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吃巧克力能立刻让我感到快乐。虽然它必须是好巧克力，但是它每次都能奏效。
难道是快乐让我吃巧克力的吗？这是一个完全不同的问题。
我们来关注一个更严肃的例子：成为美国公民意味着你可以合法地在美国生活。你可以合法地在美国生活，就一定意味着你是美国公民吗？这是一个完全不同的问题。有些人错误地认为，成为公民是合法居住的唯一途径。但其实有许多其他的方式，包括拥有工作签证，拥有永久居住权，或者作为难民被接纳。
时间和因果关系只能向一个方向流动，逻辑也是如此。我们必须小心，不要犯方向上的错误。在上一章，我们描述了凯尔·麦克唐纳完成的交易链，从一个回形针开始，以一幢别墅结束。我常常在想，这个交易链可逆吗？如果他改变了主意，比如说关于雪球的交易，那么最初的主人是否会把它换回来呢？我也不知道。
在前一章的例子中，我认为，如果你不支持那些饱受欺凌的少数民族，那么你和顽固的偏执狂一样糟糕。如果我们把这个观点反过来呢？你和顽固的偏执狂一样糟糕，是否意味着你不会支持那些饱受欺凌的少数民族？不是这样的。即使你确实支持那些饱受欺凌的少数民族，并且认为这种支持可以为自己开脱，你仍然会有许多和偏执狂“一样糟糕”的方式。也许你在公开场合支持少数民族，然后私下里阻止他们晋升或者加薪，或者拒绝给他们提供工作机会，或者拒绝投票给他们。
我们有这样一个蕴涵：
不支持受到欺凌的少数民族
和偏执狂一样糟糕
但是，我们不能调转箭头，让它变成：
和偏执狂一样糟糕
不支持受到欺凌的少数民族
蕴涵符号“
”看起来像箭头这一事实并不是巧合。选择这个符号有助于我们了解逻辑只能向一个方向流动。调转箭头可能会彻底改变意义。以上一章的特权逻辑为例，最初形式为：
你有白人特权
你有特权
如果我们调转箭头的方向，那么它就变成了
你有特权
你有白人特权
这明显是错误的。因为即使不是白人，你也可能拥有许多其他类型的特权。例如生于一个富裕的家庭或者有权势的家庭为你带来的特权。
再来看看下面的蕴涵：
你是女人
你经历过性别歧视
这是日常性别歧视项目的假设：每个女人都经历过性别歧视，即使这种歧视不是公开的。性别歧视可能会采取微侵略的形式，我们本应该摒除它们，但也许我们已经对其习以为常了，甚至不再意识到它了。可悲的是，我们把性别歧视视为生活的一部分并不意味着性别歧视不存在。相反，这意味它无处不在。
现在，我们尝试将蕴涵中的箭头调转：
你经历过性别歧视
你是女人
这是一个完全不同的命题，但不幸的是，人们往往会把它与第一个命题混为一谈。如果你说“所有女人都经历过性别歧视”，那么很可能有人（通常是男人）会抗议说男人也经历过性别歧视。这可能是真命题，也可能是假命题。但无论在哪种情况下，这与第一个命题都没有逻辑上的联系。第一个命题表明，如果你是一个女人，那么你经历过性别歧视；但如果你是一个男人，那么它不会表明任何事情。
这些例子全都表明，在蕴含表述中，调转箭头方向会产生一个全新的、值得我们思考的命题。我们把这种通过调转箭头得到的命题称为原始命题的逆命题。
我最喜欢的一个关于蕴涵和逆转的例子是：如果你吃了自己的西蓝花，那么你就可以吃冰激凌。首先我承认，在日常生活中这句话可能会让人产生一些疑惑，这就是为什么数学家更喜欢使用字母和符号来保持事物清晰的原因。但是现在，我们要尝试使用词语。
如果真的不想吃西蓝花，那么一个遵循逻辑和字面意思的小朋友可能会开始询问：“还有什么其他的食物，我吃了之后就可以吃冰激凌呢？”此时，他们的精准对于成年人来说就是迂腐，大人们可能会生气地说：“你知道我的意思！”但是，孩子们只是追求准确性，并且试图找出一个漏洞来避免吃西蓝花。（我不是那种小朋友，我一直很喜爱西蓝花。也许是因为大人们从不用它来威胁我，或者是因为我喜欢它，所以大人们从不用它当作威胁。）
小朋友可能会说：“如果我用吃些鱼来代替呢？”等待他的答案可能会是“不可以，你必须吃西蓝花！”或者是“不可以，你只有吃掉西蓝花才能得到冰激凌！”这些都是逆转的例子，但是西蓝花的例子比较难看出来逆转。因为实际上这并不是逻辑蕴涵，更多的是一场贿赂。
