一个例子，大家辩论张三是好人还是坏人，有人说张三利用权势贪污上亿元，当然是个坏人；但又有人认为张三孝顺父母，重视家庭，本质上是个好人。
换言之，我们对逻辑的粗略理解大概就是：一就是一，二就是二，黑白分明，没有含糊。这也就是所谓的“形式逻辑”。因此，本书后文中，一般仅以“逻辑”一词代替形式逻辑，但在需要强调的地方，也冠以“形式”二字。
古希腊哲学家、“希腊三贤”之一的亚里士多德，最先将逻辑用几条简单的规则（同一、矛盾、排中三大基本规律）表述出来，使逻辑正式成为一门学科。这3条基本原理及简单解释如下。
同一律：“A等于A”。解释：张三就是张三，不是别人。
矛盾律：“A不等于非A”。解释：张三不可能“既是张三”又“不是张三”，不能自相矛盾。
排中律：“A或者非A，没有其他”。解释：这人要么是张三，要么不是张三，没有中间状态。
基本规律念起来有点拗口，解释后却很容易明白，但你又可能会感觉“全是废话”。
正是这些貌似“废话”的几条原则，构成了逻辑学，两千年之后，德国哲学家莱布尼茨（就是与牛顿同时代先后发明微积分的那位）又加上了一条逻辑的基本规律：充足理由律。意思是说任何逻辑表述，都需要“充足的理由”。
古希腊数学家欧几里得发表的《几何原本》，开创了逻辑证明的先例，使数学从此进入公理系统与逻辑证明时代。两千年后的英国数学家乔治·布尔，建立了一系列的运算法则，利用代数的方法来研究逻辑问题，成为我们如今所熟悉的布尔代数。
欧几里得几何的逻辑证明体系，是2300多年来数学的基础，也是现代科学发展的基础。布尔代数则是在如今现代文明社会中大放异彩的数字计算及人工智能技术的基础。由此可知逻辑对科学发展的重要性。或许由于科学正是在逻辑思想的基础上发展起来，并且已经有了超过2000多年的漫长历史，因而人们一般认为：逻辑（即形式逻辑）是与自然的客观规律一致的，是外在客观世界本身的模式。再进一步推论下去：如果一个理论不符合逻辑，违反了上述的基本逻辑规律，人们便会判定那不是一个好的科学理论。
欧氏几何的意义绝不在于几何本身，而在于它的公理化方法。就像建房子一样，基石不过是数目不多的几块砖，便支撑了一栋高楼大厦。欧氏几何从5条简单公理出发，使用周密严格的逻辑推导和证明，却能得出成百上千条定理来。如果稍微改动一下作为“基石”的公理，像罗巴切夫斯基和黎曼所做的那样，便意想不到地产生了另类的几何，建成了完全不同于欧氏几何的漂亮大厦！虽然在当年看起来，非欧几何不过是某种思维游戏，因为被它们描述的结果，有违人们通常看到的世界之几何常识。但之后又出乎人们意料，黎曼几何在广义相对论中找到了用武之地！
于是，人们惊奇地发现，逻辑，以及在其上发展出来的理性推导的方法，居然有如此巨大的威力！使用这种思维方式，可以从几条事实出发，建立起一个庞大的理论系统。如今，我们纵观现有的物理理论，从牛顿力学、麦克斯韦电磁论到相对论，几乎都是遵循类似的原则，再经过大量实验或观察的验证建立和发展起来的。对此，爱因斯坦深谙其道，因此他才会强调逻辑是西方科学发展的基础之一。
可以说，物理学家们用理性逻辑推理的方法，加之庞大而系统的实验资料，建造了包括广义相对论在内的整个经典物理大厦。即使是其他领域的科学理论，或者物理中争议不断的量子力学，也都是将实验证实、符合因果及逻辑自洽等，看作基本的科学规范。
