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如果我吃巧克力，那么我会快乐。
如果我在提到一些不祥的东西后摸一摸木头，那么我会感觉好很多。
如果你乘飞机从芝加哥出发，在伦敦中转后飞往曼彻斯特，那么这会比你乘坐完全相同的航班只飞往伦敦，不再继续后面的行程还要便宜。
如果你在大街上扔下一些钱，那么某些人可能会捡走它们。
如果你是白人，那么你享有白人特权。
这些事都符合逻辑吗？
“如果”这个词看似无关痛痒，却包含了一系列略有差异的含义。其中一部分（并不是全部）囊括了逻辑论证最重要的结构单元——逻辑蕴涵。
逻辑论证是一种方法，它可以用来证明或者检验你是正确的。在生活中，很多方法都可以证明你是正确的。其中一种是大声喊叫；还有一种是告诉那些不同意你的想法的人，他们是愚蠢的。虽然这些不是说服别人的最好方法，但不幸的是，这些方法却是最常见的。
证明事物真假的科学方法包括仔细地收集证据，分析证据，然后完整地记录整个过程，我们只要按照相同的步骤去做，就能重现整个过程。重要的是，这样还能让我们发现自己的错误。
数学是科学的核心，但数学与科学有一点不同。数学使用的是逻辑，而不是证据。数学使用逻辑判断何时事物为真，同时还使用逻辑检测何时事物为假。我们可以这样概括：
逻辑之于数学正如证据之于科学。
也就是说，逻辑在数学中的作用类似于证据在科学中的作用，但是逻辑和证据是完全不同的。不同于证据，逻辑告诉我们什么时候事物必须为真，这不取决于因果关系和可能性，也不取决于观察结果，而是取决于某些内在的、永远不会改变的事物。
在本章中，我们将讨论建立逻辑论证的基本方法：运用逻辑蕴涵。逻辑蕴涵是你如何从一个真命题转移到另一个真命题。它并不会使更多事物变成真的，只是揭示出比我们之前见到的更多的真的事物。逻辑蕴涵表明，“如果”一个事物为真，运用逻辑后，“那么”另一个事物肯定为真。
情况变得复杂了，因为在日常生活中，有些情况下我们说的“如果……那么……”是不合乎逻辑的。我们这么说，可能是出于个人的喜好，比如“如果我吃了巧克力，那么我会快乐”；可能是想表达一种威胁，比如“如果你再说一遍，那么我就大叫了”；可能是出于一种哄骗，比如“如果你吃了自己的那份西蓝花，那么你就可以吃冰激凌”；可能是想做出一个承诺，比如“如果你信任我，那么我保证不会告诉别人”；也有可能是想达成一个协议，比如“如果你帮我遛狗，那么我会付你20英镑”。有些情况下，它可能体现了一种因果关系，而不是逻辑，比如“如果你把杯子弄掉，那么它会碎”；也可能体现了一种规则，比如“如果你超过75岁，那么你在通过机场的安检时不需要脱掉鞋子”；也可能体现了一种对行为准则的个人看法，比如“如果你爱我，那么你不会说那些话！”这句话的真实意思是“我个人认为这不是一个爱我的人该说的话。”还有一个问题是，我们在日常对话中常常用“意味着”来表达“暗示”的意思，比如“你这么说意味着我很愚蠢吗？”我们将在本章中探讨这些例子，并且思考这些例子与真正的逻辑蕴涵之间的差异。在正常生活中，这些差异有一些模糊，但是通过思考这些例子，我们可以试着找出这些差异。
正常语言比数学语言更含糊。因此，在正常语言中，“如果……那么……”可以表示一些其他的含义，就像我们上一段中描述的那样。所以，一个句子中包含“如果……那么……”，不一定意味着这个句子中存在逻辑蕴涵。
正式的逻辑语言和非正式的现实世界语言之间存在差异，无论是在逻辑世界还是现实世界里，我们都经常遇见这些差异，它们是许多混乱的根源。正常语言主要用于交流，而逻辑语言可以消除歧义。二者之间并不是互相排斥的。我们想要尽可能地消除歧义，其实也是在试图更清晰地交流。但是，在使用正常语言进行交流时，我们还有语境、肢体语言、语调、人类认识等方面的帮助，而使用逻辑语言时就不具备这些事物的帮助，也不会产生困惑。因此，在逻辑语言中，“如果……那么……”只能表达一种含义，而在正常生活中，它的意思就取决于情境了。
