2　微积分基本定理

读者可能已经发现，利用定义来直接计算定积分是非常困难的。微积分基本定理说明，定积分的计算可以转化为求被积函数的原函数或不定积分问题，从而使定积分的计算有了强大而有效的一般方法。

变限积分

设函数f在［a，b］上可积，则对于任意给定的x∈［a，b］，f在［a，x］上可积，于是定积分 就有唯一确定的值。这样就确定了一个［a，b］上的函数

称之为变上限积分。

类似地，

也是一个［a，b］上的函数，称之为变下限积分。变上限积分与变下限积分统称为变限积分。

定理5.2.1　设函数f在［a，b］上可积，则函数

在［a，b］上连续。

证　我们只证函数F在（a，b）上连续，F在x＝a点的右连续性与在x＝b点的左连续性类似可证。

因为函数f在［a，b］上可积，所以函数f在［a，b］上有界，因此存在常数M＞0，使得

∣f（x）∣≤M，x∈［a，b］．

设x∈（a，b），则当x＋∆x∈（a，b）时成立

所以

因此 即函数F在x点连续。

证毕

进一步，若函数f还在［a，b］上连续，则函数F还在［a，b］上可导，这就是：

定理5.2.2　设函数f在［a，b］上连续，则函数

在［a，b］上可导，且导数（导函数）为

F′（x）＝f（x），x∈［a，b］．

证　我们只证在（a，b）上定理的结论成立，在区间［a，b］的端点的结论类似可证。

设x∈（a，b），则当x＋∆x∈（a，b）时成立

由中值定理知，在x和x＋∆x之间存在ξ，使得

于是

F（x＋∆x）－F（x）＝f（ξ）∆x．

因为当∆x→0时，x＋∆x→x，从而ξ也趋向x，利用f的连续性便得

这说明函数F在x点可导，且成立

F′（x）＝f（x）．

证毕

从定理5.2.2立即得到

定理5.2.3（原函数存在定理）　设函数f在［a，b］上连续，则函数

是f在［a，b］上的原函数。

推论5.2.1　设函数f在［a，b］上连续，函数g，h在［a，b］上可导，且满足

a≤g（x）≤b，a≤h（x）≤b，x∈［a，b］．

则函数

在［a，b］上可导，且满足

P′（x）＝f［h（x）］h′（x）－f［g（x）］g′（x），x∈［a，b］．

证　记 则在［a，b］上成立F′（u）＝f（u）．

因为

所以由复合函数的求导法则得

P′（x）＝F′［h（x）］h′（x）－F′［g（x）］g′（x）

＝f［h（x）］h′（x）－f［g（x）］g′（x）．

证毕

例5.2.1　设 求F′（x）．

解　由推论5.2.1得

例5.2.2　求极限

解　由定理5.2.1知，这是 型的极限，所以由推论5.2.1及洛必达法则得

微积分基本定理

定理5.2.4（牛顿-莱布尼茨公式）　设函数f在［a，b］上连续，函数F是f在［a，b］上的一个原函数，则

这个定理也称为微积分基本定理。

证　记

由定理5.2.3知，函数G是f在［a，b］上的一个原函数。又已知F也是f在［a，b］上的一个原函数，于是这两个函数只能相差一个常数，即存在常数c，使得

G（x）＝F（x）＋c，x∈［a，b］，

即

取x＝a便得0＝F（a）＋c，即c＝-F（a）．再取x＝b，便得

证毕

注　在牛顿-莱布尼茨公式中，常简记F（b）－F（a）为 于是

例5.2.3　求定积分

解　显然 是 的一个原函数，所以由牛顿-莱布尼茨公式得

例5.2.4　求定积分

解　由定积分的线性性质和牛顿-莱布尼茨公式得

例5.2.5　求定积分

解　因为

由定积分的区间可加性和牛顿-莱布尼茨公式得 up1DL9dtdVS+NZisl5suGRzOyxOFA4oqT3HvA1/27pPhV1NkI/V/4G/ufZiVx4yr