家长在这里做出了两个命题。首先，他们说：
如果你吃掉自己的西蓝花，那么你就可以吃冰激凌。
（西蓝花
冰激凌）
家长向孩子保证，吃完西蓝花就会有冰激凌。也就是说，孩子如果吃完了西蓝花，就足以赢得冰激凌。
然后家长继续说：
你只有吃完西蓝花才能吃冰激凌。
（冰激凌
西蓝花）
这就向家长保证了孩子不能通过其他方式赢得冰激凌。也就是说，西蓝花是赢得冰激凌的必要条件，没有其他的途径。这就是第一个命题的逆命题。（如果觉得这个箭头的方向看起来很奇怪，那么你可以认为这个命题是说，如果我们最终看见孩子在吃冰激凌，那么我们可以从逻辑上推断他们一定已经吃完了自己的西蓝花。）
所有这一切都是为了解释，为什么“只有”是“如果”的一种逆向表达方式——逻辑正在流向相反的方向。为了同时确保对孩子的保证和对家长的保证，这个承诺需要在技术上表达成“当且仅当你吃了西蓝花，你可以吃冰激凌”。麻烦的是，也许只有相当迂腐的数学家才会说得这么烦琐。所以，我们慢慢形成了一个模糊的感觉，即“只有”和“当且仅当”意味着相同的意思。在正常语言中，区分这两者可能是迂腐的，因为它超出了解释的目的。但问题在于，对于那些开始用逻辑正式思考的人来说，不区分“只有”和“当且仅当”会给他们带来混乱。在更严肃的情况下，这可能会导致更严重的后果。
想象一下，如果你正在追捕一群银行抢劫犯，你知道犯罪团伙中的所有人都是白人。因此，你清楚：
如果你遇到的某个人是犯罪团伙中的成员，那么他是一个白人。
这相当于：
你遇到的某个人，只有在他是白人的时候，才会出现在那个团伙中。
因此，我们可以从寻找白人开始。但是，找到一个白人并不能确保我们已经找到了罪犯，因为逆命题是错误的。逆命题是这样的：
如果你遇到的某个人是白人，那么他是犯罪团伙中的成员。
“是白人”是“犯罪团伙成员”的必要条件，而不是充分条件。
在正常语言中，所有这一切都很可能让你感到困惑和头晕眼花，这也是数学家将事物缩减成字母和符号的原因，因为这样更容易看出模型。我们用箭头表示如下：
● 真命题：犯罪团伙成员
白人
● 假命题：白人
犯罪团伙成员
在下一章中我们将解决谬误的问题。
数学符号是造成数学难于理解和难以学习的事物之一。然而，使用符号有助于我们清晰地思考。蕴涵和逆转都证实了这一点。在日常语言中，由于语法的灵活性，我们如果把词语“如果”放在句中的不同位置，就会让人产生疑惑。例如：
你可以吃冰激凌，如果你吃了西蓝花。
它在逻辑上等同于：
如果你吃了西蓝花，你就可以吃冰激凌。
一般来说，我们看见“如果A是正确的，那么B是正确的”，会认为这句话相当于“B是正确的，如果A是正确的”。这看起来像是我们调转了逻辑的流向，但实际上，我们只是调整了语序而已。
使用箭头符号的优点之一是，通过箭头的方向，我们完全可以弄清楚逻辑的流向。
逆转后变为
A
B
B
A
而且
A
B
相当于
B
A
在页面中，箭头的画法并不重要，重要的是它从谁指向谁。事实上，即使我们把箭头画成下图这样，它在逻辑上的含义也与在B
A中相同（虽然其中可能有一丝可疑的情绪）：
于是，我们得到这些可能性：
如果我们再使用一次“如果……那么……”，那么“如果A，那么B”的逆命题就是“如果B，那么A”。
新命题表面上看与旧命题是非常相似的，但是在逻辑上两者是完全不同的。
维恩图能帮助我们描绘逻辑的某些方面。在做数学研究时，我发现图片是非常重要的。我经常看起来像是在凝视某个地方，但我真正做的是在脑海中操纵图片。数学从抽象中获取力量，也就是说，它是远离于真实世界中我们能接触到的物体和事情的。麻烦的是，这意味着我们很难感受到它。用图片描绘你正在思考的事物的某些方面，将是非常有用的方法之一。图片就像类比（向元类比致歉）——它们虽然无法完全呈现你思考的事物，但是总结了其中一些重要的方面。图片有助于我们在枯燥的逻辑和自身的感受之间切换。特里斯坦·尼达姆在他的著作《复分析：可视化方法》中说道：
虽然，比起做运算，找到一张图片需要花费更多的想象力和努力，但是这一切都是值得的，图片会将你带到更接近真相的地方。
