第二节
数学运算方法应用
——题型分类精析

速度对于行测而言，其重要性毋庸置疑，考生要想在行测中取得高分，不仅要会解题，更要快解题、巧解题。因此，对于行测而言，技巧和方法是非常重要的。为了帮助考生提高数学运算部分的答题速度和得分，本章根据该部分所使用技巧的不同，将数学运算的考题进行了分类。而对于每种题型，本着既要知其然又要知其所以然的目的，我们都将从常规解题方法和技巧性解题方法两部分进行系统的讲解，以便帮助考生更好地理解和运用该部分的原理和技巧。

一、基本数字规律

在数学运算中，这部分主要包括多数字之间的规律和函数问题，题型不难，主要考查方法的应用及熟练程度。

（一）运算规律

【核心知识】

运算规律包括基本运算规律、基本运算技巧、新运算规律（定义新运算），是数学运算部分的基础。

（1）基本运算规律

基本运算规律，考生需要掌握四则运算的运算顺序，加法和乘法的基本运算规律，乘方运算的法则，以及平（立）方差等基本公式。

（2）基本运算技巧

基本运算技巧主要包括：

①凑整法：根据数的特点，借助于数的组合、分解以及四则运算等规律，将几个数字凑成整十、整百、整千、整万的数，也可以把较大的数字估算为其相近的数。

②因式分解法：把一个多项式转化为几个因式乘积的形式。

③换元法：把式子的某个部分看成一个整体，并用一个新的变量去替换它，达到简化算式与计算的目的。

④首尾数法：通过计算首位或者末位数字（一位或两位）来确定答案。

以上这些方法和基本运算定律结合起来使用，可以提高计算速度。

（3）新运算规律

新运算规律，即定义新运算，是指给出了新的运算符号，并对这些符号规定了新的运算规则，考生需要按照新的运算规律来进行运算。

解决这类问题一定要认真观察、仔细分析、充分理解新运算规律的定义，并严格按照新定义式中的规则进行代入，进而将这类问题转化成熟悉的四则运算。

【真题精析】

例 1：（2014·浙江A、B卷） 的值为（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】原式＝ ＝ ＝ 。故选A。

【难度】★

例 2：（2011·浙江）a⊙b＝4a＋3b，若5⊙（6⊙x）＝110，则x的值为（　　）

A.5

B.4

C.3

D.2

【答案】D

【解析】根据题意可得，4×5＋3×（4×6＋3x）＝110，解得x＝2。故选D。

【难度】★★

（二）拆分规律

【核心知识】

拆分规律有位数的拆分、因数分解、加数拆分等。其中位数的拆分，以六位数abcdef为例，可拆分为a×10 ⁵ ＋b×10 ⁴ ＋c×10 ³ ＋d×10 ² ＋e×10＋f。

【真题精析】

例 1：（2015·国考）餐厅需要使用9升食用油，现在库房里库存有15桶5升装的，3桶2升装的，8桶1升装的。问：库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的9升食用油？（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

【答案】C

【解析】有以下情况：（5，2，2）（5，2，1，1）（5，1，1，1，1）（2，2，2，1，1，1）（2，2，1，1，1，1，1）（2，1，1，1，1，1，1，1），共6种情况。故选C。

【难度】★★

例 2：（2017·国考）小张需要在5个长度分别为15秒、53秒、22秒、47秒和23秒的视频片段中选取若干个，合成为一个长度在80～90秒之间的宣传视频。如果每个片段均需完整使用且最多使用一次，并且片段间没有空闲时段，问他按照要求可能做出多少个不同的视频？（ ）

A.12

B.6

C.24

D.18

【答案】A

【解析】将5段视频（15，53，22，47，23）合成为一个长度在80～90秒之间的宣传视频，即总的时间80秒≤T≤90秒。

5段视频全取，T＞90，不符合题意；

取任意4段视频，T＞90，不符合题意；

故只能取3段视频，当取47，22，15时，T＝84，而这3段视频的一个拼接顺序又是一个排列，有6种；当取47，23，15时，T＝85，而这3段视频的一个拼接顺序同样是一个排列，有6种；当取53，22，15时，T＝90，不符合题意。因此，总的情况数有12种，故正确答案为D。

【难度】★★★

例 3：（2014·国考）某单位某月1～12日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天。三人各自值班日期数字之和相等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班？（ ）

A.0

B.2

C.4

D.6

【答案】A

【解析】1～12日期数字之和为（1＋12）×12÷2＝78，则每人值班日期之和为78÷3＝26。已知甲值班日期为1、2，剩26－1－2＝23，只能是23＝11＋12，即甲值班日期为1、2、11、12。已知乙值班日期为9、10，剩26－9－10＝7，只能是7＝3＋4，即乙值班日期为3、4、9、10。所以丙值班日期为5、6、7、8，即丙第一天与最后一天之间都值班，有0天不用值班。故选A。

【难度】★★★

例 4：（2014·广东）一名顾客购买两件均低于100元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是（ ）元。

A.42

B.63

C.85

D.96

【答案】A

【解析】设被弄错价格的这件商品的标价为10a＋b，则弄反后为10b＋a，于是有（10a＋b）－（10b＋a）＝27，解得a－b＝3，只有A项不符合。故选A。

【难度】★★

（三）均值问题

【核心知识】

（1）算术平均值和几何平均值

n个数x ₁ ，x ₂ ，，…x n ，其算术平均值为 ＝ （x ₁ ＋x ₂ ＋…＋xn）；当x ₁ ，x ₂ ，，…x n 均为正数时，其几何平均值为 。并且有 （x ₁ ＋x ₂ ＋…＋x n ）≥ （当且仅当x ₁ ＝x ₂ ＝…＝x _n 时，等号成立）。

（2）加权平均值

如果在n个数中，x ₁ ，x ₂ ，…，x _k ，分别出现了f ₁ ，f ₂ ，…，f _k 次（f ₁ ＋f ₂ ＋…＋f _k ＝ ＝（x ₁ f ₁ ＋x ₂ f ₂ ＋…＋x _k f _k ）或 叫作x ₁ ，x ₂ ，…，x _k 的加权平n），那么均值。

【真题精析】

例 1：（2015·上半年联考浙江卷）某一农村的农民自发组织若干位同村农民到台湾旅行，其旅行费用包括：个人办理赴台手续费，在台旅行的车费平均每人503元，飞机票平均每人1998元，其他费用平均每人1199元，已知这次旅行的总费用是92000元，总的平均费用是4600元，问：赴台的总人数和个人办理赴台手续费分别是多少？（ ）

A.20人，700元

B.21人，650元

C.20人，900元

D.22人，850元

【答案】C

【解析】赴台的总人数为92000÷4600＝20人，个人办理赴台手续费为4600－503－1998－1199＝900元。故选C。

【难度】★★

例 2：（2013·国考）小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得分。问小王的物理考了多少分？（ ）

A.94

B.95

C.96

D.97

【答案】C

【解析】根据题意可知，五门的排名为数学、化学、物理、外语、语文。外语为语文和物理的平均分，化学比外语多2分，故物理只能比外语多1分，则语文比外语少1分，物理为94＋1＋1＝96分。故选C。

【难度】★★★

例 3：（2010·贵州）某超市奶糖每斤15元，酥糖每斤13.5元，水果糖每斤10元。现超市促销，把4斤奶糖、5斤酥糖和6斤水果糖搭成什锦糖，且什锦糖价格为各种糖搭配后价格的80％。现小王买了36块钱的什锦糖，问按搭配比例，他买了多少奶糖？（ ）

A.0.96斤B.2.4斤C.3斤D.3.6斤

【答案】A

【解析】根据题意可知，什锦糖的售价为 ＝10元／斤，故小王用36元钱可以买36÷10＝3.6斤什锦糖，其中奶糖的质量为3.6× ＝0.96斤。故选A。

【难度】★★★

（四）数列规律

【核心知识】

【知识拓展】

等差（比）数列中，取出等距离的项所组成的新数列仍成等差（比）数列。

等差数列的中间项：

①当为奇数时等差数列的中间项为n， （数列的平均值）＝奇数项之和－偶数项之和；

②当n为偶数时，等差数列的中间项为 和 ，且有 ＋ ＝ （数列平均值的2倍）。

【真题精析】

例 1：（2014·上海A、B卷）某学校在400米跑道上举行万米长跑活动，为鼓励学生积极参与，制定了积分规则：每跑满半圈积1分，此外，跑满1圈加1分，跑满2圈加2分，跑满3圈加3分……以此类推。那么坚持跑满一万米的同学一共可以得到的积分是____分。

A.325

B.349

C.350

D.375

【答案】D

【解析】每跑满半圈积1分，共可积10000÷（400÷2）＝50分；1万米共10000÷400＝25圈，故跑满整圈可积1＋2＋3＋4＋…＋25＝（1＋25）×25÷2＝325分。因此积分一共为50＋325＝375分。

【难度】★★

例 2：（2014·浙江A、B卷）合唱团成员排练时站在一个五级的台阶上，最上面一级站N个人。若上面一级比下面一级多站一个人，则多了7个人；若上面一级比下面一级少站一个人，则少多少人？（ ）

A.4个

B.7个

C.10个

D.13个

【答案】D

【解析】若上面一级比下面一级多站一个人，则第三级台阶上面有（N－2）人，总人数为5（N－2）＋7＝5N－3。若上面一级比下面一级少站一个人，则第三级台阶上面有（N＋2）人，总人数为5N－3＝5（N＋2）－13，故此时少了13人。故选D。

【难度】★★

例 3：（2014·上海A、B卷）某工厂某种产品每月的产能为8000个，1月的销量为5000个，且预计每月销量环比增加10％，则当年该产品库存最高的月份是_____。