虽然“如果……那么……”的用法不都是严格符合逻辑的，但也不都是严格不符合逻辑的——它们不与逻辑矛盾，但也不受逻辑支配。在英语中似乎缺少表达这两者之间的差异的方法，所以我们可能会说“非逻辑的（non-logical）”（即使这有点啰唆），或者“无逻辑的（alogical）”，类似于无政治意义的（apolitical）、无性别的（asexual）。我会一直强调一点：你可以是无逻辑的，但是不能不符合逻辑。因为无逻辑确实是不可避免的，并且在某些时候是有益的，甚至是至关重要的，但是不符合逻辑是不可取的。
有太多事物是不属于逻辑蕴涵的。那么，哪些算是符合逻辑的呢？
“如果你有白人特权，那么你有特权。”
这就是一个逻辑蕴涵，因为它来源于固有定义：白人特权是特权的一种特定形式。下面这个句子就存在更多争议了：
“如果你是白人，那么你有白人特权。”
如果我们承认白人特权的存在，那么我认为这句话是符合逻辑的。只不过，为了使它成立，我们可能需要更具体的背景：
“在欧洲或者美国，如果你是白人，那么你有白人特权。”
或者，我们可能需要让背景更笼统：
“在有白人特权的地方，如果你是白人，那么你有白人特权。”
你们可能认为最后一个解构变得毫无意义了，而你想做有意义的事。我们越接近纯粹的逻辑蕴涵，就越能看清逻辑蕴涵。这就是在逻辑论证里发现逻辑的目的——让逻辑更明显。
然而，虽然很多人认为最后那句话的意思是显而易见的，但是这句话仍有争议。有些人声称白人特权并没有惠及他们，只是惠及了较富裕的白人。这些人正在使用不同意义上的“白人特权”。在第六章关于关系的讨论中，我们将探究在哪种意义上，所有白人都有特权，而在哪种意义上，一些白人仍会因为其他原因缺乏特权。因为语言可以以多种不同的方式被使用，所以其本身就是有问题的。
我们如果继续使用正常的日常语言，就注定会有完全符合逻辑这样的困扰，因为我们使用的词语本身就不是完全从逻辑上来定义的。我们可以足够接近它，然后称其为逻辑之外的任何事物，但是在我看来这将是迂腐的，而不是精准的。现在，我们将尝试在一个不同的、有争议的论点中寻找逻辑蕴涵。
一些人认为应该扩大社会福利，为弱势群体提供更多的帮助。另一些人认为应当缩减社会福利，以节省开支并且停止助长懒惰。这两种论点中都存在逻辑吗？逻辑更支持哪一种论点？
一种合乎逻辑的方法是把这两种论点抽象成两个实质——错误否定和错误肯定。这个案例中的错误否定就是那些应该得到帮助的人没有得到帮助；错误肯定是不应该得到帮助的人得到了帮助。于是，下面的蕴涵就变得合乎逻辑了：
● 如果你更关心错误否定而不是错误肯定，那么你就会支持扩大社会福利。
● 如果你更关心错误肯定而不是错误否定，那么你就会支持削减社会福利。
这是对论证的一种简化，但是在简化的过程中，我们更加明确了这些立场之间的差异。我们发现，更加关心错误否定的人不会轻易与更加关心错误肯定的人达成共识。在这种情况下，要想达成共识，关键是要改变某些人对核心原则的看法，而不是对其他部分的看法。
错误肯定和错误否定是造成许多分歧的核心。所以在这种情况下，抽象不仅能澄清论证，还能帮助我们与其他论证建立联系。
例如，生活中有一句励志名言：“你不会因为做某事失败了而后悔，却会因为不敢尝试、一无所知而悔恨。”这句话是在鼓励我们做一些自己本不应该做的事情（错误肯定），不是在鼓励我们放弃自己应该做的事情（错误否定）。事实上，我更喜欢“我们放弃了自己应该做的事情，却做了自己不应该做的事情。”这句话既包含了错误否定，又包含了错误肯定。