“我觉得这有点儿言过其实。”那些比起图片更喜欢符号和单词的人说道。但是，我发现图片真的对我很有帮助。维恩图对于基础的情形非常有用。在第五章中我们将看到，当事物变得确实很复杂时，流程图会更胜一筹，因为它们具有更多的可能性。如果你拥有的集合数量超过三个，那么维恩图就不太起作用了，因为它们变得过于琐碎，我们已经无法看清楚了。
在第一个例子中，维恩图将帮助我们观察蕴涵的方向性。
让我们来考虑这个逻辑蕴涵：
如果你来自英格兰，那么你来自英国（大不列颠及北爱尔兰联合王国）。我们可以抽象地把英格兰画在英国里，如下图所示：
当我说我来自英格兰时，这听起来很明确，但是有些人会觉得不舒服，因为我“看起来不英国”。但是他们并不介意我说我来自英国。在逻辑上他们肯定认为，我来自维恩图中英格兰之外、英国以内的某个地方。然而，我并不来自苏格兰、威尔士或者北爱尔兰。
我们可以为任何一个蕴涵的命题画出这样一幅图，即使它不是关于地理的，也不是描述物理位置的。例如：
如果你有白人特权，那么你有特权。
如果你是一个美国公民，那么你可以合法地在美国生活。
通常情况下，我们可以这么表示：
A
B
现在，这些圆圈呈现的事物更笼统了，所以它现在更像一个示意图，而不是一个严谨的图表。但是对我来说，这个图已经捕捉到了这样一个想法：A无论如何都无法避免成为B的一部分。
维恩图还能直观地表明蕴涵是不能自动倒退的，因为内部的圆圈和外部的圆圈实际上扮演了不同的角色。A无法避免成为B的一部分，但是B可以避免成为A的一部分，因为在A的外面还有许多空间来承载B。这与逻辑事实相符合——即使A能推断出B，当A为假时，B仍然有可能为真。下图的内容在数学上是正确的，但是具有误导性。
因为这个图看起来存在一种可能，即可以成为一名美国公民，却不可以合法地在美国生活；还存在一种可能，即不必成为美国公民，却能合法地在美国生活。事实上，现实中的情况不是如此对称的——右边区域是空白的。逻辑蕴涵并不是对称的。
我们已经看到，人们可以用许多不同的方式来表达相同的逻辑蕴涵。这里有一套完整的不同表达方式的
A
B
包括把A放在句首的说法，以及与之对应的把B放在句首的说法。
● A蕴涵B。
B由A蕴涵。
● 如果A，那么B。
B，如果A。
● A是B的充分条件。
B是A的必要条件。
● A为真，当且仅当B为真时。
只有当B为真时，A才为真。
这8个命题全都表达了相同的意思，我认为这是难以置信的，我甚至预计有人会写信告诉我我错了（因此，我非常仔细地检查了这8句话，以防有什么拼写错误）。我觉得最后一组是最让人困惑的。这里就有一个悲哀的例子。
在最近一场骇人听闻的事件中，仪表盘摄像机拍摄到一位来自佐治亚州科布县的警察，他在安慰一名惊慌失措的白人女性时说道：“我们只对黑人开枪。”这在逻辑上等同于说：
我们对你开枪，当且仅当你是黑人时。
这相当于
只有当你是黑人时，我们才会对你开枪。
或者可以用箭头的形式来表示：
你是黑人
我们对你开枪
这相当于
我们对你开枪
你是黑人
或者这么说：
如果我们对你开枪，那么你一定是黑人。
这就是当听说某人在美国的路检中被枪击时，你可能会相当确定他是黑人的原因。
这是我更喜欢使用符号的原因之一：它对我来说更快、更清晰，而且所有这8个说法都是相同的，我不必使用珍贵的脑细胞来思考这句话的意思是什么。
有些人错误地认为命题的逆转相当于命题本身，这时就会出现逆转错误。在某种程度上，出现这种错误是可以理解的，毕竟“A蕴涵B”就有8种表达方式，此外还有8种逆向表达的方式。当你告诉学生，为了取得好成绩，他们必须努力学习时，他们认为只要努力学习，就会取得好成绩。这时逆转错误就出现了。努力学习是取得好成绩的必要条件，而非充分条件。努力学习是不充分的，因为你还必须使用正确的方法。如果你不这么想，你就犯了逆转错误。
事实上，一个命题的逆转在逻辑上是独立于原命题的，这意味着两者之间是没有逻辑联系的。也就是说，它们中的一个为真，并不一定意味着另一个也为真，也不一定意味着另一个为假。事实上，所有真命题和假命题的组合都可能出现，如下面的例子所示：