A.4月

B.5月

C.6月

D.7月

【答案】B

【解析】最初，每月的产量大于销量，库存不断上升；随着每月销量增加，在某个月销量会第一次超过产量，此时库存开始下降。因此，库存最高的月份是，销量超过产量的前一个月。经代入计算，5月的销量5000（1＋10％） ⁴ ＜8000，6月的销量5000（1＋10％） ⁵ ＞8000，故库存最高的月份是5月。

【难度】★★★

（五）函数问题

【核心知识】

函数问题包括分段问题和最值问题两个部分，主要研究数学函数的分段求解、最大（最小）值等相关性质，以及函数在实际生活中的应用。

（1）分段问题

分段问题，实质就是代数中的分段函数问题，解题的关键是正确找出分段点，明确各分区间内数量间的关系。

在近几年的行测中，分段问题主要涉及2～3个区间段的计算，内容涵盖销售、税金、支付、提成等日常事项。

（2）最值问题

二次函数y＝ax ² ＋bx＋c＝a（x＋ ） ² ＋ （a≠0），当a＞0，x＝ 时， 为最小值；当a＜0，x＝ 时， 为最大值。

【真题精析】

例 1：（2014·国考）两同学需托运行李。托运收费标准为10公斤以下6元／公斤，超出10公斤部分每公斤收费标准略低一些。已知甲、乙两人托运费分别为109.5元、78元，甲的行李比乙重了50％。那么，超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了多少元？（ ）

A.1.5元

B.2.5元

C.3.5元

D.4.5元

【答案】A

【解析】假设超过10公斤每公斤收费y元，乙的行李重x公斤，则甲的行李重1.5x公斤。根据题意有， ，解得y＝4.5，故超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内低6－4.5＝1.5元。故选A。

【难度】★★★

例 2：（2013·上半年联考）某商场开始开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买超过300元的商品，其中300元九折优惠，超过300元的部分八折优惠。小王购物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？（ ）

A.16

B.22.4

C.30.6

D.48

【答案】A

【解析】144元一定是打折前没超过300元，故是打九折之后的；310元一定是打折前超过300元，故是一部分打九折一部分打八折。一次性付款，打折前一定超过300元，与分两次付款的区别在于144元由打九折变为打八折，故能省144－144÷0.9×0.8＝16元。故选A。

【难度】★★★

例 3：（2012·上海A、B类）某市出租车收费标准是：5千米内起步费10.8元，以后每增加1千米增收1.2元，不足1千米按1千米计算。现老方乘出租车从A地到B地共支出24元，如果从A地到B地先步行460米，然后再乘出租车也是24元，那么从AB的中点C到B地需车费_____元。（不计等候时间所需费用）

A.12

B.13.2

C.14.4

D.15.6

【答案】C

【解析】由（24－10.8）÷1.2＝11知，A地到B地距离在15千米到16千米之间，又由“如果从A地到B地先步行460米，然后再乘出租车也是24元”可知，A地到B地距离在15.46千米到16千米之间，故中点C到B地距离在7.73千米到8千米之间，故C点到B地需车费（8－5）×1.2＋10.8＝14.4元。故选C。

【难度】★★★

例 4：（2011·江苏A、B类）某次招标规定：与每个报价数之差的平方和最小的价格为“预中标价”，接近“预中标价”报价的为预中标单位。6家单位投标，报价分别是37万元、62万元、61万元、47万元、49万元、56万元，其“预中标价”是多少万元？（ ）

A.51

B.51.5

C.52

D.52.5

【答案】C

【解析】设“预中标价”为x万元，则“预中标价”与每个报价数之差的平方和为（37－x） ² ＋（62－x） ² ＋（61－x） ² ＋（47－x） ² ＋（49－x） ² ＋（56－x） ² ＝6x ² －2×（37＋62＋61＋47＋49＋56）x＋（37 ² ＋62 ² ＋61 ² ＋47 ² ＋49 ² ＋56 ² ），当x＝ ＝－ ＝52时，该式取最小值，故“预中标价”是52万元。故选C。

【难度】★★★

例 5：（2013·甘肃）某人想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝，为防止鸡飞出去，鸡窝的高度不得低于2米，要使所建的鸡窝面积最大，长度应为多少米？（ ）

A.12

B.13

C.10

D.11

【答案】A

【解析】长2米、宽1.2米的金属网放置的时候使2米作为高，则20块的总长度为1.2×20＝24米，围的时候用金属网围三边，靠墙的一边不围。设鸡窝与墙相邻的一边为x米，则面积S＝x（24－2x）＝－2x ² ＋24x，当x＝ ＝6时，S取最大值，这时鸡窝与墙平行的一边为24－2×6＝12米，即长度应为12米。

【难度】★★★

二、整数理论

对于行测中数学运算部分，绝大多数的数据都是整数，因此灵活运用整除理论和余数理论，对快速寻找相关数与数之间的关系及解题就显得尤为重要。

（一）整除理论

【核心知识】

整除理论：涉及数的整除、公约数与公倍数、奇偶性与质合性。

（1）数的整除

①整除的定义。

若整数a除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（b能整除a），记为b｜a，其中a叫作被除数，b叫作除数。

②能被常见数字整除的数的特征。

对于能被7（11或13）整除的数的数字特征举例如下：

判断3546725能否被7、11、13整除。

①3546725的末三位数字是“725”，末三位之前的数字是“3546”，二者的差为3546－725＝2821；继续做差，821－2＝819。819能被7和13整除，不能被11整除，因此3546725能被7和13整除，不能被11整除。

②3546725可分为3，546，725三段。奇数段的和为725＋3＝728，偶数段为546，二者的差为728－546＝182＝7×2×13，故3546725能被7和13整除，不能被11整除。

（2）公约数与公倍数

①基本定义。

约数又叫因数。若数a能被数b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。若干个整数公有的约数，称为公约数，其中最大的公约数称为最大公约数；若干个整数公有的倍数，称为公倍数，其中最小的公倍数称为最小公倍数。

②几个数的最大公约数和最小公倍数的常用求取方法——短除法。

用公有的因数连续去除，直到存在两个商互质为止，把公有的因数连乘起来，就是最大公约数；而直到任意两个商都互质为止，把公有的因数及剩余的商连乘起来，就是最小公倍数。

如：a）求24、36的最大公约数与最小公倍数。

24、36的最大公约数为其短除号左侧公有因数的乘积，即2×2×3＝12；最小公倍数为其公有因数及剩余商的乘积，即2×2×3×2×3＝72。

b）求24、36、90的最大公约数与最小公倍数。

24、36、90的最大公约数为2×3＝6；最小公倍数为2×3×2×3×2×1×5＝360。

注意事项：

利用短除法求取3个及以上数的最大公约数时，只需短除到存在两个商互质即可；而求取最小公倍数时，需要短除到两两互质为止。

（3）奇偶性与质合性

①奇数和偶数的性质。

②质数和合数。

0和1既不是质数，也不是合数；2是最小的质数，也是唯一一个为偶数的质数；4是最小的合数。

质因数分解是指将此数表示成几个质数相乘的形式。

常用数字的质因数分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；2012＝2 ² ×503；2013＝3×11×61；10001＝73×137；10101＝3×7×13×37。

【真题精析】

例 1：（2015·上半年联考浙江卷）设有编号为1，2，3，…，10的10张背面向上的纸牌，现有10名游戏者，第1名游戏者将所有编号是1的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，接着第2名游戏者将所有编号是2的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态……第n名（n≤10）游戏者，将所有编号是n的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，如此下去，当第10名游戏者翻完纸牌后，那些纸牌正面向上的最大编号与最小编号的差是（ ）

A.2

B.4

C.6

D.8

【答案】D

【解析】根据题意可知，编号为1的纸牌只翻动一次（被第1名游戏者翻动），正面向上；编号为质数的2、3、5、7号纸牌翻动2次（均被第1名游戏者翻动，且分别被第2、3、5、7名游戏者翻动），背面向上；编号为4和9号的纸牌翻动3次，正面向上；编号为6、8、10的纸牌翻动偶数次，背面向上。故最后正面向上的纸牌最大编号是9，最小编号是1，二者之差为8。故选D。

此题实质是考查约数的个数问题，有奇数个约数的数被翻奇数次，正面向上；有偶数个约数的数被翻偶数次，背面向上。1、4、9有奇数个约数，故正面向上；2、3、5、6、7、8、10有偶数个约数，故背面向上。

【难度】★★★

例 2：（2014·广东）一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五；如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有（ ）名。

A.36

B.40

C.48

D.72

【答案】B

【解析】根据题意可知，原来车间员工总数减4应能被9整除，只有B项符合。

【难度】★★

例 3：（2014·广东）在一条新修的道路两侧各安装了33盏路灯，每侧相邻路灯之间的距离相同。为提高照明亮度，有关部门决定在该道路两侧共加装16盏路灯，要使加路灯后相邻路灯之间的距离也相同，最多有（ ）盏原来的路灯不需要挪动。

A.9

B.10

C.18

D.20

【答案】C

【解析】每侧加16÷2＝8盏路灯，间隔从32变为40，32和40的最大公约数为8，故不需要挪动的有2×（8＋1）＝18盏。

【难度】★★★

例 4：（2014·江苏A、B类）小张的手表每天快30分钟，小李的手表每天慢20分钟，某天中午12点两人同时把表调到标准时间，则两人的手表再次同时显示标准时间最少需要的天数为（ ）

A.24

B.36

C.72

D.114

【答案】C

【解析】当小张的手表快12小时的整数倍，且小李的手表慢12小时的整数倍时，两人的手表再次同时显示标准时间。小张的手表每天快 小时，故快12小时需要12÷ ＝24天；小李的手表每天慢 小时，故慢12小时需要12÷ ＝36天。24与36的最小公倍数是72，故72天时两人的手表再次同时显示标准时间（此时小张的手表快了36小时，小李的手表慢了24小时）。

