5　广义积分

在我们讨论定积分时，考虑的被积函数是有界函数，积分区间是有限区间。因此当问题涉及无限区间或无界函数时，需要把积分概念作进一步扩充。

我们先看一个例子。

由　曲线 和x轴所围图形的面积是多少呢（见图5.5.1）？

我们从求曲边梯形的面积入手。任取A＞1，则由曲线 x＝A和x轴所围图形的面积是可计算的，它为

显然，当A增大时，S _A 也增大，且当A无限增大时，S _A 就会无限接近于该所求图形的面积，于是定义该图形的面积为

这个极限可以很自然地看成无限区间上的积分。显然，它已不属于通常的黎曼积分的范畴。这就引出了广义积分的概念。

无限区间上的广义积分

先讨论定义于区间［a，+∞）上的函数的广义积分。

定义5.5.1　设函数f定义于无限区间［a，+∞），且在任意有限区间［a，A］上可积。如果极限

存在，就称此极限值为f在［a，+∞）上的广义积分，记做 即

这时也称 收敛，又称函数f在［a，+∞）上可积；若 不收敛，就称它发散。

广义积分 收敛的几何意义是：若f是在［a，+∞）上的非负连续函数，则介于曲线y＝f（x），直线x＝a和x轴之间的平面图形的面积为 （见图5.5.2）．

对定义于（-∞，a］上的函数f，类似地可定义f在（-∞，a］上的广义积分

对定义在（-∞，+∞）上的函数f，当f在（-∞，a］和［a，+∞）上的广义积分均收敛时，则称广义积分 收敛，且规定

其中a为任一实数。否则，称广义积分 发散。

例5.5.1　讨论广义积分 的收敛性。

解　当a≠0时。由于对任何A＞0，成立

所以

而当a＝0时，显然有

于是，当a＞0时，广义积分 收敛，且 当a≤0时，广义积分 发散。

例5.5.2　讨论广义积分 的收敛性。

解　当p≠1时，由于对任何A＞1，成立

所以

当p＝1时，显然有

因此，当p＞1时，广义积分 收敛，且 当p≤1时， 发散。

设广义积分 收敛，且函数F为f在［a，+∞）上的一个原函数，定义

（易知以上极限必存在），则由广义积分的定义和牛顿-莱布尼茨公式得

对于广义积分 和 也有类似的结论，请读者自行写出。

关于定积分的性质，如线性性质、保序性质、区间可加性质等，对于广义积分也相应成立。但乘积可积性却不再成立（它们的证明或举例都比较容易，留给读者作为练习）．定积分的运算法则，如线性运算法则、换元积分法、分部积分法等，也都可以平行地运用到广义积分上来，但要注意每一步运算过程中的收敛性。例如有如下结论：

定理5.5.1　若广义积分 和 均收敛，α，β为常数，则广义积分 也收敛，且成立

例5.5.3　计算广义积分

解　因为

所以

注意，以下的运算是错误的：

这是因为 和 都发散，不能直接运用定理5.5.1的结论。

例5.5.4　计算广义积分

解　作变量代换u＝e ^x ，则当x→-∞时u→0；当x→+∞时u→+∞．于是应用换元积分法得

例5.5.5　计算 （n是正整数）．

解　由分部积分法知

当n＞1时，再利用分部积分法得

因此由这个递推公式得

I _n ＝n！　（n是正整数）．

由于被积函数的原函数并不一定是初等函数，而且即便是初等函数，也常常不易求出。事实上，在理论研究和实际应用中，经常只需要确定广义积分的敛散性，而不必求出收敛积分的值。因此人们希望能直接根据被积函数的形式来判定广义积分的敛散性。下面介绍几个最常使用的广义积分的判别法。

定理5.5.2（比较判别法）　设f和g均是［a，+∞）上的非负连续函数，K＞0为常数。若存在常数A≥a，使得在［A，+∞）上成立

0≤f（x）≤Kg（x），

则

（1）当 收敛时 ，也收敛；

（2）当 发散时， 也发散。

这个定理的证明从略。

推论5.5.1（比较判别法的极限形式）　设f和g均是［a，+∞）上的非负连续函数，且在［a，+∞）上成立g（x）＞0．若

则

（1）当0≤ι＜+∞时，若 收敛，则 也收敛；

（2）当0＜ι≤+∞时，若 发散，则 也发散。

所以当0＜ι＜+∞时，广义积分 和 同时收敛或同时发散。

证　（1）若

由函数极限的定义知，存在常数A（A≥a），使得当x≥A时成立

于是在［A，+∞）上成立

f（x）＜（ι＋1）g（x）．

所以由比较判别法知，当 收敛时， 也收敛。

（2）的证明类似，此处从略。

证毕

使用比较判别法，需要有一个敛散性已知且形式简单的参照的函数， 就是一个常用的参照函数。在推论5.5.1中令 就得到：

推论5.5.2（柯西判别法）　设f是定义在［a，+∞）（a＞0）上的非负连续函数，且满足

则

（1）若0≤ι＜+∞，且p＞1，则 收敛；

（2）若0＜ι≤+∞，且p≤1，则 发散。

例5.5.6　判别广义积分 的敛散性。

解　因为

所以由推论5.5.2知， 收敛。

例5.5.7　判别广义积分 的敛散性。

解　由洛必达法则得

所以由推论5.5.2知， 发散。

对于非正函数f，我们只要考虑非负函数-f即可。而对于一般不保号的函数，我们有

定理5.5.3　设函数f定义于无限区间［a，+∞）上，且在任意有限区间［a，A］上可积。若广义积分 收敛，则 也收敛。

这个定理的证明此处从略。基于这个结论，我们引入下面的定义。

定义5.5.2　设函数f定义于无限区间［a，+∞）上，且在任意有限区间［a，A］上可积。若广义积分 收敛，则称广义积分 绝对收敛（又称函数f在［a，+∞）上绝对可积）．若广义积分 收敛而非绝对收敛，则称 条件收敛。

