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4 定积分的应用

与曲边梯形的面积、变速直线运动的位移一样,许多实际问题中的量都需要用黎曼和的极限来刻画,即用定积分来计算。本节将以几何、经济学等领域的问题为例,介绍定积分的应用。

微元法

设f是定义在[a,b]上的非负连续函数。我们先回忆一下计算由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形面积的步骤:先对区间[a,b]作分划

a=x 0 <x 1 <x 2 <…<x n =b,

然后在小区间[x i-1 ,x i ]中任取点ξ i ,并记∆x i =x i -x i-1 ,这样就得到了小曲边梯形面积的近似值∆A i ≈f(ξ i )∆x i .最后,将所有的小曲边梯形面积的近似值相加,再取极限,就得到所考虑的曲边梯形面积

对于上述步骤,我们可以换一个角度来看:将分点x i-1 和x i 分别记为x和x+∆x,将区间[x,x+∆x]上的小曲边梯形的面积记为∆A,并取ξ i =x,于是就有∆A≈f(x)∆x,这相对应着微分表达式dA=f(x)dx(事实上因为f连续,则[x,x+∆x]上的小曲边梯形的面积

因此dA=f(x)dx).最后,把对小曲边梯形面积的近似值进行相加,再取极限的过程视作对被积表达式dA=f(x)dx在区间[a,b]上求定积分,就得到

了解了这种处理问题方法的实质以后,就可以将上述过程推广到一般情形:设函数f在[a,b]上连续,Q为f所确定的在区间[a,b]上连续分布的量(f常称为Q的密度),并且对区间具有可加性,则计算Q在区间[a,b]上的总量的步骤为:

(1)任取一个小区间[x,x+dx](dx称为x的微元);

(2)计算Q在该小区间的近似值dQ=f(x)dx(dQ称为Q的积分微元,简称微元);

(3)在区间[a,b]上对被积表达式dQ=f(x)dx取定积分,便得到总量Q的精确值

这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法的思想就是由计算微元f(x)dx出发导出积分,即由连续量的局部特征导出整体的累积效应。

面积问题

一、直角坐标系下的区域

设函数f和g在[a,b]上连续。考察由曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(b>a)所围平面图形,要求它的面积。

先假设在[a,b]上成立f≥g.任取[a,b]中的小区间[x,x+dx],则小区间[x,x+dx]对应的小平面图形(见图5.4.1中的阴影部分)的面积∆A近似等于高为f(x)-g(x),宽为dx的矩形面积,即

∆A≈[f(x)-g(x)]dx,

所以,面积微元为

dA=[f(x)-g(x)]dx.

于是,所求的面积为

图 5.4.1

如果去掉条件f≥g,同样可得

dA=∣f(x)-g(x)∣dx,

从而

特别地,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b(b>a)及x轴所围平面图形的面积为

用同样思想可得:由曲线x=f(y),x=g(y),直线y=c,y=d(d>c)所围平面图形的面积为(见图5.4.2)

图5.5.2

特别地,由曲线x=f(y),直线y=c,y=d(d>c)及y轴所围平面图形的面积为

例5.4.1 求曲线y=x 3 -2x与抛物线y=x 2 所围平面图形的面积。

解 易求出两曲线的交点为(-1,1),(0,0)和(2,4)(见图5.4.3).则两曲线所围图形的面积为

例5.4.2 求抛物线y 2 =2x与直线y=x-4所围平面图形的面积。

解 易求出两曲线的交点为(2,-2)和(8,4)(见图5.4.4).选取y为积分变量,则两曲线所围平面图形的面积为

图 5.4.4

注意,在本题中如果选取x为积分变量,需对图形进行分块后,再应用面积计算公式作计算。

二、极坐标系下的区域

考察由曲线r=r(θ),射线θ=α,θ=β(β>α)所围成的平面图形(称之为曲边扇形),要求它的面积,其中r(θ)是[α,β]上的连续函数(见图5.4.5).