【难度】★★★

例 5：（2011·上半年联考）某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？（ ）

A.18

B.15

C.12

D.9

【答案】C

【解析】根据题意可知，第10名员工工号尾数为0，又因为工号是连续的四位自然数，所以1～9名员工工号尾数依次为1，2，3，…，9，且工号前三位数相同，则第三名员工工号的各位数字之和加6等于第九名员工工号的各位数字之和。根据“每个人的工号都能被他们的成绩排名整除”可知，第三名和第九名员工工号的各位数字之和分别是3和9的倍数，所以第三名员工工号各位数字之和加6是9的倍数，只有C项符合，即12＋6＝18是9的倍数。故选C。

【难度】★★

（二）余数理论

【核心知识】

余数理论主要包括余数的基本性质和多除数问题。在数学运算部分，余数性质的应用最为广泛，命题形式灵活多变，难度不大；多除数问题可以利用中国剩余定理或层层推进法求解，难度较高，但对于几种特殊情况，可以使用口诀求解。

（1）余数的基本性质

①基本关系式：被除数＝除数×商＋余数。

②余数一定小于除数，不大于被除数。

③当被除数小于除数时，商为零，余数等于被除数。

④对于自然数a、b、c、m，有如下性质：

（2）多除数问题

对于多除数问题中的几种特殊情况，口诀为：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做最小正周期。具体解法如下：

对于多除数问题，除利用剩余定理、层层推进法和口诀来寻求被除数满足的条件外，如果题目只是求被除数是多少时，往往采用代入排除法求解。

【真题精析】

例 1：（2010·浙江）有一个自然数x，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问x除以12的余数是多少？（ ）

A.1

B.5

C.9

D.11

【答案】D

【解析】由于3－2＝4－3＝1，且3、4的最小公倍数为12，则根据“差同减差，最小公倍数做最小正周期”，自然数x可以表示为12n－1（n为正整数），故x除以12的余数为11。故选D。

【难度】★★

例 2：（2012·江苏A类）在数列2，3，5，8，12，17，23，…中，第2012个数被5除所得余数为（ ）

A.1

B.3

C.2

D.4

【答案】B

【解析】数列被5除的余数分别为2，3，0，3，2，2，3，…，以“2，3，0，3，2”这5个数为一个循环，2012除以5余2，所以第2012个数被5除余3。故选B。

【难度】★★

例 3：（2011·北京）有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数（ ）

A.44

B.43

C.42

D.41

【答案】D

【解析】根据 余数的可加性 可知，157＋234＋324＝715除以这个整除的余数为100，即715－100＝615能被该整数整除，只有D项符合。

【难度】★★

三、计数应用

计数应用主要包括排列组合、概率问题、容斥原理和抽屉原理，这四类题型的理论性都比较强，需要考生深入理解并掌握其基本原理，并加以一定的练习巩固。

（一）排列组合

【核心知识】

（1）排列与组合

①排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素组成一列（与顺序有关），有 ＝ ＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）种方法。

②组合：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组（与顺序无关），有 _＝ ＝ 种方法。

（2）加法原理与乘法原理

①加法原理：一件事情，有n 类方法 可以完成，并且每类方法又分别存在m ₁ ，m ₂ ，…，m _n 种不同方法，则完成这件事情共有（m ₁ ＋m ₂ ＋…＋m _n ）种方法。

②乘法原理：一件事情，需要n 个步骤 完成，并且每步又分别存在m ₁ ，m ₂ ，…，m _n 种不同方法，则完成这件事情共有（m ₁ ×m ₂ ×…×m _n ）种方法。

③加法原理与乘法原理的区别：加法原理是 分类 问题，任何一类方法中的任意一种办法都可以完成此事；乘法原理是 分步 问题，必须完成各个步骤才能完成此事。

（3）解题策略

分清排组，先选后排：与顺序有关，为排列问题；与顺序无关，为组合问题。排列与组合的混合问题，须先用组合选取元素，再进行排列。

分类分步，勿重勿漏：分类问题，用加法原理；分步问题，用乘法原理。需要分类讨论时，必须遵循不重复、不遗漏的原则。

直接间接，灵活运用：正面求解困难时，可以考虑使用间接法。用总的排列数（组合数）减去不符合条件的排列数（组合数），尤其在处理对称问题（即符合条件和不符合条件的排列数或组合数相同）时，直接用总排列数（组合数）除以2即可。

元素位置，特殊优先：优先考虑有限制的元素或位置。

元素相邻，先捆后松：相邻元素问题，先把规定的相邻元素“捆绑”在一起参与排列，当需要考虑元素的相对顺序时再进行“松绑”。

元素间隔，分位插空：不相邻元素问题，先把无限制的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入到排好的元素两端或之间。

分配分堆，区别对待：分配问题（满足所有元素无差别，且每份至少有一个元素），采用插板法；平均分堆问题，应该根据是否平均分配到指定位置来做不同的处理。

如“将6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，有多少种分法”，应该分三步考虑：第一步，从6本书选出两本给甲， 种；第二步，从剩下的4本书里选出两本书给乙， 种；第三步，把剩下的两本书给丙， 种。共有 ＝90种分法。又如“6本不同的书平均分成3堆，有多少种分法”，因为不用考虑全排列问题，所以有 ＝15种分法。

比赛问题，抓住核心：区别单循环赛、双循环赛和淘汰赛。

错位重排，用准公式：将n个元素重新排列，使每个元素都不在原来的位置上，有T _n 种情况，其中，T _n ＝ ；T _n ＝（n－1）（T _{n －1} ＋T _{n －2} ）。（0！＝1）

【真题精析】

例 1：（2016·国考）为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3个部门分别派出3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？（ ）

A.小于1000

B.1000～5000

C.5001～20000

D.大于20000

【答案】B

【解析】3个部门分别派出3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连。第一步：将3个部门的顺序进行全排列；第二步：将每个部门内部的选手进行全排列。则总共的排列顺序一共有：A（3，3）×A（4，4）×A（2，2）×A（3，3）＝6×24×2×6＝1728，属于1000～5000的范围。故选B项。

【难度】★★

例 2：（2011·浙江）某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式？（ ）

A.7种

B.12种

C.15种

D.21种

【答案】C

【解析】间接法。每一种学习报都有订与不订两种选择，故共有2 ⁴ 种订法，又因“至少订一种”，再减去一种都不订的情况，所以共有2 ⁴ －1＝15种订法。故选C。

【难度】★★

例 3：（2012·上海B卷）某单位有老陶和小刘等5名工作人员，需安排在星期一至星期五的中午值班，每人一次，若老陶星期一外出开会不能排，小刘有其他的事不能排在星期五，则不同的排法共有（ ）种。

A.36

B.48

C.78

D.96

【答案】C

【解析一】间接法。5名工作人员任意排列共有 种排法，老陶排在星期一的排法有 种，小刘排在星期五的排法有 种，老陶排在星期一且小刘排在星期五的排法有 种，故老陶不排在星期一且小刘不排在星期五的排法共有 － － ＋ ＝78种。

【解析二】优先法。先排老陶和小刘，老陶不排在星期一且小刘不排在星期五共有4×4－3＝13种排法，排好两人后剩下三人有 ＝6种排法，故满足题意的不同排法共有13×6＝78种。

【难度】★★★

例 4：（2011·广东）某展览馆计划4月上旬接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。参观的时间安排共（ ）种。

A.30

B.120

C.2520

D.30240

【答案】C

【解析】捆绑法。将连续参观的3天捆绑在一起看成1天，连续参观的2天捆绑在一起看成1天，这样4月上旬的10天相当于被看成了7天，从这7天中选出5天并进行排列，即参观的时间安排共有 ＝2520种。故选C。

【难度】★★★

例 5：（2015·国考）把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两旁，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？（ ）

A.36

B.50

C.100

D.400

【答案】C

【解析】插空法。先考虑一侧：每侧柏树3棵，松树6棵，将3棵柏树插入6棵松树形成的5个空中，有 ＝10种方法。则有10×10＝100种方法。故选C。

【难度】★★

例 6：（2010·广东）春节前单位慰问困难职工，将10份相同的慰问品分给6名职工，每名职工至少要分得1份慰问品，分配方法共有（ ）

A.84种

B.126种

C.210种

D.252种

【答案】B

【解析】插板法。10份慰问品相同，且每人至少得1份，故使用插板法。10份慰问品之间形成9个空，插入5个板，即将10份慰问品分成6份，共有 ＝126种分配方法。故选B。

【难度】★★

【厚积薄发】

将n个无差别元素分给m人，且每人至少有一个元素，对其进行分配时，在元素之间的空位中插入“挡板”进行分组，每一种插板方法对应一种分配方法，即有 种分配方法。

如果题目要求可以有0个元素，可以每人先“借”1个；如果题目要求每人至少有n（n＞1）个元素，可以先给每人分n－1个元素。

例 7：（2009·广西）16支球队分两组，每组打单循环赛，共需打（ ）场比赛。

A.16

B.56

C.64

D.100

【答案】B

【解析】16支球队分两组，每组8对，则每组需打 场单循环赛，即一共28×2＝56场。故选B。

【难度】★★

【临阵锦囊】

淘汰赛所需场次

（1）仅需决出冠亚军，比赛场次为（N－1）场；（2）需决出第1、2、3、4名，比赛场次为N场。（N为参加比赛的总人数或总队数）

循环赛所需场次

（1）单循环（任意两个队有一场比赛），比赛场次为 场；（2）双循环（任意两个队有两场比赛），比赛场次为 场。（N为参加比赛的总人数或总队数）

例 8：（2011·浙江）四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？（ ）

A.6种

B.9种

C.12种

D.15种

【答案】B

【解析】根据错位重排公式可知，不同的尝法共有T ₄ ＝9种。故选B。

【难度】★★★

【临阵锦囊】

若将N个元素重新排列，使每个元素都不在自己的位置上，可能的方法数记为T _n ，则T ₁ ＝0，T ₂ ＝1，T ₃ ＝2，T ₄ ＝9，T ₅ ＝44，T ₆ ＝265。

