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为了写出矢量形式的牛顿定律，我们只需要再走一步，接着定义加速度矢量就够了。这一步就是速度矢量的时间导数，容易证明它的分量是 x , y 和 z 对时间 t 的二阶导数
利用这个定义，牛顿定律就可以按这样的方式写出：
或者
于是，证明在坐标旋转下牛顿定律的不变性这个问题就是：证明 a 是一个矢量；我们刚刚做了这个证明。证明 F 是一个矢量：我们假设它是一个矢量。这样，如果力是一个矢量，那么，由于我们知道加速度是一个矢量，因此，方程（1.13）在任意坐标系下看起来都将一模一样。以一种不显含x, y和z的形式写下牛顿定律具有这样的好处，从今以后，每当我们要写下牛顿方程或者其他物理定律时，再也不需要写出三条定律了。表面上看，我们写下一条定律，但实际上对每一个特定的坐标系，自然就是三条定律，原因就是，任何矢量方程表示，方程两边各个分量相等。
加速度是速度矢量的变化率，这个事实有助于我们在某些相当复杂的情况下计算加速度。比如说，假设一个粒子正在一条复杂的曲线上运动（图1-7），而且在某个特定的时刻 t 具有确定的速度 v 1 ，而当到达另一个稍晚一点的时刻t 2 时，它具有不同的速度 v 2 。加速度是什么呢？答案是：加速度就是速度之差被这个小的时间间隔除，这样，我们就需要用到两个速度之差。我们如何得到速度之差呢？为了把两个矢量相减，我们过 v 2 和 v 1 的终点画出这个矢量；即，取Δ作为两个矢量之差，对吗？不对！只有当矢量的尾部放在同一点上时，上面的做法才行得通！如果我们把矢量移到别的某处再画一条直线过来，就毫无意义了，因此，务必要注意这一点！为了把矢量相减，我们必须画一个新的示意图。在图1-8中， v 1 和 v 2 均被画成与图1-7中它们的对应部分平行而且相等，这样我们就能够讨论加速度了。加速度当然就是Δ v /Δ t 。有趣的是能够将速度之差分解成两个部分；我们可以把加速度看成具有两个分量，一个是与路径相切方向上的Δ v ‖ ，另一个是与路径成直角的Δ v ⊥ ，如图1-8所示。与路径相切的加速度当然只是矢量长度的改变，即速率 v 的改变：
图1-7 一条弯曲的轨道
图1-8 计算加速度的示意图
利用图1-7和1-8计算加速度的另一个与曲线正交的分量是很容易的。在短时间Δ t 内，设 v 1 和 v 2 之间的角度改变是一个小角Δ θ 。如果速度的大小用 v 标记，那么，自然就有
而加速度 a 就是
现在我们需要知道Δ θ /Δ t 的值，它可以按照以下方法求出：在某个确定的时刻，如果曲线近似于某个具有确定半径 R 的圆，那么，在时间Δ t 内距离 s 自然就是 v Δ t ，其中 v 是速率。
因此得到
与先前见过的一样。