4　定积分的应用

与曲边梯形的面积、变速直线运动的位移一样，许多实际问题中的量都需要用黎曼和的极限来刻画，即用定积分来计算。本节将以几何、经济学等领域的问题为例，介绍定积分的应用。

微元法

设f是定义在［a，b］上的非负连续函数。我们先回忆一下计算由曲线y＝f（x）与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形面积的步骤：先对区间［a，b］作分划

a＝x ₀ ＜x ₁ ＜x ₂ ＜…＜x _n ＝b，

然后在小区间［x _i－1 ，x _i ］中任取点ξ _i ，并记∆x _i ＝x _i －x _i－1 ，这样就得到了小曲边梯形面积的近似值∆A _i ≈f（ξ _i ）∆x _i ．最后，将所有的小曲边梯形面积的近似值相加，再取极限，就得到所考虑的曲边梯形面积

对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点x _i－1 和x _i 分别记为x和x＋∆x，将区间［x，x＋∆x］上的小曲边梯形的面积记为∆A，并取ξ _i ＝x，于是就有∆A≈f（x）∆x，这相对应着微分表达式dA＝f（x）dx（事实上因为f连续，则［x，x＋∆x］上的小曲边梯形的面积

因此dA＝f（x）dx）．最后，把对小曲边梯形面积的近似值进行相加，再取极限的过程视作对被积表达式dA＝f（x）dx在区间［a，b］上求定积分，就得到

了解了这种处理问题方法的实质以后，就可以将上述过程推广到一般情形：设函数f在［a，b］上连续，Q为f所确定的在区间［a，b］上连续分布的量（f常称为Q的密度），并且对区间具有可加性，则计算Q在区间［a，b］上的总量的步骤为：

（1）任取一个小区间［x，x＋dx］（dx称为x的微元）；

（2）计算Q在该小区间的近似值dQ＝f（x）dx（dQ称为Q的积分微元，简称微元）；

（3）在区间［a，b］上对被积表达式dQ＝f（x）dx取定积分，便得到总量Q的精确值

这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法的思想就是由计算微元f（x）dx出发导出积分，即由连续量的局部特征导出整体的累积效应。

面积问题

一、直角坐标系下的区域

设函数f和g在［a，b］上连续。考察由曲线y＝f（x），y＝g（x），直线x＝a，x＝b（b＞a）所围平面图形，要求它的面积。

先假设在［a，b］上成立f≥g．任取［a，b］中的小区间［x，x＋dx］，则小区间［x，x＋dx］对应的小平面图形（见图5.4.1中的阴影部分）的面积∆A近似等于高为f（x）－g（x），宽为dx的矩形面积，即