（二）概率问题

【核心知识】

（1）等可能事件概率

如果试验中可能出现的结果有n个，而事件A包含的结果有m个，那么事件A发生的概率P（A）＝ 。

（2）条件概率

条件概率就是在事件A发生的前提下，事件B发生的概率，记为P（B｜A），且P（B｜A）＝ 。在解答概率问题时，经常需要用到条件概率的变式，即P（A∩B）

＝P（B｜A）×P（A），P（A）＝ 。

（3）对立事件概率

件A发生的概率与事件A不发生的概率满足P（A）＋P（A－事）＝1。对于一些较复杂的概率问题，可以考虑对立事件间接求解。

【真题精析】

例 1：（2013·浙江A、B卷）将自然数1～100分别写在完全相同的100张卡片上，然后打乱卡片，先后随机取出4张，问这4张先后取出的卡片上的数字呈增序的几率是多少？（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】4张卡片的顺序有 ＝24种，其中只有1种为增序，故概率为 。

【难度】★★

例 2：（2015·上半年联考浙江卷）某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80％的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？（ ）

A.0.768

B.0.800

C.0.896

D.0.924

【答案】C

【解析】如果甲在第一局输掉比赛，则后两场必须全部赢球，才能赢得比赛，概率为0.2×0.8×0.8；如果甲在第一场赢得比赛，第二场输掉比赛，则最后一场必须赢得比赛，才能获胜，概率为0.8×0.2×0.8；如果甲在前两场都赢得比赛，则获胜的概率为0.8×0.8。故甲获胜的概率为0.2×0.8×0.8＋0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8＝0.896。故选C。

【难度】★★★

例 3：（2012·天津）设某地区某日下雪的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雪的概率为 。某人早晨起床后，当他看到室外刮风时，则在下雪的概率为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】根据 条件概率 公式，当他看到室外刮风时，则在下雪的概率为 ＝ ＝ 。

【难度】★★★

例 4：（2011·上半年联考）小王开车上班需经过4个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为0.1、0.2、0.25、0.4，则他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是（ ）

A.0.998

B.0.989

C.0.988

D.0.899

【答案】A

【解析】全是红灯与至少有一处绿灯为 对立事件 。4个路口均遇到红灯的概率为0.1×0.2×0.25×0.4＝0.002，故4个路口至少有一处遇到绿灯的概率为1－0.002＝0.998。故选A。

【难度】★★

例 5：（2015·国考）某单位有50人，男女性别比为3∶2，其中有15人未入党。如从中任选1人，则此人为男性党员的概率最大为多少？（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】该单位有男性50÷（3＋2）×3＝30人，党员50－15＝35人，要使男性党员概率最大，应使30名男性都为党员，此时任选一人为男性党员的概率为30÷50＝ 。故选A。

【难度】★★★

（三）容斥原理

【核心知识】

容斥原理是一种计数方法，其基本思想是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。一般情况下，涉及求解多集合元素个数的题目都需要用到容斥原理，它的求解方法有公式法和文氏图法。

（1）公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。

两集合：|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|；

三集合：|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|。

（2）文氏图（集合关系图）法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。

两集合：

三集合：

从公式中可以看出，三集合的容斥原理问题涉及的数量关系较复杂，直接用公式易出错，建议在解答容斥原理问题时都画文氏图，再结合公式法求解。

【真题精析】

例 1：（2014·广东）某地民政部门对当地民间组织进行摸底调查，发现40％的民间组织有25人以上，20个民间组织有50人以上规模，80％的民间组织不足50人，人员规模在25人以上但不足50人的民间组织数量有（ ）个。

A.20

B.40

C.60

D.80

【答案】A

【解析】25人以上但不足50人的民间组织占80％＋40％－100％＝20％，则50人以上规模的民间组织占40％－20％＝20％；根据已知有20个，故民间组织总数为20÷20％＝100个，因此25人以上但不足50人的民间组织有100×20％＝20个。

【难度】★★★

例 2：（2014·浙江A、B卷）某小区有40％的住户订阅日报，有15％的住户同时订阅日报和时报，至少有75％的住户至少订阅两种报纸中的一种，问订阅时报的比例至少为多少？（ ）

A.35％

B.50％

C.55％

D.60％

【答案】B

【解析】要使订阅时报的比例最小，应使至少订阅两种报纸中的一种的比例取最小值75％，故订阅时报的比例至少为75％＋15％－40％＝50％。故选B。

【难度】★★

例 3：（2015·上半年联考浙江卷）有135人参加某单位的招聘，31人有英语证书和普通话证书，37人有英语证书和计算机证书，16人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试？（ ）

A.50人

B.51人

C.52人

D.53人

【答案】D

【解析】根据题意可知，总人数（135）＝只有一种证书的人＋31＋37＋16－2×有三种证书的人，得到只有一种证书的人＝51＋2×有三种证书的人。而三种证书的最少有1人，故只有一种证书的最少有53人。故选D。

【难度】★★★

例 4：（2015·国考）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90％。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用。问这次调查共发出了多少份试卷？（ ）

A.310

B.360

C.390

D.410

【答案】D

【解析】共发出问卷（179＋146＋246－115×2－24＋52）÷90％＝410人。故选D。

【难度】★★★

例 5：（2012·上半年联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可报考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位的报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为（ ）

A.7人

B.8人

C.5人

D.6人

【答案】A

【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x人，由“每人至多可报考两个职位”可知无人同时报考三个职位，则报名情况如图所示，根据容斥原理可得，22＋16＋25－8－6－x＝42，解得x＝7。

【难度】★★

例 6：（2012·安徽）社区活动中心有40名会员，全部由老人和儿童组成。第一次社区活动组织全体老年会员参加，第二次活动组织全体女性成员参加。结果共有12人两次活动全部参加，6人两次活动全未参加。已知老人与儿童的男女比例相同，且老人数量多于儿童。问社区活动中心的会员内，老人、儿童各多少名？（ ）

A.30名／10名B.18名／22名C.28名／12名D.25名／15名

【答案】A

【解析】如图所示，老人且女性成员有12人，儿童且男性成员有6人，设老人且男性成员有x人，则儿童且女性成员有40－12－6－x＝22－x人。根据老人与儿童的男女比例相同，有 ，解得x ₁ ＝18，x ₂ ＝4（不满足“老人数量多于儿童”，舍），故老人有12＋18＝30名。故选A。

【难度】★★★

（四）抽屉原理

【核心知识】

第一抽屉原理（解决至少问题）

把多于 m × n 个物体任意放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有（ m ＋1）个或（ n ＋1）个以上的物体。

第二抽屉原理（解决至多问题）

把（ m × n －1）个物体任意放入 n 个抽屉里，其中必有一个抽屉里至多有（ m －1）个物体。

在数学运算部分，大多数试题考查考生对第一抽屉原理的理解和应用，真正需要构造抽屉的题目非常少，考生只需遵循最差原理求解即可。一般当题目中出现“至少……才能保证……”的字句时，优先考虑使用抽屉原理。

【真题精析】

例 1：（2014·上半年联考安徽卷）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？（ ）

A.11

B.15

C.18

D.21

【答案】A

【解析】分三种情况：①3颗玻璃珠的颜色均相同，有3种组合；②3颗玻璃珠的颜色有两颗相同，有 ＝6种组合；③3颗玻璃珠的颜色均不相同，有1种组合。因此共有3＋6＋1＝10种颜色组合，故至少要摸出10＋1＝11组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的。

【难度】★★

例 2：（2012·浙江）有编号为1～13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。问至少摸出多少张，就可保证一定有3张卡片编号相连？（ ）

A.27张

B.29张

C.33张

D.37张

【答案】D

【解析】最差的情况，所取的卡片都是两张卡片编号相连，即编号为1，2，4，5，7，8，10，11，13的卡片各抽出了4张，共36张，此时再任意抽出一张就能保证一定有三张卡片编号相连，故最少要摸出37张。

【难度】★★★

例 3：（2013·国考）某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？（ ）

A.17

B.21

C.25

D.29

【答案】C

【解析】每位党员能参加的课程有6种组合，要满足无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同，根据抽屉原理，至少有6×（5－1）＋1＝25名党员。故选C。

【难度】★★★

例 4：（2010·浙江）建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢足球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？（ ）

A.20人B.30人C.40人D.50人

【答案】B

【解析】根据题意，不喜欢乒乓球的有1600－1180＝420人，不喜欢羽毛球的有1600－1360＝240人，不喜欢篮球的有1600－1250＝350人，不喜欢足球的有1600－1040＝560人。考虑最坏情况， 即不喜欢任意一项运动的人尽可能不重复 ，共计420＋240＋350＋560＝1570人，则同时喜欢这四项运动的至少有1600－1570＝30人。故选B。

