1　定积分的概念和性质

两个实例

一、面积问题

面积问题包含两个方面：一是给出面积的定义，二是寻求计算面积的方法。

设f是定义在［a，b］上的非负函数，称由曲线y＝f（x）与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的平面图形为曲边梯形。如何定义这个曲边梯形的面积，其面积又如何来计算呢？

作区间［a，b］的一个分划

D：a＝x ₀ ＜x ₁ ＜…＜x _n ＝b．

那么分划D把［a，b］分为n个小区间，每个小区间［x _i－1 ，x _i ］的长度为∆x _i ＝x _i －x _i－1 ．在［x _i－1 ，x _i ］上任取一点ξ _i ，那么以直线y＝f（ξ _i ），x＝x _i－1 ，x＝x _i ，y＝0围成的小矩形的面积为f（ξ _i ）∆x _i ，将它作为小区间［x _i－1 ，x _i ］上对应的小曲边梯形的面积的近似。把这n个小矩形面积相加便得到

它就是所考虑的大曲边梯形的面积的近似。记 如果分划越来越细，即λ→0时，上述和式的极限存在，就定义这个大曲边梯形的面积A为这个极限，即

二、位移问题

设一质点作直线运动，已知它在时刻t的速度为v（t），要求它在时段［a，b］中的位移s．

当速度v（t）是常数v ₀ ，即质点作匀速直线运动时，则s＝v ₀ （b－a）．但是，当质点作变速直线运动时，s（t）的计算就不这么简单了。为了计算质点在时段［a，b］中的位移，我们作时段［a，b］的一个分划

D：a＝t ₀ ＜t ₁ ＜…＜t _n ＝b，

那么D把［a，b］分为n个小区间，每个小区间［t _i－1 ，t _i ］的长度为∆t _i ＝t _i －t _i－1 ．在［t _i－1 ，t _i ］上任取一点ξ _i ，用质点在时刻ξ _i 的速度去近似时段［t _i－1 ，t _i ］的速度，即将质点在时段［t _i－1 ，t _i ］中的运动近似看成匀速直线运动，则质点在时段［t _i－1 ，t _i ］的位移就近似地为v（ξ _i ）∆t _i ．于是

就是质点在时段［a，b］中的位移的近似。

记 当每个小时段越短，即λ越小，这种以匀速代变速的精确度越高，从而质点在时段［a，b］中的位移为

以上的几何量和物理量的计算方法，都是先做分割、再求和，最后取和式的极限。这种形式的极限，还出现于大量其他问题的计算之中。撇开各类问题的具体背景，抽象出其数量关系的共同特征，就引出了下述定积分的概念。

定积分的概念

定义5.1.1　设函数f是［a，b］上的有界函数，作［a，b］的任意分划

D：a＝x ₀ ＜x ₁ ＜…＜x _n ＝b，

并记∆x _i ＝x _i －x _i－1 为小区间［x _i－1 ，x _i ］的长度（i＝1，2，…，n）．任取ξ _i ∈［x _i－1 ，x _i ］，作和式

称之为黎曼（Riemann）和。记 如果当λ→0时黎曼和的极限存在，且极限值与分划D以及ξ _i （i＝1，2，…，n）的取法无关，则称此极限值为f在［a，b］上的（黎曼）积分，简称为定积分，记做 即