图 5.4.5

以θ为积分变量,任取[α,β]中的小区间[θ,θ+dθ],由于[θ,θ+dθ]对应的小曲边扇形的面积近似于圆扇形的面积,即 所以面积微元

于是

图 5.4.6

例5.4.3 计算心脏线r=a(1+cosθ)(-π≤θ≤π)所围平面图形的面积(见图5.4.6).

解 由面积计算公式,得

已知截面面积的立体的体积

设空间立体Ω介于平面x=a和x=b之间。若对于任意x∈[a,b],过x点且与x轴垂直的平面与立体Ω相截,所截的截面的面积为A(x)(假设A(x)在[a,b]上连续),那么相应于[a,b]中的任意小区间[x,x+dx],在[x,x+dx]上对应的小立体的体积近似于母线与x轴平行、高为dx,底面积为A(x)的柱体体积(见图5.4.7),因此

dV=A(x)dx,

所以

图 5.4.7

我国南北朝时的数学家祖暅(祖冲之之子)在计算出球的体积的同时,得到了一个重要的结论(后人称之为“祖暅原理”):“夫叠基成立积,缘幂势既同,则积不容异。”用现代话讲就是,一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”)叠成的;若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同,那它们的体积(“积”)必然相等。这一结论与上述求体积公式的推导思想是相同的。意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri)在1635年得到了同样的结论,所以也称之为“卡瓦列里原理”,但比祖暅迟了一千多年。

例5.4.4 已知一直圆柱体的底面半径为R,平面π 1 过其底面圆周上一点,且与底面π 2 成夹角θ,求圆柱体被平面π 1 和π 2 所截得的立体的体积(见图5.4.8).

解 取圆柱体的底面圆周中心为原点,底面π 2 为Oxy平面,并使平面π 1 与圆周的交点在y轴上。这样一来,对于任意y∈[-R,R],过(0,y)点且与y轴垂直的平面与立体相截的截面是一个矩形,它的底为 高为(y+R)tanθ.因此 那么所求体积为

图 5.4.8

括号中的第一项是一个奇函数在对称区间上的积分,其值为0;第二项积分值恰为半径为R的半圆的面积,因此

V=πR 3 tanθ.

读者不难发现,如用与x轴垂直的平面与立体相截,截面是直角梯形,这样处理起来就会麻烦很多。所以应对不同问题作具体分析,寻求最简单的处理方案,以达到事半功倍的效果。

旋转体的体积

已知截面面积的立体的体积计算公式有一个直接的推论,就是求旋转体体积的公式。

设f是[a,b]上的连续函数。空间立体Ω由平面图形

{(x,y)∣0≤y≤∣f(x)∣,a≤x≤b}

绕x轴旋转一周而成(见图5.4.9).如用过(x,0)点且与x轴垂直的平面截此立体,所得截面显然是一个半径为∣f(x)∣的圆,即截面积为

A(x)=π[f(x)] 2

所以立体Ω的体积为

同样地,若g是[c,d]上的连续函数,则平面图形

{(x,y)∣0≤x≤∣g(y)∣,c≤y≤d}

绕y轴旋转一周所成的空间立体的体积为(见图5.4.10)

图 5.4.9

图 5.4.10

例5.4.5 求半径为a的球的体积。

解 半径为a的球可看做上半圆周 与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体,则其体积为

定积分的经济学应用

一、由边际函数求总量函数

设函数u(x)的边际函数u′(x)连续,则由牛顿-莱布尼茨公式得

例如,已知边际成本函数为C′(x),那么当产量为x单位时,总成本为

其中C(0)为固定成本。

再例如,已知收益的变化率(边际收益)R′(x),则收益函数为

一般地,产量为零时总收益也是零,因此可假设R(0)=0,所以

例5.4.6 已知某水泥厂的生产的边际成本函数(单位:元)为

其中x为产量(单位:吨),且固定成本为100万元。求产量从8100吨增加到10000吨时,

(1)需增加多少投资;

(2)平均每吨要增加多少投资。

解 已知固定成本C(0)=10 6 元,则总成本函数为

(1)当产量从8100吨增加到10000吨时,需要增加的投资为C(10000)-C(8100)

(2)平均每吨要增加的投资为

例5.4.7 某企业生产某产品的边际成本为C′(x)=x 2 -4x+6(单位:元/单位产品),边际收益为R′(x)=105-2x,其中x为产量。已知没有产品时没有收益,且固定成本为100元。若生产的产品都会售出,

(1)求产量为多少时,利润最大;

(2)问当利润最大时,最大利润是多少?