这种抽象的方法还帮我解决了时差的问题：我发现，比起在完全清醒的时候睡觉（错误否定），我更擅长在困的时候保持清醒（错误肯定）。因此，对我来说，解决时差问题的良策就是让自己提前处于睡眠不足的状态。因为我知道，到达目的地后，我可以在必要的时候保持清醒，这样晚上会非常疲倦，我肯定能睡得着。然而，如果某些人不擅长这种错误肯定，那么他们最好先睡足觉，在到达目的地后他们可以睡得更多。
这里的逻辑蕴涵如下所示：
● 如果比起在不困时入睡，你更擅长在困倦时保持清醒，那么你应该在跨越时区前减少你的睡眠。
● 如果比起在困倦时保持清醒，你更擅长在不困时入睡，那么你应该在跨越时区前睡足觉。
解决时差的问题和解决社会福利的争论居然有一些相同之处，这看起来可能令人惊奇，但这还只是抽象力量的一个方面。抽象能够将看似没有关联的情况联系起来，并更高效地发挥我们有限的思维能力。在第十一章关于公理的讨论中，我们将探究如何使用抽象来揭示更多个人的、根本的信念。
如果一个命题遵循纯粹的逻辑，那么这个命题自然为真。将这个命题大声说出来并不会增加新的信息，但是会增加新的见解。这就是为什么在平常语言中，逻辑论证常常听起来有点儿愚蠢，因为即刻产生的新见解往往是非常显而易见的。例如，“如果你有白人特权，那么你有特权。”句子中“你有特权”这部分是逻辑推论，那么它自然为真。这部分没有增加任何新信息，但是针对同一个事物提供了不同的观点。在这个案例中，新观点拓宽了不同类型的特权的背景。
通过这种方式，逻辑其实是将新的光芒照向了事物，而不是发现了新的事物。从某种程度上说，这与考古学家挖掘古代艺术品没什么区别。那些古物已经在那里了，只是需要人们挖掘才能重现天日。我们收获了新的见解，只是因为在此之前，我们有一点儿无知。如果我们挖出的是几百年前的陶罐或者几百年前建筑的地基，那么有可能某些人已经知道这些事物了，只不过他们已经去世很久了。
在国外度假时，有时你会在后街“发现”一间可爱的咖啡馆。当然，你并没有真的发现新事物——很多人（店长和所有去过咖啡馆的人）都已经知道这家咖啡馆了。但是对你来说，它却是新事物。有时，某些人认为他们“发现”了令人惊叹的新歌手，但事实证明这些歌手已经非常有名了，只是对于那些刚刚发现他们的人来说，他们并不出名，于是其他人在听到这种感叹时翻起了白眼。
逻辑推论并不是新的事实。比如，在白人认为他们“发现”了美洲新大陆之前，它已经在那儿了。无论人们是否注意到它，逻辑推论都是正确的。“如果你有白人特权，那么你有特权”这个推论是非常明显的，但是如果把一系列逻辑推论一个一个地串联起来，那么你渐渐会到达远离起点的某个地方，这时逻辑的力量就建立起来了。例如，我们可以将这些蕴涵串联起来：
（1）如果你是白人，那么你有白人特权。
（2）如果你有白人特权，那么你有特权。
我们现在有了这样的蕴涵：“如果你是白人，那么你有特权。”
有时，启示是突然发生的，这就像你一铲又一铲地挖着土，突然就碰到宝藏一样。有时启示又是循序渐进发生的，有一个著名的案例——一个人用一枚回形针渐渐交换到了一幢别墅。
凯尔·麦克唐纳是一位互联网传奇人物，他为自己设置了一项挑战——用一枚回形针交换一套房子。他不是一次性交换完成的，而是通过与很多人进行一系列的交换完成的，这些人在交换过程中并没有觉得遇到不公平交易。确实，凯尔·麦克唐纳在开始时使用的回形针是相当大的（而且是红色的），它不只是一个平凡无奇的标准办公用回形针。
这件事听起来完全让人难以相信，但是凯尔·麦克唐纳通过一系列交易确实达到了目的。每一次交易中，都有人觉得交易过程涉及的两件物品是等价的，是值得交易的。但是在这个过程中，凯尔·麦克唐纳距离最初的回形针已经越来越远了。
抛开这些交易已经发生的事实，最令我着迷的事情是为什么涉及这些交易的人们都觉得公平。当凯尔·麦克唐纳用雪球交换与爱丽丝·库珀共处一个下午时，他已经在网上拥有了一大批追随者，这场交易引起了一些恐慌。但也许他知道自己在做什么——难道他知道电影导演柯宾·伯恩森正在收集这些东西，所以他可以与导演好好进行一场交易？