1.如果你是美国公民，那么你可以合法地在美国生活。这是一个真命题。逆转后变成“如果你可以合法地在美国生活，那么你是美国公民”。这个命题就是假命题。因为你还可以通过获得永久居住权和拥有签证合法地在美国生活。
2.如果你有大学学位，那么你是有才华的。我不相信这是真命题。我认为，许多学位授予了不那么有才华的人，及格线是非常低的。这个表述的逆命题为“如果你是有才华的，那么你会有大学学位”。这同样也不是真命题——我认为，许多有才华的人是没有大学学位的，特别是在过去那个年代，上大学并不是人生中必须经历的过程。
3.如果你遭遇过偏见，那么你是一名女性。这不是真命题，男性和非二元性别的人也会遭遇偏见，而且非二元性别的人确实会遭遇这种情况。这个命题的逆命题为“如果你是女性，那么你遭遇过偏见”，无论你是否承认或者对此抱怨过，我认为这都是真命题。
4.如果你支持奥巴马医改，那么你支持美国平价医疗法案。这是真命题，因为奥巴马医改只不过是美国平价医疗法案的非正式名称。这意味着该命题的逆命题也是真命题，“如果你支持美国平价医疗法案，那么你支持奥巴马医改”。不幸的是，有些人支持美国平价医疗法案，但是拒绝支持奥巴马医改，他们并没有意识到两者是相同的事物。他们强烈拒绝与奥巴马相关的任何事，以奥巴马名字命名的事物足以让他们拒之千里。这真让人大开眼界！我认为我们可以从中学到重要的一课——呈现事物的方式的确非常重要，甚至可以推翻非常明确的逻辑。
我们将这些推断总结后列入下表：
命题与其逆命题各有真假，这里列出了所有可能出现的组合，共有4组。这意味着，如果我们从一个新命题开始，发现它为真或者它为假，这并不能帮助我们掌握逆命题的任何信息。因为在理论上，逆命题可以为真，也可以为假。
我们已经讨论了将命题与其逆命题混为一谈的错误，也讨论了仅仅通过一个命题为真，就推断其逆命题也为真的错误。然而，有些时候命题与其逆命题都为真。这时，我们就遇见了逻辑等价的情况。也就是说，如果A蕴涵B，同时B也蕴涵A，那么A和B在逻辑上是等价的——无论何时，只要A为真，B就一定为真；同样，无论何时，只要A为假，B就一定为假。
这意味着，A和B在逻辑上是可以互换的，而且二者往往是看待同一事物的不同视角。至关重要的是，这并不意味着它们是完全一样的，就像之前列出的奥巴马医改和美国平价医疗法案的例子。在逻辑上，二者是相同的，但是在情感上，对于某些人是非常不同的。这些人觉得，支持令人心安的、充满同情心的、以“美国平价医疗法案”为名的事物是可以接受的，但是支持涉及奥巴马的事物就难以忍受了。另一些人的反应则刚好相反，他们会更加积极地对待涉及奥巴马的事物。当两个事物在逻辑上并非等价时却假设它们是等价的，例如认为拥有学位与拥有才华是等价的，这就是假等价的逻辑谬误。稍后，我们会讨论这一点。然而，奥巴马医改/美国平价医疗法案的例子是另一种“假不等价”的情况，有些人认为二者是不同的，但实际上它们在逻辑上是等价的。尽管如此，我们还是应该接受它们在情感上并非等价的事实，而且我们应该顺应这个事实，而不应该仅仅因为它与逻辑冲突就简单地否定它。我们将在第十五章的情感部分讨论这些问题。
当两个事物在逻辑上等价时，蕴涵可以向两个方向流动，所以我们使用如下符号表示：A
B。关于这个命题有许多种说法，因为逻辑是流向两个方向的，所以这些说法往往是对称的：
● A为真，当且仅当B为真时。
B为真，当且仅当A为真时。
● A是B的充分必要条件。
B是A的充分必要条件。
● A在逻辑上与B等价。
B在逻辑上与A等价。
● 如果A为真，那么B为真；如果A为假，那么B为假。
如果B为真，那么A为真；如果B为假，那么A为假。
最后一组说法揭示了一个事实，即当A为假时，“A蕴涵B”无法告诉我们任何信息。如果我们想在A为假时推断出某些事物，那么我们需要做逆转。虽然从表面上来看，逆转给了我们一种途径，让我们从真的B推断出某些信息，而不是从假的A来做推断。下一章我们还会讨论这一点，到时我们将进一步探究事物为假意味着什么。