例5.5.8　判别广义积分 的敛散性。

解　因为在［1，+∞）上成立

而 收敛，由比较判别法知， 收敛，即 绝对收敛。

例5.5.9　判别广义积分 的敛散性。

解　对于任意A＞1，由分部积分法得

由例5.5.8知， 收敛，所以极限 存在。于是

这说明 收敛。

下面说明 不绝对收敛。显然在［1，+∞）上成立

易知广义积分 收敛（仿照上面对 的讨论），而广义积分 发散，所以 发散。再由比较判别法知 发散。

综上所述，广义积分 条件收敛。

无界函数的广义积分

利用对有限区间上的定积分取极限导出无限区间上广义积分的思想方法，也可以用于导出无界函数的广义积分。

定义5.5.3　设函数f定义于半开区间［a，b）上。若对于任意给定的ε＞0，函数f在区间［b－ε，b）上无界，但在［a，b－ε］上可积，且极限

存在，则称此极限值为函数f在［a，b）上的广义积分，仍记做 即

此时也称 收敛；若 不收敛，就称它发散。

称点b为函数f的瑕点。

广义积分 收敛的几何意义是：若f是在［a，b）上的非负连续函数，则介于曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b和x轴之间的平面图形的面积为 （见图5.5.3）．

设函数f定义于半开区间（a，b］上。若对于任意给定的ε＞0，函数f在区间（a，a＋ε］上无界（称点a为函数f的瑕点。），但在［a＋ε，b］上可积，类似地可定义f在（a，b］上的广义积分

如果a＜c＜b，函数f在c的任何邻域上无界，若 和 均收敛，则称广义积分 收敛，并规定

否则，就称 发散。

例5.5.10　讨论广义积分 的敛散性。

解　当p≠1时。由于对于任意给定的ε＞0，成立

因此

当p＝1时，显然成立

因此，广义积分 当p＜1时收敛，当p≥1时发散。

设函数f在［a，b）上的广义积分收敛，函数F为f在［a，b）上的一个原函数，补充（或修改）定义，使得

则由广义积分的定义和牛顿-莱布尼茨公式得

例5.5.11　计算广义积分 （a＞0）．

解　因为

所以点a为被积函数的瑕点。易知 为 在［0，a）上的原函数，所以

与无限区间上的广义积分类似，对无界函数的广义积分，同样也有线性性质、保序性质、区间可加性质。关于其敛散性，也有类似的比较判别法及相应的极限形式以及柯西判别法。无界函数的广义积分也有绝对收敛和条件收敛的概念，而且若一个无界函数的广义积分绝对收敛，那么它一定收敛。这些结论在此不一一详述，只举柯西判别法为例：

定理5.5.4（柯西判别法）　设f为［a，b）上的非负连续函数，且点b为f的瑕点。若

则

（1）若0≤ι＜+∞，且p＜1，则 收敛；

（2）若0＜ι≤+∞，且p≥1，则 发散。

例5.5.12　讨论广义积分 的敛散性。

解　因为

且 收敛，由比较判别法知， 收敛，因此 收敛。

例5.5.13　讨论广义积分 的敛散性。

解　显然x＝1是被积函数 的瑕点。由洛必达法则得

根据柯西判别法， 发散。

例5.5.14　计算

解　由分部积分法知

这里利用了结论

例5.5.15　计算

解　因为

所以积分 收敛。作变量代换x＝2t，则

对后一积分作变量代换 便得

于是

Γ函数和B函数

最后介绍两类重要函数：Γ函数和B函数（分别读作伽玛（Gamma）函数和贝塔（Beta）函数），它们都是用广义积分定义的。

一、Γ函数

易知对于任意s＞0，广义积分 收敛。我们称s为参变量。这样，对于每个s∈（0，+∞），就有一个确定的积分值 与之对应，因此就有一个定义了参变量的函数

称之为Γ函数。

Γ函数具有以下性质：

1．Γ函数在（0，+∞）上任意阶可导。证明从略。

2．当s＞0时成立，Γ（s＋1）＝sΓ（s）．

证　当s＞0时，由分部积分法得

因此对Γ函数性质的研究可以归结为对它在（0，1］上性质的研究，而且Γ函数在（0，1］上的函数值可以从Γ函数表中查得。

注意到（见例5.5.1）

便得：当n为正整数时，

Γ（n＋1）＝nΓ（n）＝…＝n！Γ（1）＝n！．

3．（余元公式）对于每个s∈（0，1），成立

这是一个很有用的公式，其证明从略。

在余元公式中令s＝1/2便得

例5.5.16　计算

解　作变量代换t＝x ² 便得

二、B函数

易知对于任意满足p＞0，q＞0的参数p和q，广义积分（或定积分） －x） ^q－1 dx收敛（或存在）．称参变量p和q的函数

为B函数。

B函数具有以下性质：

1．对称性：对于任意p＞0，q＞0，成立

B（p，q）＝B（q，p）．

这只要在 中作变量代换t＝1－x便可证明。

2．B函数与Γ函数的关系：对于任意p＞0，q＞0，成立

这个结论的证明从略。

例5.5.17　计算

解　我们已经知道 因此由B函数与Γ函数的关系得 70LAE4qcyohbA0w2GCQ38J1sOiAH+oWtVmbZvK7FvkjfrF+bPlIbIKek4f6ffRvG