第二节
连锁悖论举要

古希腊麦加拉派的逻辑学家欧布里德斯（Eubulides）提出了很多怪论和悖论，其中两个是如下的连锁悖论：

（1）谷堆悖论

一粒谷算不算谷堆？不算！再加一粒呢？也不算！再加一粒呢？还不算。再加一粒呢？……因此，无论加多少谷粒，即使加1万粒，也不会造成谷堆。

（2）秃头悖论

头上掉一根头发算不算秃头？不算！再掉一根呢？也不算！再掉一根呢？还不算。再掉一根呢？……因此，无论掉多少根头发，即使所有的头发都掉光了，也不会造成秃头。

顺便提及，根据网上查到的资料，长金发的人平均有14万根头发，长红发的人平均有9万根头发，长棕发的人平均有10万9千根头发，长黑发的人平均有10万8千根头发。

有资料表明，欧布里德斯提出如上两个悖论，很可能受到由爱利亚的芝诺在一个世纪以前提出的如下悖论的启发：

（3）谷粒和响声

如果1粒谷子落地没有响声，2粒谷子、3粒谷子落地也没有响声，如此类推下去，1整袋谷子落地也不会有响声。

应该注意，古希腊思想家在这里并不是要探究事实的真相，而是试图找到逻辑演绎与事实之间的差别。如果承认从一粒谷到谷堆之间、从满头头发到秃头之间、谷子落地从没有响声到有响声之间都有一个连续的系列，那么，其间会有一个变化的模糊区域，以至于我们无法弄清楚其确切的分界线在哪里。

根据第欧根尼·拉尔修的《名哲言行录》的记载，斯多亚派的克里西普斯（Chrysippus,c.280—c.206 BC）还提出了如下的悖论：

（4）很少悖论

并非2是很少的而3不是；并非2和3是很少的而4不是；如此类推，直至1万。但是，2是很少的，所以，1万也是很少的。

如上这些悖论流传很广，被后世很多人所知晓。西塞罗（Cicero, 106—43 BC），作为古罗马的演说家、政治家和哲学家，曾谈到：

人们必定要批评[新柏拉图学派]利用一种极端诡辩的论证。这种论证通常在哲学上完全不能令人满意，因为它依赖一种通过一点一点增加或减少而进行推理的方法。他们称这种论证为连锁论证，是因为通过一次增加一颗麦粒到了某个时刻就成了一个麦堆……。我们不具备知道绝对界限的能力，以便根据事物的本性能够精确地确定我们在任何方面到底走了多远；这种情况不仅出现在麦堆的例子中（连锁论证从这个事例得名），而在无论什么事例都是如此：如果通过逐渐细微的增加或减少，问我们如此这般的一个人是富人还是穷人，是名人还是无名之辈，问我们远处的东西是多还是少，是大还是小，是长还是短，是宽还是窄，那么，我们不知道在什么程度上能够通过增减给出一个明确的回答。

（5）王悖论

这是达米特以美籍华裔逻辑学家王浩的名字命名的一个悖论 ，与数的大小有关：

1是一个小数。

对于任一n，如果n是一个小数，则n+1也是一个小数。

所以，每一个数都是一个小数。

这个推理的第一个前提确实是真的。而且，给一个太小的数加1也不会使得它从一个小数变成不小的数，故第二个前提似乎也是真的。并且，这个推理似乎也是有效的。假如1是一个小数，则1+1即2也是一个小数；如果2是一个小数，则2+1也是一个小数；只要有足够的耐心，我们可以不断重复这样的推理步骤，以至我们最后得到了100万这个数，按照前面的道理，它也应该是一个小数，但很显然它不再是一个小数，而是一个很大的数！我们究竟错在哪里呢？

如上所述的连锁悖论可以表述成如下4种一般形式：

（a）条件命题的递增形式，例如“谷堆”悖论：

（b）条件命题的递减形式，例如“秃头”悖论：

（c）否定的合取命题形式，例如很少悖论：

（d）数学归纳法形式

应该注意，上述推理模式构成一个连锁悖论，必须满足一些条件。首先，〈a ₁ , a ₂ , a ₃ , …, a _i 〉必须是一个有序i元组，例如，根据头发根数的多少对“秃头”排序，根据谷粒的多少对“谷堆”排序。其次，谓词F必须满足三个限制条件：（i）它必须对该序列中的第一项a ₁ 是真的；（ii）它必须对该序列中最末一项a _i 是假的；（iii）在该序列中，紧邻的两个项a _n 和a _n+1 必须足够相似以至相对于谓词F难以鉴别，即是说，它们同时满足谓词F或者同时不满足F。由这样的谓词F和序列〈a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…, a _i 〉所构成的论证就是一个“连锁悖论”。 在此类悖论中，一个前提的轻微不精确，在一连串推理步骤中被一再复制或放大，最后得到荒谬的结果。这是由演绎推理而导致的悖论，并且很可能是这种悖论中最简单的一类。