最后一次交易发生了，因为吉卜林人决定让他们镇上的某个人参与电影的拍摄，所以在城镇里为麦克唐纳提供了一幢双层别墅。2006年秋天，麦克唐纳和他的女朋友搬进了别墅。
这个故事有很多吸引我的地方，特别是它让我想起了那个互联网还没有被辱骂和欺凌所笼罩的时代。但是我真正着迷的是这种视觉错觉的心理层面，在这里你前进的一小步并没有很让人惊奇，但是到达某个地方后，那里距离你开始的地方已经远得惊人了。这就是逻辑的运作。你走出的每一步都应该完全由逻辑驱动，这意味着这些步骤有可能仅仅是某些定义的拆解，这看起来似乎显而易见，甚至毫无意义。但是，当你成功地将它们串联在一起时，你将会到达一个看起来全新的、距离你的起点非常远的地方。凯尔·麦克唐纳的一系列交易是精湛而巧妙的，一长串的逻辑蕴涵也是精湛而巧妙的，它们体现了数学的进步。之后我还会证明，它们是强大的智者应该具备的基本技能。
建立一长串的逻辑蕴涵来到达某个新领域是逻辑证明的概念，也是数学中逻辑证明运作的方式。现实生活不是数学，但是，我们在现实生活中仍然应该以相似（并不是完全相同）的方式建立逻辑论证。论证中的每一步都应该是逻辑蕴涵。
一长串的逻辑蕴涵还有一个更严肃的例子，那就是查尔斯·杜希格在《习惯的力量》中描述的关于婴儿为什么会有先天缺陷的研究。研究表明，先天缺陷是由母亲体内营养不良造成的。但这并不仅仅指怀孕期间——它是指长期的营养不良。研究发现，长期营养不良是由营养不足造成的，而营养不足又是由在校期间科学教育不足造成的。教育不足是由教师不具备足够良好的科学背景造成的。由此产生了一个惊人的推论：如果教师有更高水平的科学成就，那么最终会减少婴儿的先天缺陷。顺便说一下，杜希格写道，领导这项研究的人是年轻的保罗·奥尼尔，他后来成为著名的首席执行官，之后成了美国财政部长。这就是一个在现实生活中巧妙建立一长串逻辑蕴涵的案例。
虽然我们的目标是在现实生活中更好地使用逻辑蕴涵，但是我认为，更多地了解在数学中如何使用逻辑蕴涵也是很重要的。数学语言是枯燥而又正式的，这使它看起来既格格不入，又令人敬而远之。但是，它的枯燥是有极为充分的理由的——让事物变得清晰明了，不拖沓模糊。数学语言的枯燥还有助于让事物更加简洁，从而帮助我们建立更庞大、更复杂的论证。它就像真空袋，你先把衣服放进真空袋里，然后用吸尘器把袋子里的空气抽走。这样，一整堆衣服就压缩成了一个坚实的方块。
“如果……那么……”还有一个更简洁的说法就是“意味着”。所以，我们可以用“A意味着B”来代替“如果A，那么B”。数学家使用符号“
”来表示“意味着”。那么上述蕴涵表明：只要A为真，B就绝对为真。当A为假时，蕴涵就不会告诉我们任何信息了。
例如，“成为美国公民意味着你可以合法地在美国生活”，这句话表明任何一个美国公民都可以合法地在美国生活。但是，当某个人不是美国公民时，这个蕴涵并没有告诉我们任何关于他们的事情：这些人可能可以合法地在美国生活（比如，他们有签证或者永久居住权），或者他们可能不可以。不幸的是，有些人在这里失去了逻辑，他们认为任何一个非美国公民在美国生活都是非法的。我们将在下一章讲到这个严重的逻辑错误。
证明基本上就是将一系列蕴涵串联在一起，如下所示：
A
B
B
C
C
D
然后，我们可以得出A
D。这是因为，在第一个蕴涵中，如果A为真，那么B也为真；在第二个蕴涵中，如果B为真，那么C也为真；最终，在第三个蕴涵中，如果C为真，那么D也为真。因此，整体的连锁效应就是，如果A为真，那么（经过一些思考）D也为真。
这里的关键之处就是“经过一些思考”——比起单个蕴涵，一连串的蕴涵需要在遵循逻辑的过程中保持更高的关注度和控制力。遗憾的是，这些也是论证中常常会缺失的部分。
这里有一些更长的蕴涵链，它们要遵循的不仅仅是一个基本的逻辑指令：
（1）如果你说女性是低人一等的，那么你是在侮辱女性。
