习题五

（A）

1．根据定义计算定积分

2．举出函数f和g在［a，b］上都连续，但下式不成立的例子。

3．判断下列积分的大小：

（1） 和

（2） 和

（3） 和

（4） 和

4．求下列函数的导数：

5．求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

6．利用积分中值定理求下列极限：

（1）

（2） （p是正整数）．

7．求下列定积分：

8．求函数 的极值。

9．设函数f在（0，+∞）上连续，且满足 求

10．设函数 计算定积分

11．设f是（-∞，+∞）上以T为周期的连续函数。证明：对于任何实数a下式成立

12．求下列曲线所围平面图形的面积：

（1） y＝x，x＝2；

（2）y ² ＝4（x＋1），y ² ＝4（1－x）；

（3）y＝x，y＝x＋sin ² x，x＝0，x＝π；

（4）y＝e ^x ，y＝e ^-x ，x＝1；

（5）阿基米德螺线r＝aθ，θ＝0，θ＝2π；

（6）蚌线r＝acosθ＋b（b≥a＞0）；

（7）r＝3cosθ，

（8）双纽线r ² ＝a ² cos2θ．

13．求函数y＝x ³ －3x＋2的极大值点x ₁ 和极小值点x ₂ ，并求该函数的图形与直线x＝x ₁ ，x＝x ₂ 以及x轴所围图形的面积。

14．求上底是长半轴为a、短半轴为b的椭圆，下底是长半轴为A、短半轴为B的椭圆（A＞a，B＞b），高为h的正椭圆台的体积。

15．求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周形成的旋转体的体积：

（1）曲线 与直线x＝1，x＝4，y＝0所围图形；

（2）曲线 与直线 y＝0所围图形；

（3）曲线y＝x ³ 与直线x＝2，y＝0所围图形；

（4）曲线x ² ＋y ² ＝1与 所围的两个图形之中面积较小的一块。

16．记V（ξ）是曲线 直线x＝ξ及x轴所围图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积，求常数a使得

17．已知某产品的边际收益函数为

其中x为销售量，求收益函数R（x）．

18．已知某产品的边际成本和边际收益函数分别为

其中x为销售量（单位：台）．求生产多少台产品时总利润最大，并求当总利润最大时总收入是多少？

19．已知一笔投资连续3年内保持收入15000元不变。若假设利率为7.5％的连续复利计息，问收入的现值是多少？

20．计算下列无限区间上的广义积分（发散也是一种计算结果）：

21．计算下列无界函数的广义积分（发散也是一种计算结果）：

22．讨论下列广义积分的敛散性：

23．利用Γ函数和B函数的性质计算：

（B）

1．设函数f在［a，b］上连续、非负，但不恒为0，证明

2．设函数f在［0，1］上连续，且单调减少，证明对任意a∈［0，1］，成立

3．设函数f和g在［a，b］上都可积，证明施瓦茨（Schwarz）不等式

4．设f是［0，+∞）上的连续函数，且恒有f（x）＞0，证明函数g（x）＝ 是［0，+∞）上的单调增加函数。

5．设函数 其中函数g在（-∞，+∞）上连续，且g（1）＝5， 证明 并计算f″（1）和f （1）．

6．设函数f连续，且满足 f（1）＝1．求

7．设函数 求极限

8．设函数f在（-∞，+∞）上连续，证明

9．设函数f在［0，1］上二阶可导，且在［0，1］上成立f″（x）≤0．证明：

10．设函数f在［0，π］上连续，且 证明：在（0，π）内至少存在两个不同的点ξ ₁ ，ξ ₂ ，使得f（ξ ₁ ）＝f（ξ ₂ ）＝0．

11．求曲线x ⁴ ＋y ⁴ ＝a ² （x ² ＋y ² ）所围平面图形的面积。

12．求c的值，使得 RUhNHERIFizOwCkAz0bPhMQ7gdoAHWJ4dnKET4BdvSfGBD4G7op0fff9VgpuUeE0