下面列举一些与连锁悖论很相似的悖论，它们都是从明显真实的前提出发，通过微小而难以觉察的改变，或者通过直观上有效的小的推理步骤，得出了明显为假的结论，或者是得出了其真实性高度可疑的结论。

（6）忒修斯之船

据普罗塔克（Plutarch,c.46—c.120 AD）记载，忒修斯（Theseus）是传说中的雅典国王，在成为国王之前，他驾船率人前往克里特岛，用利剑杀死了怪物米诺陶，解救了作为贡品的一批童男童女。后来，人们为了纪念他的英雄壮举而一直维修保养那艘船。随着时光流逝，那艘船逐渐破旧，人们依次更换了船上的甲板，以至最后更换了它的每一个构件。这时候，人们禁不住发出疑问：更换了全部构件的忒修斯之船还是原来那艘船吗？后来，常把其所有部分被替换后原主体是否仍然存留的哲学问题称之为“忒修斯之船”。英国哲学家霍布斯（Hobbes,1588—1679）曾在其著作《论物体》（第2编第11章第7节）中对其加以探讨。

“忒修斯之船”的悖谬之处在于：

（a）如果一艘船仅有部分构件被更换了，那艘船仍然是原来那艘船。

（b）如果一艘船的全部构件都被更换了，那艘船不再是原来那艘船。

（c）根据（a），如果我们每一次只更换那艘船的很少构件，比如说一个构件，在每一次更换后，那艘船仍然是原来那艘船；直到最后一次更换时仍然如此。

（d）根据（b），到最后一次更换时，该艘船的所有构件都被换掉了，那艘船不再是原来那艘船。

（e）矛盾：被更换了全部构件的那只船，既是原来那艘船又不是原来那艘船！

忒修斯之船所涉及的问题是：我们如何理解和刻画跨越时间或空间的个体的同一性（identity）？例如，一个人从小孩变成了老人，我们认为还是同一个人；一艘船尽管更换了全部部件，我们是否仍然认为它还是原来那艘船？如果这样的话，莱布尼茨的“同一不可分辨”原则（如果x=y，则Fx→Fy）和“不可分辨者的同一”原则（如果Fx↔Fy，则x=y）是否仍然成立？其理由是什么？……

（7）卡特勒爵士的袜子

这是忒修斯之船的变体。

据说，约翰·卡特勒爵士有一双非常喜欢的袜子，他一直穿了好多年。一旦某个地方破了，他就要仆人织补，如此不断反复。若干年之后，原来袜子上的一根线都不存留了，全部材料都换成了新的。这时候，他感到纳闷：我的这双袜子还是我原来喜欢的那一双吗？如果不是，它在什么时候变得不是原来那双袜子了呢？

（8）颜色悖论

假设我们把100个色块顺序排列，从左端的红色到右端的橘色。如果我们把所有其他色块拿掉，只留下相邻的两个色块，它们之间的差别仅凭我们的视觉难以觉察和分辨，因而我们应该把它们视为同一，既然第一块是红色，由于第二块在颜色上与第一块无法分辨，则第二块也是红色；而第三块在颜色上与第二块也无法分辨，则第三块也是红色；第四块在颜色上与第三块也无法分辨，则第四块也是红色；如此类推，最后应该得出第一百块也是红色。但事实上，第一百块是橘色的！问题出在哪里呢？我们在哪一步或哪些步的推理上出错了呢？

颜色谓词是观察谓词，涉及我们感官的观察能力和分辨能力。其他连锁悖论都或多或少带有一点“臆造”的性质，人们很容易把“悖论”的产生归结为我们的语词不精确，例如“秃头”、“谷堆”、“很少”、“小数”这些词就是边界不精确的词语，而颜色悖论似乎就是现实世界中真实存在的情形，因此颜色悖论是比较难对付的连锁悖论之一。

以上三个悖论涉及“不可分辨性”，根据莱布尼茨提出的“不可分辨者的同一”原则，即∀x∀y（（Fx↔Fy）→（x=y）），它们都涉及等词“=”，有如下的共同形式：

（9）自我折磨悖论

由奎恩（W. S. Quinn）提出，亦称“奎恩悖论” 。

有一个人，权且叫他“约翰”吧，受雇做医学实验：接受很轻微的令人感到些许疼痛的刺激，为此他会得到一笔钱；随着刺激量的逐渐轻微加大，所得到的钱的数目会以更大幅度增加。每一次刺激量加大所造成的疼痛加重是如此轻微，以至很难与上一次刺激所造成的疼痛区分开。所以，可以合理地设想，约翰没有理由叫停下一次刺激量增加，何况他还可以得到更多的钱。但到某一次刺激量增加时，其所造成的疼痛是如此难以忍受，不是所得到的任何数目的钱所能补偿的。