【难度】★★★

四、进程问题

相对位置或完成进度随着时间的变化而变化的问题，统称为进程问题，主要包括行程问题和工程问题。

（一）行程问题

【核心知识】

（1）初等行程

初等行程问题主要涉及一个物体运动的路程、时间、速度三者之间的关系，其基本公式为：

路程＝速度×时间

（2）相遇追及

相遇追及问题是行程问题的经典类型，是研究两个及两个以上物体运动的路程、速度和时间之间的关系。相向而行为相遇问题，同向而行为追及问题，其基本公式为：

相遇路程＝速度和×相遇时间

追及路程＝速度差×追及时间

需要特别强调追及问题中的钟表问题，其主要研究分针和时针在表盘（环形跑道）上

的追及问题，“度数”即“路程”，其中，时针速度＝0.5度／分，分针速度＝6度／分。

（3）流水行船

受外力（水、风等）影响，往、返速度不同，形成经典的行船问题。其基本公式为：

顺水速度＝船速＋水速

逆水速度＝船速－水速

船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

解答行程问题时，常常用到基本公式的变式，并且一般是借助于方程法进行求解。对于复杂的行程问题，正确画出行程图往往是解题的关键。

【真题精析】

例 1：（2013·浙江A、B卷）甲、乙两地相距210公里，a、b两辆汽车分别从甲、乙两地同时相向出发并连续往返于两地。从甲地出发的a汽车的速度为90公里／小时，从乙地出发的b汽车的速度为120公里／小时。问a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇时，b汽车共行驶了多少公里？（ ）

A.560公里

B.600公里

C.620公里

D.650公里

【答案】B

【解析】a汽车第二次从甲地出发后再次与b汽车相遇时两车一共走了全程的5倍。故b汽车共行驶了210×5× ＝600公里。

【难度】★★

例 2：（2013·浙江A、B卷）3点19分时，时钟上的时针与分针所构成的锐角为几度？（ ）

A.14度

B.14.5度

C.15度

D.15.5度

【答案】B

【解析】3点整时，时针和分针成90度，时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，19分后，两针角度差改变19×（6－0.5）＝104.5度，即3点19分时，两针所构成的锐角为104.5－90＝14.5度。

【难度】★★

例 3：（2012·上海A、B类）一艘船从A地行驶到B地需要5天，而该船从B地行驶到A地则需要7天。假设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，那么船从A地漂流到B地需要（ ）天。

A.40

B.35

C.12

D.2

【答案】B

【解析】设A地到B地距离为“1”，则由“水流速度＝（顺水速度－逆水速度）÷2”可得水流速度为（ － ）÷2＝ ，故船从A地漂流到B地需要1÷ ＝35天。故选B。

【难度】★★

例 4：（2014·上半年联考安徽卷）环形跑道长400米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。已知三人的速度分别是1米／秒、3米／秒和6米／秒，问小王第三次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】B

【解析】相同时间内，三人的路程比为1∶3∶6，小王第3次超越小张时，小王比小张多行3圈，故此时小王行了3÷（3－1）×3＝4.5圈，小刘行了4.5÷3×6＝9圈，故小刘超越了小王9－4.5＝4.5圈，即超越了4次。

【难度】★★

例 5：（2013·上半年联考）小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲、乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？（ ）

A.1.5

B.2

C.2.5

D.3

【答案】B

【解析】根据题意可知，第一次相遇时，两人共走了2个全程，第二次相遇时，两人共走了4个全程，如图所示，故两次相遇的时间比为2∶1。设第一次相遇时小王走的路程为a，则第二次相遇时小王走的总路程是2a，因为相遇是同一地点，所以全程是1.5a。第二次相遇的时候总路程为4×1.5a＝6a，其中小王走了2a，小张走了4a，所以小张的速度是小王的2倍。

【难度】★★★

例 6：（2015·上半年联考浙江卷）在一次航海模型展示活动中，甲、乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数是（ ）

A.9次B.10次C.11次D.12次

【答案】D

【解析】在12分钟内，甲款模型航行60×12÷72＝10个全程，乙款模型航行60×12÷60＝12个全程，一共走了10＋12＝22个全程，相差12－10＝2个全程。在相向运动中，迎面相遇1次共走1个全程，迎面相遇2次共走3个全程……迎面相遇11次共走21个全程，迎面相遇12次共走23个全程。所以迎面相遇了11次。在相向运动中，追及相遇1次相差1个全程，追及相遇2次相差3个全程。所以追及相遇了1次。因此，共相遇11＋1＝12次。故选D。

【难度】★★★

例 7：（2012·上半年联考）四名运动员参加4×100米接力，他们100米的速度分别为v ₁ 、v ₂ 、v ₃ 、v ₄ ，不考虑其他影响因素，他们跑400米全程的平均速度为（ ）

A. ＋ ＋ ＋

B.

C. （v ₁ ＋v ₂ ＋v ₃ ＋v ₄ ）

D.

【答案】B

【解析】根据题意，他们跑400米全程的平均速度为总路程÷总时间，而总时间为四人各跑100米所需时间的和，故他们跑400米全程的平均速度为

【难度】★★

例 8：（2012·下半年联考）某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需35秒，而轿车过桥的时间是动车的3倍。已知该动车的速度是每秒70米，轿车的速度是每秒21米，这列动车的车身长是（轿车车身长忽略不计）（ ）

A.120米

B.122.5元

C.240元

D.245元

【答案】D

【解析】设动车的车身长x米，根据桥的长度一定，有70×35－x＝21×（35×3），解得x＝245。

【难度】★★

（二）工程问题

【核心知识】

（1）常规工程问题

常规工程问题主要研究的是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系，即：

工作总量＝工作效率×工作时间。

解答此类问题时，往往以工作总量一定作为解题的突破口，利用方程法进行求解，一般设工作总量为“1”或几个效率（时间等）的公倍数。

（2）工程问题变式——牛吃草问题

牛吃草问题可以看作工程总量随时间变化的工程问题，有两个关键量：草原原有草量和草的生产速度，其常用的求解方法有两种：列方程法和公式代入法。

基本公式：

①草的生长速度＝ ；

②草原原有草量＝（牛数－草的生长速度）×吃草时间。

合理开放火车站售票口问题，合理调度运输车辆运送仓库货物问题，合理开放水池的进水管或出水管问题，都是“牛吃草问题”。

【真题精析】

例 1：（2015·国考）某农场有36台收割机，要收割完所有的麦子需要14天时间。现收割了7天后增加4台收割机，并通过技术改造使每台机器的效率提升5％，问收割完所有的麦子还需要几天？（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】D

【解析】总工作量为36×14，7天后剩余工作量为36×（14－7），割完所有麦子还需要36×（14－7）÷［（36＋4）×（1＋5％）］＝6天。故选D。

【难度】★★

例 2：（2014·浙江A、B卷）夏天干旱，甲、乙两家请人来挖井。阴天时，甲家挖井需要8天，乙家需要10天；晴天时，甲家工作效率下降40％，乙家工作效率下降20％。两家同时开工并同时挖好井，问甲家挖了几个晴天？（ ）

A.2天

B.8天

C.10天

D.12天

【答案】C

【解析】阴天时，甲家效率为 ，乙家效率为 ；晴天时，甲家效率为 ×（1－40％）＝ ，乙家效率为 ×（1－20％）＝ 。设晴天有x天，阴天有y天，则有 ＋ ＝ ＋ ＝1，解得x＝10。故选C。

【难度】★★★

例 3：（2016·联考）A工程队的效率是B工程队的2倍，某工程交给两队共同完成需要6天。如果两队的工作效率均提高一倍，且B队中途休息了1天，问要保证工程按原来的时间完成，A队中途最多可以休息几天？（ ）

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】A

【解析】A工程队的效率是B工程队的2倍，可以赋值A工程队效率为2，B工程队效率为1，此时工程总量为6×（2＋1）＝18。如果两队的工作效率均提高一倍，A工程队效率即为2×2＝4，B工程队效率为2×1＝2。设A工程队休息t天，则有4×（6－t）＋2×（6－1）＝18，解得t＝4。

【难度】★★★

例 4：（2014·上半年联考湖南卷）药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉，厂长决定从上午10点开始，增加若干台手工研磨器进行辅助作业。他估算如果增加2台，可以晚上8点完成。如果增加8台，可以下午6点完成。问如果希望在下午3点完成。需要增加多少台手工研磨器？（ ）

A.20

B.24

C.26

D.32

【答案】C

【解析】从上午10点开始，晚上8点完成即工作10小时，下午6点完成即工作8小时，下午3点完成即工作5小时。假设1台手工研磨器1小时完成研磨量为1，则药厂的电动研磨器每小时可完成研磨量为（8×8－2×10）÷（10－8）＝22，要在下午3点完成，需要手工研磨器（22＋8）×8÷5－22＝26台。

【难度】★★★

例 5：（2013·国考）某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）（ ）

A.25

B.30

C.35

D.40

【答案】B

【解析】河沙每月的沉积速度为（60×10－80×6）÷（10－6）＝30，即每月沉积的河沙为30人开采1个月的河沙量。故要保证不枯竭，最多可供30人进行不间断的开采。故选B。

【难度】★★★

例 6：（2013·山东）有甲、乙两个水池，其中甲水池中一直有水注入。如果分别安排8台抽水机去抽空甲和乙水池，则分别需要16小时和4小时，如给甲水池加5台，则可以提前10小时抽空。若共安排20台抽水机，则为了保证两个水池能同时抽空，在甲水池工作的抽水机应该比乙水池多多少台？（ ）

A.4

B.6

C.8

D.10

【答案】C

【解析一】甲水池属于牛吃草问题，8台需16小时，13台需6小时，故注水速度为（8×16－13×6）÷（16－6）＝5，原有水量为（8－5）×16＝48。乙水池8台需4小时，原有水量为8×4＝32。设甲需x台，乙需（20－x）台同时抽空，则有48÷（x－5）＝32÷（20－x），解得x＝14，故甲比乙多14－（20－14）＝8台。故选C。