这时称f是［a，b］上的（黎曼）可积函数，简称为可积函数，也称f在［a，b］上可积。

在记号 中，称f为被积函数，x为积分变量，并分别称a，b为积分的下限与上限， 也称为积分值。

对定积分的定义，要作两点补充说明。

1．定积分是个数值，它仅与被积函数、积分的上、下限有关，而与积分变量符号的选取无关，因此

2．在定积分的定义中要求a＜b．为了运算和应用的方便，当a＞b时补充规定

并且当b＝a时，规定

注意，并不是所有函数都是可积的。

例5.1.1　讨论狄利克雷（Dirichlet）函数

在［0，1］上的可积性。

解　由于有理数和无理数在实数集上的稠密性，因此不管用什么样的分划

D：0＝x ₀ ＜x ₁ ＜…＜x _n ＝1．

对［0，1］作分割，在每个小区间［x _i－1 ，x _i ］中一定既有有理数，又有无理数（i＝1，2，…，n）．

于是，当将ξ _i ∈［x _i－1 ，x _i ］全部取为有理数时，成立

而当将ξ _i ∈［x _i－1 ，x _i ］全部取为无理数时，则有

尽管以上两个黎曼和的极限都存在，但极限并不相同，所以狄利克雷函数在［0，1］上是不可积的。

那么什么样的函数是可积的呢？我们对此不进行深入讨论，只给出两个充分条件。

定理5.1.1　设函数f在闭区间［a，b］上连续，则f在［a，b］上可积。

事实上，以上定理还可推广为：设函数f在［a，b］上有界，且f在［a，b］上仅有有限个不连续点，则f在［a，b］上可积。

定理5.1.2　设函数f在闭区间［a，b］上单调，则f在［a，b］上可积。

例5.1.2　计算定积分 其中k是一个常数。

解　因为对［a，b］的任何分划D：a＝x ₀ ＜x ₁ ＜…＜x _n ＝b和任何ξ _i ∈［x _i－1 ，x _i ］（i＝1，2，…，n），均有

所以

注　今后常把定积分 记为

例5.1.3　计算定积分

解　因为f（x）＝x ² 在［0，1］上连续，由定理5.1.1知它在［0，1］上可积。既然积分值与区间的分划及ξ _i 的取法无关，不妨把［0，1］分为n等份，即取x _i ＝ 因此 再取ξ _i ＝x _i ．这时黎曼和为

由于 所以当λ→0时，n→∞．于是

定积分的性质

由于定积分是黎曼和的极限，虽然形式上这种极限与函数极限稍有不同，但本质上并没有什么差别，因此定积分的一些性质，可以利用极限的相应性质推导出来。

一、线性性质

定理5.1.3　设函数f和g在［a，b］上可积，α，β为常数，则函数αf＋βg也在［a，b］上可积，且成立

证　因为对［a，b］的任何分划D：a＝x ₀ ＜x ₁ ＜x ₂ ＜…＜x _n ＝b和任何ξ _i ∈［x _i－1 ，x _i ］（i＝1，2，…，n）均成立

令 由于函数f和g都在［a，b］上可积，所以

由定义知函数αf＋βg在［a，b］上可积，且

证毕

二、乘积函数的可积性

定理5.1.4　设函数f和g都在［a，b］上可积，则函数f·g在［a，b］上也可积。

这个定理的证明从略。要注意的是，一般来说

请读者自行举例说明。

三、关于区间的可加性

定理5.1.5　设函数f在［a，b］上可积，则对任意c∈［a，b］，f在［a，c］和［c，b］上都可积；反之，若函数f在［a，c］和［c，b］上都可积，则f在［a，b］上也可积。此时成立

这个定理的证明从略。

注意上述公式在c在［a，b］之外时也成立。例如，当a＜b＜c时，若函数f在［a，b］和［b，c］上可积，则由以上定理得

移项便得

四、保序性

定理5.1.6　设函数f和g都在［a，b］上可积，且在［a，b］上成立f（x）≤g（x），则

这个定理的证明可由极限的保序性质直接得到。

定理5.1.7　设函数f在［a，b］上可积，则函数∣f∣在［a，b］上也可积，且成立

函数∣f∣在［a，b］上的可积性证明从略。不等式是源于

－∣f（x）∣≤f（x）≤∣f（x）∣

和定理5.1.6的结论。

五、积分中值定理

定理5.1.8　设f是［a，b］上的连续函数，则在［a，b］上至少存在一点ξ，使得

证　因为函数f在［a，b］上连续，则它在［a，b］上必能取到最大值M和最小值m．从

m≤f（x）≤M，x∈［a，b］，

以及定理5.1.6和例5.1.2得

因此

再由连续函数的介值定理知，必存在ξ∈［a，b］，使得

证毕

积分中值定理有明确的几何意义：若f是［a，b］上的非负函数，则必存在ξ∈［a，b］，使得以［a，b］为底，f（ξ）为高的矩形面积恰好等于由曲线y＝f（x）与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积（见图5.1.2）．

数值 称为函数f在［a，b］上的积分均值。 /WtdFtnjJeDVgyDO/BkVYprh/QIA2Y2FLTVbkhv4YZKxWQow3qu4dCCsg5PltAz8