∆A≈［f（x）－g（x）］dx，

所以，面积微元为

dA＝［f（x）－g（x）］dx．

于是，所求的面积为

如果去掉条件f≥g，同样可得

dA＝∣f（x）－g（x）∣dx，

从而

特别地，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b（b＞a）及x轴所围平面图形的面积为

用同样思想可得：由曲线x＝f（y），x＝g（y），直线y＝c，y＝d（d＞c）所围平面图形的面积为（见图5.4.2）

特别地，由曲线x＝f（y），直线y＝c，y＝d（d＞c）及y轴所围平面图形的面积为

例5.4.1　求曲线y＝x ³ －2x与抛物线y＝x ² 所围平面图形的面积。

解　易求出两曲线的交点为（-1，1），（0，0）和（2，4）（见图5.4.3）．则两曲线所围图形的面积为

例5.4.2　求抛物线y ² ＝2x与直线y＝x－4所围平面图形的面积。

解　易求出两曲线的交点为（2，-2）和（8，4）（见图5.4.4）．选取y为积分变量，则两曲线所围平面图形的面积为

注意，在本题中如果选取x为积分变量，需对图形进行分块后，再应用面积计算公式作计算。

二、极坐标系下的区域

考察由曲线r＝r（θ），射线θ＝α，θ＝β（β＞α）所围成的平面图形（称之为曲边扇形），要求它的面积，其中r（θ）是［α，β］上的连续函数（见图5.4.5）．

以θ为积分变量，任取［α，β］中的小区间［θ，θ＋dθ］，由于［θ，θ＋dθ］对应的小曲边扇形的面积近似于圆扇形的面积，即 所以面积微元

于是

例5.4.3　计算心脏线r＝a（1＋cosθ）（-π≤θ≤π）所围平面图形的面积（见图5.4.6）．

解　由面积计算公式，得

已知截面面积的立体的体积

设空间立体Ω介于平面x＝a和x＝b之间。若对于任意x∈［a，b］，过x点且与x轴垂直的平面与立体Ω相截，所截的截面的面积为A（x）（假设A（x）在［a，b］上连续），那么相应于［a，b］中的任意小区间［x，x＋dx］，在［x，x＋dx］上对应的小立体的体积近似于母线与x轴平行、高为dx，底面积为A（x）的柱体体积（见图5.4.7），因此

dV＝A（x）dx，

所以

我国南北朝时的数学家祖暅（祖冲之之子）在计算出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为“祖暅原理”）：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。”用现代话讲就是，一个几何体（“立积”）是由一系列很薄的小片（“基”）叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积（“幂势”）都相同，那它们的体积（“积”）必然相等。这一结论与上述求体积公式的推导思想是相同的。意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）在1635年得到了同样的结论，所以也称之为“卡瓦列里原理”，但比祖暅迟了一千多年。

例5.4.4　已知一直圆柱体的底面半径为R，平面π ₁ 过其底面圆周上一点，且与底面π ₂ 成夹角θ，求圆柱体被平面π ₁ 和π ₂ 所截得的立体的体积（见图5.4.8）．

解　取圆柱体的底面圆周中心为原点，底面π ₂ 为Oxy平面，并使平面π ₁ 与圆周的交点在y轴上。这样一来，对于任意y∈［-R，R］，过（0，y）点且与y轴垂直的平面与立体相截的截面是一个矩形，它的底为 高为（y＋R）tanθ．因此 那么所求体积为

括号中的第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为0；第二项积分值恰为半径为R的半圆的面积，因此

V＝πR ³ tanθ．

读者不难发现，如用与x轴垂直的平面与立体相截，截面是直角梯形，这样处理起来就会麻烦很多。所以应对不同问题作具体分析，寻求最简单的处理方案，以达到事半功倍的效果。

旋转体的体积

已知截面面积的立体的体积计算公式有一个直接的推论，就是求旋转体体积的公式。

设f是［a，b］上的连续函数。空间立体Ω由平面图形

｛（x，y）∣0≤y≤∣f（x）∣，a≤x≤b｝

绕x轴旋转一周而成（见图5.4.9）．如用过（x，0）点且与x轴垂直的平面截此立体，所得截面显然是一个半径为∣f（x）∣的圆，即截面积为

A（x）＝π［f（x）］ ² ，

所以立体Ω的体积为

同样地，若g是［c，d］上的连续函数，则平面图形

｛（x，y）∣0≤x≤∣g（y）∣，c≤y≤d｝

绕y轴旋转一周所成的空间立体的体积为（见图5.4.10）

例5.4.5　求半径为a的球的体积。

解　半径为a的球可看做上半圆周 与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体，则其体积为

定积分的经济学应用

一、由边际函数求总量函数

设函数u（x）的边际函数u′（x）连续，则由牛顿-莱布尼茨公式得

例如，已知边际成本函数为C′（x），那么当产量为x单位时，总成本为

其中C（0）为固定成本。

再例如，已知收益的变化率（边际收益）R′（x），则收益函数为

一般地，产量为零时总收益也是零，因此可假设R（0）＝0，所以

例5.4.6　已知某水泥厂的生产的边际成本函数（单位：元）为

其中x为产量（单位：吨），且固定成本为100万元。求产量从8100吨增加到10000吨时，

（1）需增加多少投资；

（2）平均每吨要增加多少投资。

解　已知固定成本C（0）＝10 ⁶ 元，则总成本函数为

（1）当产量从8100吨增加到10000吨时，需要增加的投资为C（10000）－C（8100）

（2）平均每吨要增加的投资为

例5.4.7　某企业生产某产品的边际成本为C′（x）＝x ² －4x＋6（单位：元/单位产品），边际收益为R′（x）＝105－2x，其中x为产量。已知没有产品时没有收益，且固定成本为100元。若生产的产品都会售出，