【解析二】代入法。甲水池属于牛吃草问题，8台需16小时，13台需6小时。乙水池8台需4小时。将各选项代入，A项，甲水池12台，乙水池8台，故乙水池时间为4小时，而甲水池12台所用时间一定大于6小时，排除；B项，甲水池13台，乙水池7台，故甲水池时间为6小时，乙水池时间8×4÷7≠6小时，排除；D项，甲水池15台，乙水池5台，故乙水池需要8×4÷5＝6.4小时，而甲水池15台所用时间一定小于6小时，排除。故选C。

【难度】★★★★

五、比例问题

比例问题是行测数学运算部分必然会涉及的问题，而且是许多问题（例如工程问题）的基础，需引起高度重视。

对于比例问题首先要明确的是基准量，即在谁的基础上多或者少，例如甲与乙的比为1∶2，则甲比乙少 ＝ 或50％，乙比甲多 ＝1倍或100％。明确基准量是解决比例问题的基础。

（一）常规比例问题

【核心知识】

比例的基本性质：

性质1：若 a ∶ b ＝ c ∶ d ，则 a × d ＝ b × c （内项积等于外项积）；

性质2：若 a ∶ b ＝ c ∶ d ，则（ a ＋ b ）∶（ a － b ）＝（ c ＋ d ）∶（ c － d ）；

性质3：若 a ∶ b ＝ c ∶ d ，则（ a ＋ kc ）∶（ b ＋ kd ）＝ a ∶ b ＝ c ∶ d （ k 为常数）。

【真题精析】

例 1：（2014·上半年联考安徽卷）某有色金属公司四种主要有色金属总产量的 为铝， 为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的 ，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨？（ ）

A.600

B.800

C.1000

D.1200

【答案】A

【解析】镍的产量占总产量的（ ＋ ）× ＝ ，铅的产量占总产量的1－ － － ＝ ，公司镍的产量为600÷（ － ）× ＝600吨。

【难度】★★

例 2：（2015·国考）某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙3个不同的工厂实习，去甲厂实习的毕业生占毕业生总数的32％，去乙厂实习的毕业生比甲厂少6人，且占毕业生总数的24％，问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数（ ）

A.少9人

B.多9人

C.少6人

D.多6人

【答案】B

【解析】设毕业生总数为x，则去甲厂实习的有32％x，去乙厂实习的有32％x－6，占24％，则有32％x－6＝24％，解得x＝6÷8％。去丙厂实习的为（1－32％－24％）x＝44％x，则丙厂比甲厂多（44％－32％）x＝12％×6÷8％＝9人。故选B。

【难度】★★

例 3：（2010·浙江）有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟。当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分时，实际上是什么时间？（ ）

A.17点50分

B.18点10分

C.20点04分

D.20点24分

【答案】D

【解析】根据题意，怪钟每昼夜为100×10＝1000分钟，标准时钟每昼夜为60×24＝1440分钟。怪钟从显示5点到显示8点50分走了3×100＋50＝350分钟，设此时间段标准时钟在12点后走了x分钟，则有 ＝ ，解得x＝504，由于504÷60＝8……24，即标准时钟走了8小时24分钟，故此时的标准时间为20点24分。故选D。

【难度】★★★

例 4：（2013·上海A、B卷）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车30元／辆、中型车15元／辆、小型车10元／辆。某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是5∶6，中型车与小型车的数量比是4∶11，小型车的通行费总数比大型车的多270元，这天的收费总额是（ ）

A.7280元

B.7290元

C.7300元

D.7350元

【答案】B

【解析】根据题意可得，三种车的数量比为大型∶中型∶小型＝10∶12∶33，收费总额比为大型∶中型∶小型＝10×30∶12×15∶33×10＝10∶6∶11，故三种车的收费总额为270÷（11－10）×（10＋6＋11）＝7290元（或直接根据收费总额能被10＋6＋11＝27整除）。

【难度】★★★

例 5：（2015·国考）甲、乙、丙、丁四人共同投资一个项目，已知甲的投资额比乙、丙二人的投资额之和高20％，丙的投资额是丁的60％，总投资额比项目的资金需求高 。后来丁因故临时撤资，剩下三人的投资额之和比项目资金需求低 。则乙的投资额是项目资金需求的（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】设总需求为1，则由题干可知四人总投资为1＋ ＝ ；甲＝（乙＋丙）×（1＋20％），丙＝丁×60％，甲＋乙＋丙＋丁＝ ，甲＋乙＋丙＝（1－ ），可求出乙 =。

【难度】★★★

（二）浓度问题

【核心知识】

浓度问题基本公式：浓度＝ ×100％＝ ×100％。

浓度问题主要解法：

①方程法：适用于关系较复杂的题目，此类题目用列方程法思路较清晰；

②十字交叉图法：适用于关系较清晰的溶液混合题目；

③特殊值法：解决浓度问题的有效方法，根据题目适当假设特值能使计算大大简化。

【真题精析】

例 1：（2013·浙江A、B卷）瓶中装有浓度20％的酒精溶液1000克，现在又分别倒入200克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的溶液浓度变为15％。已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍。那么A种酒精溶液的浓度是多少？（ ）

A.5％

B.6％

C.8％

D.10％

【答案】D

【解析】设A、B两种酒精溶液的浓度分别为2x、x，则有20％×1000＋200×2x＋400x＝（1000＋200＋400）×15％，解得x＝5％，故A种酒精溶液的浓度为10％。

【难度】★★★

例 2：（2014·江苏A类）有甲、乙、丙三种盐水，浓度分别为5％、8％、9％，质量分别为60克、60克、47克，若用这三种盐水配置浓度为7％的盐水100克，则甲种盐水最多可用（ ）

A.49克

B.39克

C.35克

D.50克

【答案】A

【解析】配置7％的盐水时，若5％的盐水使用过多会导致浓度达不到7％，故要使5％的盐水最多，应使9％的盐水尽量多，即用47克9％的盐水，设5％的盐水用x克，则8％的盐水用100－47－x＝53－x克，于是有9％×47＋5％x＋8％（53－x）＝100×7％，解得x＝49。

【难度】★★★

例 3：（2010·浙江）已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4％，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？（ ）

A.3％

B.2.5％

C.2％

D.1.8％

【答案】A

【解析一】本题解题关键点是溶质的质量不变。

溶液浓度为6％时，溶剂∶溶质＝94％∶6％＝47∶3；浓度变为4％时，溶剂∶溶质＝96％∶4％＝24∶1。因为溶质的量不变，所以把溶质的份数化为相同的，分别为47∶3和72∶3，可得溶剂蒸发了72－47＝25份，再加入同样多的水后，溶剂∶溶质＝97∶3，即浓度为 ×100％＝3％。故选A。

【解析二】题干只涉及浓度，没有具体质量，因此可以用特殊值法来计算。

假设加入两次水以后的溶液质量为300，则溶质为12，由此可推出第一次加水以后溶液的质量为12÷6％＝200，即每次加水量为100。第三次加入同样多的水后，溶液的浓度将变为 ×100％＝3％。故选A。

【解析三】十字交叉法

6％的溶液加入一定量的水浓度变为4％，则有：

故6％的溶液与一次加入的水质量之比为4％∶2％＝2∶1，即每2＋1＝3份浓度为4％的溶液加入1份水，浓度变为4％×3÷（3＋1）＝3％。故选A。

【难度】★★★

例 4：（2010·江西）从一瓶浓度为20％的消毒液中倒出 后，加满清水，再倒出 ，又加满清水，此时消毒液的浓度为（ ）

A.7.2％

B.3.2％

C.5.0％

D.4.8％

【答案】A

【解析】此时消毒液的浓度为20％×1－（ ） ₂ ＝7.2％。故选A。

【难度】★★

【临阵锦囊】

多次混合问题公式

设原有盐水的质量为M ₀ 克，浓度为c ₀ ：

先倒出M克盐水，再倒入M克清水，如此重复n次后，溶液浓度c _n 为：

先倒入M克清水，再倒出M克盐水，如此重复n次后，溶液浓度c _n 为：

（三）经济相关问题

【核心知识】

成本 ：买入货物的价格；

售价 ：卖出货物的价格；

利润 ＝售价－成本；

利润率 ＝ ×100％；

打折 ：打七折，即按原售价的70％销售，打八五折，即按原售价的85％销售。

复利计算公式 ：本息和＝本金×（1＋利率） ⁿ ；

不计复利公式 ：本息和＝本金×（1＋n×利率）。

注：以上两式中利率为月利率时，n为月数；为年利率时，n为年数。

【真题精析】

例 1：（2014·上海B卷）小张投资6万元买了甲、乙两个股票，一段时间后股票上涨，甲股票涨了45％，乙股票涨了40％，小张看行情好就想再等等。没想到后来股票下跌，甲股票跌了20％，乙股票跌了10％，小张马上卖出所有股票，最终获利11000元（不计交易费用）。那么在这两个股票中，小张投入较多的股票投资了（ ）元。

A.40000

B.42000

C.44000

D.46000

【答案】D

【解析】设小张投资甲股票x万元，则投资乙股票6－x万元，于是有（1＋45％）（1－20％）x＋（1＋40％）（1－10％）（6－x）＝6＋1.1，解得x＝4.6，故投资较多的是46000元。

【难度】★★★

例 2：（2014·浙江A、B卷）商店进了100件同样的衣服，售价定为进价的150％，卖了一段时间后价格下降20％继续销售，换季时剩下的衣服按照售价的一半处理，最后这批衣服赢利超过25％。如果处理的衣服不少于20件，问至少有多少件衣服是按照原售价卖出的？（ ）

