3　定积分的换元积分法和分部积分法

由牛顿-莱布尼茨公式可知，要计算定积分，只要求出被积函数的一个原函数，再将定积分的上、下限代入该原函数即可。如果被积函数比较复杂，自然可以利用不定积分的换元法和分部积分法求出它的原函数，再将定积分的上、下限代入便可计算出定积分的值。然而，在许多理论和实际问题中，还需要直接利用定积分的换元积分法和分部积分法。

换元积分法

定理5.3.1　设函数f（x）在区间［a，b］上连续，函数x＝φ（t）在区间［α，β］（或区间［β，α］）上有连续导数，满足φ（α）＝a和φ（β）＝b，且函数φ的值域包含于［a，b］．则成立

证　因为函数f在区间［a，b］上连续，所以必有原函数。设F为f在区间［a，b］上的一个原函数，由复合函数求导法则可知

［F（φ（t））］′＝F′（φ（t））φ′（t）＝f（φ（t））φ′（t），

因此F（φ（t））是f（φ（t））φ′（t）一个原函数。由牛顿-莱布尼茨公式便得

证毕

注意，换元后的定积分 的上下限α和β必须与原定积分的上下限a和b相对应，而不必考虑α与β之间的大小。

例5.3.1　算定积分

解法一　令 则 因为φ（1）＝1，φ（8）＝2，积分区间x∈［1，2］对应于t∈［1，8］．应用换元积分公式便得到

解法二　易知

令u＝ψ（x）＝x ³ ，则ψ（1）＝1，ψ（2）＝8，于是由换元积分公式得

从上例可以看出，换元积分公式

可以从左端推到右端，也可以从右端推到左端。解法一就是采用从左端推到右端的方法，这相当于不定积分的第二类换元积分法；解法二则是采用从右端推到左端的方法，这相当于不定积分的第一类换元积分法，即“凑微分法”．读者应该对具体的问题作具体的分析，选择恰当的变量代换，从而简化计算过程。

例5.3.2　求半径为a的圆的面积。

解　设圆的方程为

x ² ＋y ² ＝a ² ，

利用对称性，我们只需求它在第一象限部分的面积，其4倍就是整个圆的面积。

在第一象限，圆的方程可变为

因此，相应的四分之一圆面积为

为计算这个积分，作变量代换x＝asint，于是dx＝acostdt，积分区间x∈［0，a］对应于 于是

所以，整个圆的面积为S＝πa ² ．

例5.3.3　计算定积分

解　作变量代换 则x＝ln（1＋u ² ），所以 由于当x＝0时，u＝0；当x＝ln2时，u＝1，于是

要补充说明的是，如果在计算中使用的是“凑微分”的换元法，在计算过程往往不必另行写出中间变量，因而也毋须引入中间变量的变化区间。这就是说，如果F（u）是f（u）的原函数，φ（x）在［a，b］上具有连续导数，且φ的值域包含于f的定义域，则

例5.3.4　计算

解　利用“凑微分”法得

定理5.3.2　设函数f在对称区间［-a，a］上连续，则

从而

（1）若f是偶函数，则

（2）若f是奇函数，则

证　由于

对积分 作变量代换x＝-t得

于是

证毕

这个定理中的结论（1）和（2）的几何意义是非常明显的，并且它们可使定积分的计算更为简单。例如，从结论（2）立刻可知

这是因为被积函数是奇函数。

例5.3.5　计算

解　因为cosxsin ² x是偶函数，cosxsin2x是奇函数，由定理5.3.2得

例5.3.6　计算定积分

解　由定积分的区间可加性得

对等式右边的第二个积分作变量代换x＝π－t得

于是

注意，在本题中我们实际上并没有求出函数 的原函数，只是利用换元积分法把不易计算的部分消去了。因此定积分换元法的使用是有其自身特点的，不要简单地认为它与不定积分的换元法的作用相同。

分部积分法

设函数u和v在区间［a，b］上有连续导数。由函数乘积的求导公式

（uv）′＝uv′＋vu′

可得

uv′＝（uv）′－vu′．

将上式在［a，b］上取定积分便得

这样便有如下的分部积分公式：

定理5.3.3　设函数u和v在［a，b］上有连续导数，则

上式也可表成下列形式

例5.3.7　计算定积分

解　应用分部积分公式得

例5.3.8　计算定积分

解　作变量代换 则x＝t ² －1，dx＝2tdt，所以

应用分部积分公式得

因此

例5.3.9　计算定积分 （n为正整数）．

解　显然

当n≥2时，利用分部积分法得

于是得到递推关系

从这个递推关系得

例5.3.10　计算定积分

解　作变量代换x＝sint得

由例5.3.9知

所以 HQZ1yACke5Km8rb5YEbUehyMAB5uNgkPhUl1Ict+LfhHqYzcU8uaNbZtlDpEeXpL