（2）如果你认为用“女性化”形容一个男人是侮辱他的方式，那么你是在说女性是低人一等的。
（3）因此，如果你认为用“女性化”形容一个男人是侮辱他的方式，那么你是在侮辱女性。
还有一个例子：
（1）如果你不支持那些受打压的少数民族，那么你就是在助长偏执。
（2）如果你助长偏执，那么你就和偏执狂串通一气。
（3）如果你和某些坏人串通一气，那么你就跟他们一样坏。
（4）因此，如果你不支持那些受打压的少数民族，那么你就和偏执狂一样坏。
值得注意的是，如果你不支持那些受打压的少数民族，那么上述推断就是正确的，但无论你是否支持少数民族，上述蕴涵都是正确的。我可能不知道你是少数民族的忠实盟友，所以我可能会对你说，“如果你不支持那些受打压的少数民族，那么你自己就和偏执狂一样坏”。即使你个人实际上并不是偏执狂，我这个命题仍然是真命题。这就是蕴涵的奇妙之处。无论实际上你是不是美国公民，或者无论你是否拥有永久居住权，命题“如果你是一个美国公民或者你拥有永久居住权，那么你需要有健康保险”都为真。蕴涵并没有告诉我们某些人是否需要健康保险，我们只知道如果他们是公民或者他们拥有居住权，那么他们肯定有健康保险。
我们可以从逻辑蕴涵中建立庞大的论证，而且论证仍然具有这样的特征：只有在满足开放性条件时，推断出的命题才会被认定为真命题。但是，论证本身已经告诉我们，如果满足了开放性条件，那么推断出的命题是真命题，而且这个论证也往往是正确的。在数学中，这种类型的推理就是证明。
我将更进一步证明，把长串的蕴涵串联在一起会赋予我们逻辑的力量。正是它使我们像凯尔·麦克唐纳一样，从显而易见的事情开始，努力去做一些复杂而又不明显的事情。构建和遵循如此复杂的论证是很困难的，但它能充分利用我们人类大脑的关键部分。我相信，正是这一点将我们与单纯的动物和幼小的孩子区分开，而他们只能处理眼前的需要，完成直接的观察。长串的蕴涵常常需要将许多相互关联的观点压缩成一个简单的单元，这样我们就可以更容易地在它上面构建论证了，就像对我们的衣服进行真空包装一样。在这个过程中，我们获得了新的领悟和更深的理解。
在进行数学证明之前，我们必须非常仔细地奠定基础，这就像为一项运动制订规则一样。这么做的原因有很多方面，我认为思考这些问题是具有启发性的。现实生活中，许多论证最终都走向了错误，不是因为论证本身有问题，而是因为论证的基础有问题。在现实生活中，我们常常在论证的最后阶段才意识到，我们使用了不同的定义或者假设。
（1）我们应该仔细定义我们所讨论的概念。
（2）我们应该仔细表述我们所做出的假设。
（3）我们应该以一种明确的方式仔细地、精确地表述我们所要证明的内容。
数学中的假设与生活中的假设有一点儿不同。在数学中，假设与我们决定工作的条件有关，或者与使结论成立的条件有关。所以，我们在运用结论时，首先应该检查我们将要运用结论的情境是否满足这些条件。
例如，我们可以假设自己生活在一个球体的表面，然后证明在这个条件下，某些事物是正确的。关于我们是否真的生活在一个球体的表面，这里并没有传达任何判断。它只是说，如果我们确实生活在一个球体的表面，那么这件事是正确的。
在生活中，人们也应该按照相似的方式运用假设。但不幸的是，人们往往不这么做。例如，在关于女性的平均收入为什么比男性低的争论中，有时人们会假设女性并不像男性那么在意收入的多少。现在，在这个假设下，女性的收入比男性少似乎是合理的结果。当我们把这个结论运用到现实世界中的时候，我们需要观察这个假设是否正确：女性真的没有男性那么在意收入的多少吗？
请注意，我认为这个蕴涵并不是正确的：即使女性真的不像男性那么在意收入，我也认为在相同的职位上支付女性较少的工资是不合理的。我认为这是剥削。在任何情况下，如果我们清楚自己的假设是什么，那么我们至少可以清楚地知道自己赞同争论的哪个方面，或者反对争论的哪个方面。