A.7件

B.14件

C.34件

D.47件

【答案】D

【解析】设每件衣服的进价为1，则售价为1×150％＝1.5，卖了一段时间后价格下降为1.5×（1－20％）＝1.2，换季时处理价为1.5÷2＝0.75。设三个价格的衣服件数分别为x、y、z件，则有（1.5－1）x＋（1.2－1）y＋（0.75－1）z＞100×1×25％，且x＋y＋z＝100，z≥20。当z＝20时，0.5x＋0.2y＞30，x＋y＝80，即0.5x＋0.2（80－x）＞30，解得x＞46 ，且z取越大，x取越大，故x最小应为47。故选D。

【难度】★★★★

例 3：（2014·江苏C类）超市经理为某商品准备了两种促销方案，第一种是原价打七折；第二种是买二件赠一件同样商品。经计算，两种方案每件商品利润相差0.1元。若按照第一种促销方案，则100元可买该商品件数最大值是（ ）

A.33

B.47

C.49

D.50

【答案】B

【解析】设该商品原价为x元，则有0.7x－2x÷3＝0.1，解得x＝3。因此，按照第一种促销方案，每件0.7×3＝2.1元，则100元可买该商品件数最大值是［100÷2.1］＝47（“［］”表示取整）。

【难度】★★★

例 4：（2013·北京）两个型号的电视定价都是4000元。其中购买A型号电视可获得350元的国家节能补贴。购买B型号电视无法获得节能补贴，但可以参加“每满300元减20元”的促销活动。问A型号电视的实际成交价格比B型号电视（ ）

A.高50元

B.低50元

C.高90元

D.低90元

【答案】D

【解析】A型号电视可节省350元，B型号电视可节省［4000÷300］×20＝260元，故A型号电视的实际成交价格比B型号电视低350－260＝90元。

【难度】★★

例 5：（2012·天津）某人将8000元钱存入银行，存期为3年，到期时他将本金和利息共计9824元取回，则此种储蓄的年利率是（按利息的20％收利息税）（ ）

A.7.5％B.8.5％C.9％D.9.5％

【答案】D

【解析】交利息税之前的利息共（9824－8000）÷（1－20％）＝2280元，故年利率为2280÷3÷8000＝9.5％。

【难度】★★★

六、公式模型

行测中数学运算部分有些题目的解法有固定的公式或口诀，熟记并灵活运用不仅能增加准确率，还能提高解题速度，本部分主要包括鸡兔同笼、植树问题、方阵问题和日期星期四大公式模型。

（一）鸡兔同笼

【核心知识】

鸡兔同笼问题最早出现在《孙子算经》中，其记载有：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”此类问题是已知各部分的平均值和总量，求总体中各部分的数值，其实质就是加权平均问题。常见解法包括方程法，公式法和十字交叉图法。

鸡兔同笼公式： ＝第二部分的个数

【真题精析】

例 1：（2009·浙江A、B卷）有大、小两个瓶，大瓶可以装水5千克，小瓶可装水1千克，现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个？（ ）

A.26

B.28

C.30

D.32

【答案】B

【解析一】设有大瓶x个，小瓶（52－x）个，则根据“现在有100千克水共装了52瓶”可列方程5x＋（52－x）×1＝100，解得x＝12，故小瓶的数量为52－12＝40个。大瓶和小瓶相差40－12＝28个。故选B。

【解析二】根据题意，由鸡兔同笼公式可知，小瓶的数量＝

＝ ＝40个，故大瓶的数量为52－40＝12个，两者相差40－12＝28个。故选B。

【解析三】平均每个瓶装 ＝2 千克水，采用十字交叉图求解，则有：

则大、小瓶个数之比为 ∶ ＝3∶10，故大瓶和小瓶相差52×1 ＝28个。因此，选B。

【难度】★★

例 2：（2013·山东）某单位举办象棋比赛，规则为胜一场得4分，负一场得－1分，平一场不得分。一轮比赛中参赛人员共100人，两两配对后分别比赛，所有人的总得分为126分。问该轮比赛中平局有多少场？（ ）

A.4

B.8

C.12

D.16

【答案】B

【解析】共100÷2＝50场比赛，一场胜局产生4－1＝3分，一场平局产生0分，根据鸡兔同笼公式可知，平局有（50×3－126）÷（3－0）＝8场。故选B。

【难度】★★

例 3：（2013·下半年联考）某公司组织员工到外地旅游时租了几辆同样的大巴车，若每辆车坐30人则有4个人上不了车，若每辆车坐35人则最后一辆车还有21个空座。问该公司共有员工多少人？（ ）

A.154

B.162

C.178

D.186

【答案】A

【解析】根据盈亏问题公式可知，共有大巴车（4＋21）÷（35－30）＝5辆，共有员工30×5＋4＝154人。故选A。

【难度】★★

【临阵锦囊】

盈亏问题

盈亏问题是鸡兔同笼问题的一种变式，解决的关键在于弄清两次分配时的盈亏情况，常用公式有：

一次盈，一次亏：（盈＋亏）÷（两次每份分配数之差）＝份数；

两次盈：（大盈－小盈）÷（两次每份分配数之差）＝份数；

两次亏：（大亏－小亏）÷（两次每份分配数之差）＝份数。

（二）植树问题

【核心知识】

植树问题研究的是总长、点数与间距的关系，还包括上楼、锯木头、敲钟、过河等问题。

常用单边植树关系式有

双边植树问题的棵数要在单边植树基础上乘以2。

【真题精析】

例 1：（2011·新疆）某小区两栋楼之间间距为375米，现在要在两栋楼之间种74棵树，请问第5棵树到第26棵树之间的距离是多少米？（ ）

A.90

B.95

C.100

D.105

【答案】D

【解析】相邻两棵树之间的间距为375÷（74＋1）＝5米，故第5棵树到第26棵树之间的距离是5×（26－5）＝105米。故选D。

【难度】★★

例 2：（2013·广东三卷）小陈家住在5楼，他每天上、下楼各一次，共需走120级楼梯。后来，小陈家搬到同一栋楼的8楼，如果每层的楼梯级数相同，则把搬家后每天上、下楼各一次共需走楼梯（ ）级。

A.168

B.192

C.210

D.240

【答案】C

【解析】从1楼到5楼，有120÷2＝60级楼梯，相邻两层楼之间有60÷（5－1）＝15级楼梯，从1楼到8楼，有15×（8－1）＝105级楼梯，上、下楼各一次共需走楼梯105×2＝210级楼梯。

【难度】★★

（三）方阵问题

【核心知识】

方阵问题研究的是 N × N 方阵各边、各层元素数与总元素数的关系，其基本关系有：

①方阵最外层元素个数为4（ N －1）；

②方阵相邻两层元素个数差为8（N为奇数的实心方阵，最内两层元素个数差为7）；

③实心方阵总元素个数＝（最外层每边元素个数） ² ；

④对于空心方阵，相当于一个大实心方阵中间去掉一个小实心方阵，所以其方阵层数也是解题的关键，故其总元素个数为：

（最外层每边元素个数） ² －（最外层每边元素个数－2×层数） ²

【真题精析】

例 1：（2012·广东）有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块。将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上；最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方形地面上的绿色瓷砖共有（ ）块。

A.180

B.196

C.210

D.220

【答案】D

【解析】瓷砖形成一个方阵，方阵最外层每边元素数为 400＝20块，故方阵共有20÷2＝10层，最外层瓷砖总数＝4×（20－1）＝76块，故整个方阵中绿色瓷砖总数为76＋60＋44＋28＋12＝220块。

【难度】★★★

例 2：（2011·安徽）某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层人数是108人，则这个学校共有多少名学生？（ ）

A.724

B.744

C.764

D.784

【答案】D

【解析】根据实心方阵总元素个数＝（最外层每边元素个数） ² ，得这个学校共有（108÷4＋1） ² ＝784名学生。故选D。

【难度】★★

（四）日期星期

【核心知识】

日期星期问题研究的是日期与星期间的关系，重点在于闰年和星期数的判断，口诀如下：

① 四年一闰 ， 百年不闰 ， 四百年再闰 ， 三千两百年不闰 。

年数能被4整除但不能被100整除的为闰年，年数能被100整除但不能被400整除的为平年，年数能被400整除但不能被3200整除的是闰年。

② 过一年加 1， 二月二十九再加 1。

计算星期数时，每经过一整年，星期数就在原来基础上加1，若这段时间内有2月29日则再加1。

③28天不变，相差多少再补算。

每经过一个28天的月份星期数不变，若不为28天则计算多出的天数加到星期数上。

【真题精析】

例 1：（2014·上半年联考安徽卷）从A市到B市的航班每周一、二、三、五各发一班。某年2月最后一天是星期三。问当年从A市到B市的最后一次航班是星期几出发的？（ ）

A.星期一

B.星期二

C.星期三

D.星期五

【答案】A

【解析】3月到12月共有365－31－28＝306天（或366－31－29＝306天），306÷7＝43……5，故当年最后一天的星期数为3＋5－7＝1，因此，当年最后一次航班是星期一出发的。

【难度】★★

例 2：（2014·上海A、B卷）甲每工作5天休息周六、周日2天，法定节假日如非周六、周日也要加班。已知甲某年休息了106天，那么他下一年12月的第一个休息日是_____。

A.12月1日

B.12月2日

C.12月3日

D.12月4日

【答案】A

【解析】365÷7＝52……1，366÷7＝52……2，52个星期中有周六周日共52×2＝104天，现已知甲休息了106天，由此可判断该年为闰年，且多出的2天为周六周日，可推出该年的最后两天为周六和周日。下一年为平年，1月1日为周一，前11个月有365－31＝334天，334÷7＝47……5，故11月最后一天是周五，12月1日为周六，为休息日。故选A。