解 (1)利润函数为

L(x)=R(x)-C(x).

因为

令L′(x)=0,得x=11(x=-9舍去).因为

L″(x)=2-2x,L″(11)=-20<0,

所以x=11为极大值点,又由于它是唯一的极值点,它就是最大值点。因此当产量为11单位时,利润最大。

(2)注意到R(0)=0,C(0)=100,则最大利润为

二、投资问题

我们已经知道,若按年利率r作连续复利计息,A 0 元本金t年后的本息总和(将来值)为A=A 0 e rt 元;反过来,若t年后有A元,则按连续复利计算,现在应有现金(现值)A 0 =Ae -rt 元。

设收益是连续获得的,即收益被看做是一种随时间连续变化的收益流P(t)(如将企业或投资的收益看做连续时间的连续函数),我们称收益流对时间的变化率(即P′(t))为收益流量。若时间t以年为单位,收益以元为单位,则收益流量的单位就是:元/年。

与单笔款项一样,收益流P(t)的将来值定义为将其存入银行并加上利息后的存款值;而P(t)的现值是这样一笔款项,若把它存入银行,到将来包括利息在内的存款值,与该款项在相同时段中从收益流获得的总收益相同。

在讨论连续收益时,为简单起见,我们总假设以连续复利r计息。设有一个收益流量为f(t)(元/年)的收益流,那么从开始(t=0)到T年后,它的总收益的现值与将来值是多少呢?

我们利用微元法。在区间[0,T]中任取一小区间[t,t+dt],在[t,t+dt]上将收益流量f(t)看做常数,则在这个小时间段上从收益流所获得的收益微元等于f(t)dt(元).注意从现在(t=0)算起,收益f(t)dt是经过t年后获得的,因此在时段[t,t+dt]上的收益的现值微元应为

[f(t)dt]e -rt =f(t)e -rt dt,

从而总收益的现值为

在计算将来值时,注意到在时段[t,t+dt]上的收益将在以后的T-t年期间获息,从而在[t,t+dt]上,收益流的将来值微元为

[f(t)dt]e r(T-t) =f(t)e r(T-t) dt,

于是总收益的将来值为

设投资于某企业一笔款项a,经测算该企业在T年中可以按每年b的均匀收益率(收益流量)产生的收益。已知年利率为r,则由以上的讨论知,T年中总收益的现值为

所以,投资获得的纯收益的现值为

由于T年中总收益的将来值为

因此

A=A 0 e rT

这说明,按年利率r的连续复利计息,则从现在起到T年后的投资收益的将来值,恰好等于将该投资作为单笔款项存入银行T年后的将来值。

那么何时收回该笔投资呢?收回投资意味着总收益的现值等于投资总额,即

从而解得收回投资的时间

例5.4.8 现准备对某企业投资400万元,经测算该企业在10年中有100万元/年的固定收益,且已知年利率为10%.

(1)求这十年的总收益的现值和将来值,并解释这两者的关系;

(2)问多少年能收回投资?

解 (1)这时a=400万元,b=100万元/年,T=10,r=0.1.则由以上的讨论得到,总收益的现值为

总收益的将来值为

显然

A=A 0 ·e.

这说明若以现值1000(1-e -1 )万元存入银行,按年利率10%的连续复利计息,则10年中这笔单独款项的将来值为1000(1-e -1 )e,它恰好是投资400万元在10年期间的总收益的将来值。

(2)由于a=400万元,b=100万元/年,r=0.1.所以由以上的讨论得到,收回投资的时间为 oVL+RpcppRH+UARFB3sOW0wB792YUgOgVf9A+at2nMDupTBpH6zcn0Rv0hA1wDh8

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