一旦我们奠定了基础，一系列的命题就会组成真正的证明，其中每一个命题都从逻辑上遵循了我们已经证实的事物。这个事物可能是关于我们所处世界已知真相的假设，也可能是证明中的前一个命题。这一系列命题创造了一个有始有终的逻辑链，起点是我们做出的假设，终点是我们想要证明的东西。当然，有时这个逻辑链会崩溃，特别是在正常生活中，这就是为什么世上糟糕的论证会多于精彩的论证。这些失败大体上分为知识的问题和逻辑的问题。
如果一场论证因为知识的问题而崩溃，那么它可能遇到了以下情况中的一种：
● 使用了未阐明的假设，或者错误地使用了已经阐明的假设。
● 使用了错误的定义，或者错误地使用了定义。
使用一个未经阐明的假设，是掩盖你不知道某个事物的一种方式。使用一个错误的定义或者错误地使用定义，是使一场论证变得比原先更容易的一种方式，但是这会导致大量的稻草人谬误和错误的等价论证。
这些数学证明中出错的方式往往也是现实生活中论证出错的方式。未阐明的假设常常出现在关于福利的争论中，此时一些人心照不宣地假设，只有人们太懒惰而不努力工作时，他们才会贫穷；或者出现在关于堕胎的争论中，此时一些人会假设，只有人们生活不检点时，才会发生意外怀孕；又或者出现在关于临床抑郁症的争论中，此时一些人会假设抑郁症是由境遇引起的，因此一个成功人士应该是没有任何理由抑郁的。
错误定义的问题常常出现在关于移民的争论中，此时有些人会把“移民”定义为“非法移民”。在正常生活中，这种问题时常发生，因为有些事物没有明确的定义。这种情况经常在发生在以下争论中：某些行为是不是“爱国的”；某件事是不是“性别歧视的”；某些人是不是“女权主义者”；某些事是不是“民主的”。
在证明中，逻辑的问题包括以下几种：
● 逻辑裂缝：不经验证就从一个命题跳到下一个命题，或者两个命题之间遗漏了太多步骤。
● 错误推论：这是指推导出的逻辑步骤实际上不正确的时候，根据这个步骤你认为某个事物在逻辑上符合另一个事物，但它其实是不符合的。
● 手舞足蹈：结论并不是通过真的使用逻辑，而是充分运用象征性的肢体动作得出的，这让别人误以为你使用了逻辑。
● 错误逻辑：错误的逻辑可以通过很多微妙的方法“溜”进论证，成为逻辑谬误。在本书的后半部分，我们将从细节上分析一些著名的逻辑谬误。
在现实生活的争论中，吼叫和辱骂常常成为手舞足蹈的有力支撑。例如，“任何人只要有半个脑细胞，就应该理解这件事！”这种言论往往就是一个信号——某个人实际上不知道该如何证明某件事了。
“科学家之间彼此认同，这表明存在一个阴谋”，这个观点就是一个错误推论的例子。就像先前我举的温布尔登网球锦标赛结果的反例，这里的推论（存在一个阴谋）并没有在逻辑上遵循人们彼此认同的事实。
人们因为某件事指责一个人，而忽略所有其他的因素，这就是一个逻辑裂缝的例子。我们来考虑一种被称为“狼来了”悲剧的情况：警方接到一个恶作剧电话，于是冲进一个无辜者的家里，并枪毙了他们。警察如果经常把所有的责任都归咎于恶作剧者，就会忽略一个事实，那就是他们在掌握极少的证据或理由的情况下，射杀了一个无辜的人。
你只有充分理解了逻辑，理解了逻辑错误背后的情感因素，才能直接驳斥那些使用错误逻辑的论点。在本书的最后部分，我们将回到这一点上。
霍金在《时间简史》中提到了一个故事：在一场宇宙论的报告后，一名听众走到“知名科学家”面前，声称“你告诉我们的都是垃圾。世界其实就是背在一只巨大的海龟背上的平板”。科学家问：“那海龟站在什么上面呢？”随之观众推测说：“你非常聪明，年轻人，非常聪明，但是海龟下面还是海龟！”
即使我们不是使用海龟，而是使用逻辑来支撑自己的论证，我们仍然需要知道是什么在支撑我们每一个层级的论证。重要的是，逻辑蕴涵只能帮助我们从某个事物推断到另一个事物。“X意味着Y”只能告诉我们，如果X为真，那么Y为真。它并没有告诉我们X是否为真。为了清楚X是否为真，我们需要再找到一个事物推断出X，也许W意味着X。但是，什么能告诉我们W为真呢？也许V意味着W。然而，什么意味着V呢？这些蕴涵的起点在哪里呢？