然而，当更深一步考察形式逻辑时，你会发现它并非完美无缺，而是有许多矛盾之处。形式逻辑遵循“非此即彼”之类的逻辑法则，但事实情况往往并非如此。世界并不是“非黑即白”那么简单的，如果绝对不允许有自相矛盾的情况出现的话，这种逻辑必然不能正确地反映世界的客观规律。举一个简单的例子，现实生活中，我们都觉得很容易区分“孩子”和“成人”，但仔细一想并不尽然，如果没有给出一个年龄界限的话，你说谁算孩子谁算成人呢？即使规定了一个年龄界限，也并不能准确地反映一个人在成长过程中的客观身体差异，因为身体的变化是因种族、环境条件等因素而不同的，也是因人而异的。
再如，如果说到“科学的诞生”，从形式逻辑的观点，你首先需要定一个科学诞生的“判据”，定义好什么是科学，或者说你必须规定某个时间，即某年某月某日某时刻，科学诞生了。在此时刻之前，没有科学，诞生之后，才能谈科学。但是，这些都是难以实现的，因为科学是逐渐产生的，很难如同母亲“十月怀胎一朝分娩”那样，有一个精确的诞生时刻。因此，在讨论此类问题时，便往往会被质疑为说法“不符合逻辑”。
尽管逻辑学家们可以辩解说，逻辑只是一种“抽象和升华”了的思维方法，仅此而已，不用太较真。但根据人们的日常经验，总感觉这种思维过程中一定少了点什么，于是，另一种与形式逻辑不同的辩证逻辑思想应运而生。
辩证逻辑的基本特征是把事物看作一个整体，从运动、变化及相互联结的角度来考察事物。不同于形式逻辑的“非此即彼”，而是认为“你中有我、我中有你”，事物都能一分为二，对立面并非绝对的，它们可以在一定的条件下互相转化。
历史上，许多文明中都有比亚里士多德创立的形式逻辑更为复杂的推理系统，其中包含着原始的辩证思想。公元前6世纪的印度、公元前5世纪的中国和公元前4世纪的希腊，都存在古典辩证逻辑的例子。例如，古代印度哲学家用辩证的思想来探讨生与灭、有与无、一与异等对立概念的相互关系。古代中国哲学家的思维方法，除了墨子之外，几乎是往辩证方向“一边倒”。《老子》中说：“有无相生，难易相成，长短相形，高下相倾”；《庄子》中说“彼出于是，是亦因彼。”此类模棱两可的名言在中国历史上比比皆是，充分反映了古中国哲学家崇尚辩证的特殊风格。马克思曾说古中国文明是“早熟的小孩”，不知是否与此特征有关？
古文明中虽然不乏辩证思想，但较完备的辩证逻辑体系直到18世纪才正式被德国哲学家黑格尔，用“正、反、合题，否定之否定”等概念，提出并加以总结。其实，如今看来，辩证逻辑不过是形式逻辑突破自己的限制自我否定而将“逻辑”这一概念扩充的结果。要正确地理解辩证逻辑，首先必须要学习形式逻辑。就像恩格斯将两者比喻为初等数学和高等数学的关系那样，如果连初等数学都不懂的话，又何以妄谈“高等数学”呢？
辩证逻辑认为“亦此亦彼”。如在原来的形式逻辑中，张三不是好人就是坏人，非此即彼。但辩证逻辑认为张三可以既是好人又是坏人。这种说法听起来有点像量子物理中的观点：光和其他基本粒子，都既是粒子又是波，具备波粒二象性，此外，也颇像那个令人恐怖的“既死又活”的薛定谔的猫！
难怪爱因斯坦始终无法认可量子力学中“二象性”的说法，更不接受哥本哈根的诠释，尽管他自己就是量子理论的创始人之一。爱因斯坦的思路完全是经典的、形式逻辑的，也正因为如此才有了著名的世纪论战。
对量子理论的深刻认识，也许能激发人类思维过程的再一次突破。或者可以猜测：辩证逻辑未来的进一步发展和完善，有可能将人类对思维过程及客观规律的认识上升至新的高度，从而有可能解决量子力学中诸如“薛定谔的猫”之类的“佯谬”？