下面的难题与连锁悖论有很密切的类似，但很难说它是一个连锁悖论。

（10）云彩悖论

通称“一多问题”。彼特·昂格尔（P. Unger）最明确地阐述了这个问题 ，后来引起了广泛讨论。

试设想晴朗天空中的一块云彩。从地面上看，那块云彩有明确的边界。但事实并非如此。那块云彩由大量的水蒸气组成，在云彩的外缘，水蒸气的浓度逐渐降低，以至它们是如此稀薄，我们会迟疑地不再把它们视作那块云彩的一部分，而只是说它们靠近那块云彩。但是，变化是渐进的，许多层面都同样可以作为该块云彩的边界的候选者。因此，许多水蒸气的聚集，或浓或淡，或大或小，都同样可以视作该块云彩。既然它们有同等的根据，我们凭什么说水蒸气的这团聚集而不是另一团聚集是那块云彩？如果它们全都可以算作云彩，则我们有许多块云彩，而并非只有一块云彩。如果它们每一个都不算作云彩，则我们就没有一块云彩。问题在于：我们如何可能只有一块云彩？尽管事实上确实如此。

云彩悖论的产生源自于下面8个命题，单独来看，它们每一个都是真的，但搁在一起却不相容：

（a）有几团不同的水蒸气聚集s _k ，对于每一团s _k 来说，该s _k 中的水蒸气是否构成了那块云彩，这一点是不清楚的。

（b）晴朗的天空中有一块云彩。

（c）晴朗的天空中至多有一块云彩。

（d）对每一聚集s _k 来说，有一个由s _k 中的水蒸气所构成的对象o _k 。

（e）如果s _i 中的水蒸气构成对象o _i ，并且s _j 中的水蒸气构成对象o _j ，并且s _i 和s _k 不是同一个聚集，则o _i 和o _j 也不是同一个对象。

（f）如果o _i 是天空中的云彩，并且o _j 也是天空中的云彩，并且o _i 不等同于o _j ，则它们是天空中两块不同的云彩。

（g）如果任一聚集s _i 的成员构成一块云彩，那么，对于任一其他的聚集s _j 而言，如果其成员构成一对象o _j ，则o _j 也是一块云彩。

（h）任何云彩都由一团水蒸气构成。

这8个命题相互之间不一致：根据前提（b）和（h），有一块由水蒸气所构成的云彩。比如说，这块云彩是由s _i 中水蒸气构成的，令s _j 是任何一团另外的水蒸气，就我们所能辨认的而言，其成员有可能构成一块云彩。前提（a）保证有这样的聚集存在。根据（d）, s _j 中的水蒸气构成对象o _j 。根据（e）, o _j 不等同于我们原有的那块云彩。根据（g）, o _j 是一块云彩，既然它明显也在天空中，它也是天空中的一块云彩。根据（e），天空中有两块云彩。但这与前提（c）不相容。对此悖论的解决方案必须合理地说明：为什么要拒斥其中的一个前提？或者，为什么要拒斥导致矛盾的推理方式？或者，为什么要容忍该矛盾并与其和平共处？

关于以上的连锁悖论，我先做以下两点评论：

第一，此类悖论给我们的教训是：微小差别的不断累积和放大，可以造成巨大的差别。试考虑三个数：0.9,1,1.1，后个数与前面数的差别只有0.1。若让每个数与自身连乘10次，0.9变成了0.31,1仍然是1,1.1变成了2.85，它是0.31的近10倍，1的近三倍！差距就是这样造成的。所以，每个人都必须当心生命过程中的每一步：小胜有可能积成大胜，小过有可能铸成大错！

第二，连锁悖论对经典逻辑和经典语义学构成了非常严重的挑战。二值原则是经典的语义学和逻辑的核心：任一语句或命题是真的或者是假的，非真即假，非假即真，不存在其他的可能性。我们的传统真理论、认识论等等都是建立在二值原则之上的，并且二值原则背后还隐藏着实在论假设：正是独立于心灵和语言的外部实在使得我们说出的任一描述外部实在的语句或命题为真或为假，即使这种真假不被我们所知道，甚至不能被我们所知道。但二值原则似乎对含模糊谓词的句子或命题失效，因为很难说清楚含模糊谓词的句子或命题是真的还是假的。例如，对于处于界限情形的事例来说，你很难说它有某种性质，也很难说它没有某种性质，因此，有时候很难确定像“张三是秃头”这样的句子的真假。但问题的严重性在于：模糊性在自然语言中几乎是无处不在的，若经典逻辑和经典语义学不适用于模糊语句，则几乎等于说：除了数学等少数精确科学之外，它们无处可用。因此，模糊性对经典逻辑、经典语义学、传统的知识论和形而上学构成了严重的挑战。 DM+rOeJ2LqTNIsTAobo8jusLRzdt5Rs1cLTD/3F5rwmt2pXPyT1qTSsUiAjrDz34