6　综合型例题

例5.6.1　计算

解　因为当x∈［0，π］时，

而

所以

例5.6.2　设函数f在（-∞，+∞）上连续，计算

解　因为

所以

于是由洛必达法则得

例5.6.3　计算

解　作变量代换 便得

因此

例5.6.4　设 求

解　易知

它在［0，π］上连续。由分部积分法得

例5.6.5　计算

解　因为

对等式右端第二个积分作变量代换 得

所以

例5.6.6　设直线y＝ax（0＜a＜1）与抛物线y＝x ² 所围成的图形的面积为S ₁ ，且它们与直线x＝1所围成图形的面积为S ₂ ．

（1）确定a的值，使得S ₁ ＋S ₂ 达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

解　（1）显然直线y＝ax（0＜a＜1）与抛物线y＝x ² 的交点为（a，a ² ），所以

记 则

令f′（a）＝0得 且 所以 为极小值，它是唯一的极值，因此也是最小值。这说明S ₁ ＋S ₂ 在 点取到最小值

（2）对于任意a∈（0，1），平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

将 代入上式便得使S ₁ ＋S ₂ 达到最小值时，所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

例5.6.7　设函数f在［a，b］上连续，在（a，b）上可导，且满足

证明：存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）＝0．

证　由积分中值定理知，存在 使得

再对f在［η，b］上应用罗尔定理便知，存在ξ∈（η，b）⊂（a，b），使得f′（ξ）＝0．

证毕

例5.6.8　设函数f在［0，a］上二阶可导（a＞0），且f″（x）≥0，证明：

证　函数f在 点的一阶泰勒公式为

其中0＜ξ＜a．由于在［0，a］上成立f″（x）≥0，所以

将上述不等式两边从0到a积分，注意到 便得 XpIzehA/X3D2ggW75oHhQdqnehBeCXaa4JRcbHmm240tKa487rKD62gyWyk3S2pu