大家都熟悉芝诺悖论。古希腊对辩证思维的认识，主要表现在论辩术中，其中芝诺所在的埃利亚学派是主要代表。当年的希腊哲学家们热衷辩论的问题之一是世界的本源问题。也就是我们在前面一节中谈及的泰勒斯及其弟子们探索的问题。埃利亚学派的领袖人物是芝诺的老师巴门尼德，巴门尼德认为万物本源是永恒静止的实体“一”。芝诺为了捍卫老师的理论而进行“狡辩”，认为“多”和“运动”都只是表象。为了论证这点，芝诺提出4个悖论。其中最著名的是“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”悖论。
从哲学的角度看，芝诺悖论本身是一种辩证思维，揭示了人们思维中一些似是而非或似非而是的矛盾现象。
有趣的是，芝诺为了否定“运动”而绞尽脑汁想出的悖论，却没有达到否定运动的目的，也不可能达到其目的。因为事实上，空中的箭的确在飞行，阿基里斯也必定能追上乌龟。不过，从辩证法的观点看，芝诺悖论开创性地揭示了运动本质中隐藏着的矛盾：在任何时刻，运动的物体存在于空间的某一点，但又因为“移动”而不在这一点！运动本身正是由于这矛盾双方的对立统一而产生的。距今约2500年的芝诺悖论，体现了令人惊奇的辩证思维，所以，亚里士多德和黑格尔都称芝诺是历史上第一位辩证法家。
芝诺悖论涉及极限概念，后面谈到微积分时还会讨论。
众所周知，东西方文化是不同的。中国人与西方人在人生观、价值观、家庭观、教育方式、文学艺术、心理素质、道德伦理、处世哲学等方面都有很大的差异。究其根源，这些差别在很大程度上源于思维方式的不同。中国人的思维方式基本上属于直观的形象思维，而西方人更重视逻辑思维。从逻辑学角度来看，中国人偏向于辩证逻辑，而西方人更偏重形式逻辑。
辩证逻辑和形式逻辑各有所长，但是，笔者认为，形式逻辑是基础，走向辩证可算是锦上添花。缺乏形式逻辑的辩证会流于“狡辩”。例如，孩子学步一定是从“走”开始，然后才能学会“跑”。又如，学高等数学固然好处多多，但首先仍然得把初等数学的基础打好，否则不可能真正掌握高等数学。中国人的思维方法貌似辨证有余，却独缺形式逻辑。
为什么中国人的思维方式会有如此现象呢？这应该有其历史根源。
回溯到古代中国，形式逻辑的产生基本是与欧洲同时的，即中国的春秋战国时期。在《墨经》中，对于逻辑已有了系统的论述。一般认为，古代中国的墨家逻辑、古希腊的亚里士多德逻辑、古印度的因明逻辑，并称为世界古代（形式）逻辑三大源流。
墨家活跃的年代比亚里士多德还要早几十年，但他们已经对逻辑学的基本定律有所认识。例如：
同一律，“彼此可，彼彼止于彼，此此止于此。”
矛盾律，“彼此不可，彼且此也，此亦且彼也。”
排中律，“彼此亦可，彼此止于彼此，若是而彼此也，则彼亦且此，此亦且彼也。”
充足理由律，“以说出故”“故，所得而后成也”。
《墨子》中的“墨辩”是建立在科学精神之上的形式逻辑体系，但是，与中国古代尚未萌芽的科学种子一样，随着“罢黜百家，独尊儒术”的提出，墨家逐渐销声匿迹，形式逻辑在中国的发展也陷入停顿。逻辑思维推理的方法，是构建科学理论框架的必要条件。这就是为什么中国在几千年的封建社会中，不乏工匠技术型的小发明，却鲜有自创的科学理论。中国人缺乏逻辑思维的习惯，是一个主要原因。
之后一段时期，中国民众的思维方法将辩证法当作科学的逻辑而大力批判形式逻辑，使大家形成一种错觉，以为形式逻辑是落后的。这种认识阻碍了国人对本民族思维模式的重新思考，从而也在一定程度上阻碍了中国科学技术的进步。