正如我提到的，我认为这种倒推的过程很像小孩子一遍又一遍地问“为什么”。每次你给了他们一个答案，他们又会对此进一步追问“为什么”。孩子们显然有无穷的好奇心和无限的耐心来一遍又一遍地重复相同的事。所以，在成年人感到挫败并且终止这场对话之前，小朋友会一直问“为什么”。在抽象数学领域开展自己的研究之前，我本人在科学和数学的道路上也始终坚持着刨根问底的精神，因为我一直会问“为什么”。实用主义和世俗责任导致成年人（至少是大部分成年人）不再询问为什么。他们接受某些事物，然后平凡度日。我乐于认为还是有无穷的好奇心藏在我们的内心之中的，这就是为什么维基百科那么受欢迎，也是为什么我们那么多人轻易地掉进了维基百科的虫洞里。你会不停点击更多的链接，阅读更多的文章，了解更多的事物，大家对此都心知肚明。（对于猫视频虫洞，我确实也做出了自己的那部分贡献。）
知道我们从哪里开始是很重要的。但是从某种程度上说，这取决于知道我们什么时候该停止。也就是说，知道我们什么时候该停止追问“为什么”，什么时候该停止更进一步地为自己辩解。我们应该在什么时候停止填补逻辑裂缝呢？最终，我们关闭了维基百科的页面，开始做其他事。最终，我们告诉那些好奇的孩子，他们该去睡觉了，或者该去上学了。如果我想象出了一个成年人，他没有培养出停止追问“为什么”的能力，就这么过着日常的生活；或者我想象出了一个饱受折磨的哲学家，他不吃饭，不睡觉，也不赚钱，只是不停地质疑所有事物，追求各种意义。那么，我存在吗？生活的意义是什么？我们为什么在这里？为什么世界上有那么多苦难？什么是爱？为什么人们彼此怨恨？为什么人类彼此伤害？作为一个适可而止的成年人，我们应该在某个时刻——不一定是永远的停止，但至少在每天的某个时刻——停止询问这些问题。
在逻辑中，我们也必须在某些点停止提问，同时接受一些事实，否则我们就永远不会有结果。我们可以推断出Y由X蕴涵，X由W蕴涵，W由V蕴涵，以此类推，但是在某一点，我们需要停止倒推，并且意识到现在我们已经解释得足够多了。你停止进一步倒推的地方，就是你确定基本假设或者基本观念的地方，无论是对于假设还是观念，此时你都不需要再做论证了。但这并不意味着你永远不再尝试论证，或者也没有其他人再去尝试论证。只是在当下，你决定这里就是自己的起点，这里就是你逻辑体系或者观念体系的基础。
在逻辑和数学中，这些起点被称为公理，我们将在第十一章进一步讨论它们。在逻辑中，我们需要一个起点，因为我们只能从一些事物推断出另一些事物——我们不能凭空推断出什么。我们不是魔术师，而且即使是魔术师也不是真的能凭空创造出某些东西，他们只是成功地骗过了我们。如果逻辑学家声称他能凭空推断出某些事物，那么他们也是在欺骗我们。
在我自己的观念体系中，寻找公理或寻找起点，能够使我对自己的思想有更清晰的了解，具备确定基本观念的能力。而这一点有些人是无法做到的。例如，当涉及偏见的时候，我从根本上认为，拥有较多权力的一方对拥有较少权力的一方持有偏见比相反的情况更有害。这意味着，如果我在追溯其他人的公理时发现它与我的公理是不同的，那么接下来我就会清楚地知道，我们的分歧从一开始就出现了。如果不解决这个起点上的分歧，仅仅尝试处理之后的蕴涵，那将是毫无意义的。但至关重要的是，从不同的基本观念出发，在严格地、完美地运用逻辑之后，我可能会得出不同的结论。也就是说，即使两个人都遵循逻辑，他们也会对某些事物产生分歧。
找出论证中的基本出发点是从逻辑上分析论证的重要组成部分，也是理解分歧本质的重要组成部分。逻辑必须从这个出发点出发。在下一章，我们将讨论逻辑流的方向性。和时间一样，逻辑是有方向的，而且我们不能试图违背它。