（1）求产量为多少时，利润最大；

（2）问当利润最大时，最大利润是多少？

解　（1）利润函数为

L（x）＝R（x）－C（x）．

因为

令L′（x）＝0，得x＝11（x＝-9舍去）．因为

L″（x）＝2－2x，L″（11）＝－20＜0，

所以x＝11为极大值点，又由于它是唯一的极值点，它就是最大值点。因此当产量为11单位时，利润最大。

（2）注意到R（0）＝0，C（0）＝100，则最大利润为

二、投资问题

我们已经知道，若按年利率r作连续复利计息，A ₀ 元本金t年后的本息总和（将来值）为A＝A ₀ e ^rt 元；反过来，若t年后有A元，则按连续复利计算，现在应有现金（现值）A ₀ ＝Ae ^-rt 元。

设收益是连续获得的，即收益被看做是一种随时间连续变化的收益流P（t）（如将企业或投资的收益看做连续时间的连续函数），我们称收益流对时间的变化率（即P′（t））为收益流量。若时间t以年为单位，收益以元为单位，则收益流量的单位就是：元/年。

与单笔款项一样，收益流P（t）的将来值定义为将其存入银行并加上利息后的存款值；而P（t）的现值是这样一笔款项，若把它存入银行，到将来包括利息在内的存款值，与该款项在相同时段中从收益流获得的总收益相同。

在讨论连续收益时，为简单起见，我们总假设以连续复利r计息。设有一个收益流量为f（t）（元/年）的收益流，那么从开始（t＝0）到T年后，它的总收益的现值与将来值是多少呢？

我们利用微元法。在区间［0，T］中任取一小区间［t，t＋dt］，在［t，t＋dt］上将收益流量f（t）看做常数，则在这个小时间段上从收益流所获得的收益微元等于f（t）dt（元）．注意从现在（t＝0）算起，收益f（t）dt是经过t年后获得的，因此在时段［t，t＋dt］上的收益的现值微元应为

［f（t）dt］e ^-rt ＝f（t）e ^-rt dt，

从而总收益的现值为

在计算将来值时，注意到在时段［t，t＋dt］上的收益将在以后的T－t年期间获息，从而在［t，t＋dt］上，收益流的将来值微元为

［f（t）dt］e ^r（T－t） ＝f（t）e ^r（T－t） dt，

于是总收益的将来值为

设投资于某企业一笔款项a，经测算该企业在T年中可以按每年b的均匀收益率（收益流量）产生的收益。已知年利率为r，则由以上的讨论知，T年中总收益的现值为

所以，投资获得的纯收益的现值为

由于T年中总收益的将来值为

因此

A＝A ₀ e ^rT

这说明，按年利率r的连续复利计息，则从现在起到T年后的投资收益的将来值，恰好等于将该投资作为单笔款项存入银行T年后的将来值。

那么何时收回该笔投资呢？收回投资意味着总收益的现值等于投资总额，即

从而解得收回投资的时间

例5.4.8　现准备对某企业投资400万元，经测算该企业在10年中有100万元/年的固定收益，且已知年利率为10％．

（1）求这十年的总收益的现值和将来值，并解释这两者的关系；

（2）问多少年能收回投资？

解　（1）这时a＝400万元，b＝100万元/年，T＝10，r＝0.1．则由以上的讨论得到，总收益的现值为

总收益的将来值为

显然

A＝A ₀ ·e．

这说明若以现值1000（1－e ^-1 ）万元存入银行，按年利率10％的连续复利计息，则10年中这笔单独款项的将来值为1000（1－e ^-1 ）e，它恰好是投资400万元在10年期间的总收益的将来值。

（2）由于a＝400万元，b＝100万元/年，r＝0.1．所以由以上的讨论得到，收回投资的时间为 4HLjwwO6LLVoOpI8gZDk1umNeeyMMWrYLD8t+gTsqO2/9HO9OMBWQMXJvppHFODk