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三、数阵中的规律
自然数1,2,3,4，…排成了下面的数阵：
第1行1 2 3 4
第2行3 4 5 6
第3行5 6 7 8
第4行7 8 9 10
第5行9 10 11 12
………………
（1）这个数阵中的第15行左起第3个数是_____；
（2）48排在这个数列第_____行左起第_____个。
思路分析 先仔细观察这个数阵中的数排列的规律：
①每行的第2列数都是偶数，并且是每行序数的2倍；
②每行的4个数是4个连续自然数从小到大排列的；
③除2以外，其他偶数出现2次。
不少同学早就对“魔方”有所了解。魔方之所以会引起人们的兴趣，不仅因为魔方中的数排列得很整齐（都排成正方形），更是因为魔方中的数排列得很有规律，而这些规律往往很奇妙。
自然数排列成其他形式的数阵也很整齐有序，也充满着规律。通过下面的学习，相信小朋友将会大开眼界。
例1 在下面的数阵中，第10行左起第3个数是_____。
思路分析 观察每行左起第1个数，分析它们的变化规律：
为便于发现规律，将每行左起第1个数改为：
第1行第1个 1
第2行第1个 1+1
第3行第1个 1+1+2
第4行第1个 1+1+2+3
第5行第1个 1+1+2+3+4
例2 自然数如下表的规律排列：
（1）求上起第10行，左起第7个数。
（2）87在上起第几行，左起第几列？
思路分析 依照前面题目的解法，注意观察第1行或第1列的数排列上有什么规律。第1行数的排列规律不容易找，那就找第1列（竖着的第1行，也就是每行最左边一个数组成第1列）。这些数是：
这些数有一个共同点，它们是每一行序数自己与自己相乘的积。这样的积数学上叫作平方，如9是3的平方，16是4的平方。
不过应当注意的是，数阵中的“」”形上的几个数大小变化的规律是按从上到下拐弯向左的方向依次增加1，反过来就是依次减少1。
例3 下面的数阵中共有100个数，你能否用几种方法把这100个数相加的结果算出来？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
思路分析 这个数阵看上去很“美”，而且有许多重复的数，最大的数是19。最引人注目的是：有一条对角线上10个数全都是10。
你是否突发奇想：把这10个10组成的对角线看作一条直线，把数阵沿这条线对折一下，“脸对脸”的两个数加起来全都是20!
“观”就是看；“察”就是仔细地看。希望小朋友学会观察，在看中做比较，看细节，归纳出规律来！
1.在空的〇内填上适当的数。
2.观察下列各数组成的“三角阵”，它的第7行右起第1个数是_____，第15行左起第7个数是_____。
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
………………
3.将自然数按下表的顺序排列。
（1）最下面一横排从左到右第10个数是_____。
（2）a=_____。
4.一串数按下面方式排列：
1 2 4 7 11…
3 5 8 12……
6 9 13………
10 14…………
15……………
………………
（1）第1行第8个数是_____。
（2）200位于这数表中第_____行左起第_____个数。
5.自然数按下面的规律排列着：
（1）第10行左起第1个数是_____。
（2）100在第_____行左起第_____个位置。
1.把奇数依次排列成5列，如下所示，则2003排在从左数第_____列。
2.如图，按整数的顺序排列而成的鱼状图案，那么整数1000出现的个数为_____。
3.观察下列等式。（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1,
2!=2×1,
3!=3×2×1,
4!=4×3×2×1,
则20!÷19!=_____。