【难度】★★★

例 3：（2014·江苏C类）某年的3月份共有5个星期三，并且第一天不是星期一，最后一天不是星期五，则该年的3月15日是（ ）

A.星期二

B.星期三

C.星期四

D.星期五

【答案】A

【解析】已知3月份共有5个星期三，即说明最后三天中有一天是星期三（前28天构成完整的四个星期）。当第一天是星期一、二、三时，最后三天有一天是星期三，且最后三天分别为一、二、三，二、三、四，三、四、五。又根据已知，第一天不是星期一，最后一天不是星期五，故只能是第一天是星期二，则15号是星期二。

【难度】★★★

（五）年龄问题

【核心知识】

年龄问题的主要特点是：随着时间的推移，两个人的年龄增加相等的数量，亦即年龄差始终不变，而两个人的年龄倍数关系会逐渐变小。

解题方法：

（1）方程法：根据年龄差不变或题目中的其他已知等量关系建立方程。

（2）选项代入法：把选项代入，符合题中的所有条件，则为正确选项。

【真题精析】

例 1：（2015·国考）小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁，比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁？（ ）

A.2532

B.2730

C.3027

D.3225

【答案】B

【解析】设小李x岁，则小李的弟弟x－2岁，设小王y岁，则小王的哥哥y＋2岁，根据小王的哥哥比小李大5岁，有y＋2－x＝5，解得y－x＝3，即小王比小李大3岁，只有B项符合。故选B。

【难度】★★★

例 2：（2014·上半年联考湖南卷）一家四口人的年龄之和为149岁，其中外公年龄、母亲年龄及两人的年龄之和都是平方数，而父亲7年前的年龄正好是孩子年龄的6倍，问外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在几年前？（ ）

A.2

B.4

C.6

D.8

【答案】D

【解析】根据题意，两个平方数相加仍为平方数，可推出外公年龄为64岁，母亲年龄为36岁，则父亲和孩子的年龄之和为149－64－36＝49岁，7年前孩子年龄为（49－7×2）÷（6＋1）＝5岁，所以今年孩子7＋5＝12岁。将各选项从小到大代入验证，可知选D（8年前，外公56岁，孩子4岁，是整数倍）。

【难度】★★★

七、逻辑分析

近年来，行测中的数学运算部分经常出现一些逻辑性较强的题目，这些题目需要考生在数学运算的同时进行一定的逻辑推理才能解决。根据解题思路的不同，这类题目大致可分为推理问题、归纳问题和统筹问题。

（一）推理问题

【核心知识】

数学运算中的推理问题属于数学运算和判断推理的结合，不但要求考生有数据的运算能力，也要求考生分析题目，并找出隐藏在题目文字背后的解题关键的能力。需要考生理清题目中的逻辑关系，然后进行严谨的推理，务必做到每一步都有理有据。

【真题精析】

例 1：（2013·山东）甲、乙两仓库各放有集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库。如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是48个，问甲仓库原来有多少个集装箱？（ ）

A.33

B.36

C.60

D.63

【答案】D

【解析】根据题意，列表如下：

故甲仓库原来有63个集装箱。故选D。

【难度】★★

例 2：（2012·上半年联考）12个啤酒空瓶可以免费换一瓶啤酒，现有101个空瓶，则最多可以喝到的免费啤酒为（ ）

A.10瓶

B.11瓶

C.8瓶

D.9瓶

【答案】D

【解析】根据12个空瓶换1瓶酒，相当于每11个空瓶能喝到1瓶酒，故101个空瓶最多能免费喝到[ ]＝9瓶啤酒。故选D。

【难度】★★

【临阵锦囊】

空瓶换物公式：

（1）若y个空瓶可换1瓶啤酒，买了x瓶啤酒，则最多可以喝z瓶，有z

（2 ）若 y 个空瓶可换1瓶啤酒，喝了 z 瓶啤酒，则至少买了 x 瓶，有 x＝z－[ ]。

例 3：（2013·上半年联考）某三年制普通初中连续六年的在校生人数分别为： X ₁ ， X ₂ ， X ₃ ， X ₄ ， X ₅ ， X ₆ 。假设该校所有学生都能顺利毕业，那么前三年的入学学生总数与后三年的入学学生总数之差为（ ）

A.（ X ₁ ＋ X ₂ ＋ X ₃ ）－（ X ₄ ＋ X ₅ ＋ X ₆ ）

B. X ₁ － X ₄

C.（ X ₃ － X ₁ ）－（ X ₆ － X ₄ ）

D. X ₃ － X ₆

【答案】D

【解析】初中是三年制，故第一年入学的学生就是第三年的三年级，第二年入学的学生就是第三年的二年级，第三年入学的学生即第三年的一年级，即第一、二、三年入学的学生分别就是第三年的一、二、三年级。因此前三年入学的学生即 X ₃ ，同理，后三年入学的学生即 X ₆ ，故前三年与后三年之差是 X ₃ － X ₆ 。

【难度】★★★

例 4：（2014·上海A、B卷）一艘从广州开往大连的货轮，沿途依次在上海、青岛、天津停靠。出发时船上装满有240个集装箱，每次停靠都只装所停靠城市的集装箱，卸下其他城市的集装箱，每个城市的集装箱在沿途停靠的每个港口卸下数量相同，且每次离港时货轮都保持满载。则货轮到达大连时，船上有_____个天津的集装箱。

A.20

B.40

C.60

D.120

【答案】D

【解析】根据题意，在广州装的240个集装箱，在每个城市均卸下240÷4＝60个。在上海卸下60个后，因要保持货轮满载，故在上海装上60个。同理分析，可列表如下：

由此可见，货轮到达大连时，船上有120个天津的集装箱。

【难度】★★★

例 5：（2015·上半年联考浙江卷）野生动物保护机构考察某圈养动物的状态，在 n （ n 为正整数）天中观察到：①有7个不活跃日（一天中有出现不活跃的情况）；②有5个下午活跃；③有6个上午活跃；④当下午不活跃时，上午必活跃。则n等于（ ）

A.10

B.9

C.8

D.7

【答案】B

【解析】根据②，可知有 n －5个下午不活跃，再根据④，可知这n－5天的上午是活跃的；根据③，可知有 n －6个上午不活跃。所以这 n －5天和这n－6天没有同一天的情况，且包括所有不活跃日，则有（ n －5）＋（ n －6）＝7，解得n＝9。故选B。

【难度】★★

（二）归纳问题

【核心知识】

所谓“归纳”，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。数学运算中的归纳问题要求考生从已知条件（个别情况）入手，通过分析总结，发现规律，得出一般性结论，从而找到解题方法。有些题目甚至需要一一分析所有情况。

【真题精析】

例 1：（2014·江苏A、B类）在数列a _n （n＝1，2，…）中，a ₁ ＝1959，a ₂ ＝1995，且从第三项起，每项是它前两项平均的整数部分，则 a _n ＝（ ）

A.1980

B.1981

C.1983

D.1982

【答案】D

【解析】a ₃ ＝［（1959＋1995）÷2］＝1977，a ₄ ＝［（1995＋1977）÷2］＝1986，a ₅ ＝［（1977＋1986）÷2］＝1981，a ₆ ＝［（1986＋1981）÷2］＝1983，a ₇ ＝［（1981＋1983）÷2］＝1982，a ₈ ＝［（1983＋1982）÷2］＝1982，可见从a ₉ 开始往后的每一项都是1982。

【难度】★★★

例 2：（2012·上半年联考）用直线切割一个平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第1条直线将平面分为2块，第2条直线将平面分为4块。第3条直线将平面分成7块，按此规律将平面分为22块需（ ）

A.7条直线

B.8条直线

C.9条直线

D.6条直线

【答案】D

【解析】对于第n条直线，它将被之前的n－1条直线分成n部分，这n部分线段或射线将原来的平面增加n块，所以加入第n条直线后整个平面被分成了1＋1＋2＋3＋…＋n＝ n（n＋1）＋1块，当 n（n＋1）＋1＝22时，解得n＝6，即6条直线即可将平面分为22块。

【难度】★★★★

例 3：（2011·安徽）如图所示为两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1号峰房到8号蜂房，假设只向右方（正右、右上或右下）爬行，则不同的走法有（ ）

A.16种B.18种C.21种D.24种

【答案】C

【解析】蜜蜂从1号爬到5号有1种走法；到2号有2种走法；到6号，可以5→6或2→6，故有1＋2＝3种走法；到3号，可以6→3或2→3，故有3＋2＝5种走法。如图所示，依次分析可知，到8号，有21种走法。故选C。

【难度】★★★

（三）统筹问题

【核心知识】

统筹问题主要研究，一个人或者一些人完成一件事或一系列事，怎样安排才能做到时间最少、路线最近、费用最省或效果最好等等。解决此类问题时，应通过分析题目，从整体上进行把握，通过对恰当的指标的比较、合并、分解或转化，使各部分指标与整体目标相协调，以达到最优效果。

【真题精析】

例 1：（2015·上半年联考浙江卷）某果农要用绳子捆扎甘蔗，有三种规格的绳子可供使用：长绳子1米，每根能捆7根甘蔗；中等长度绳子0.6米，每根能捆5根甘蔗；短绳子0.3米，每根能捆3根甘蔗。果农最后捆扎好了23根甘蔗。则果农总共最少使用多少米的绳子？（ ）

A.2.1米

B.2.4米

C.2.7米

D.2.9米

【答案】B

【解析】根据题意可知，长、中、短三种型号的绳子，捆一根甘蔗所需的长度分别为1／7、0.6／5和0.3／3，故要使所用的绳子最短，应该尽量多使用短绳子。捆扎23根甘蔗，如果全部用短绳子，需要8根，共计0.3×8＝2.4米，此时绳子有剩余。如果使用6根短绳子，1根中绳子，正好捆完23根甘蔗，此时所用的绳子为0.3×6＋0.6×1＝2.4米。故所需绳子的长度为2.4米。因此，选B。

【难度】★★★

例 2：（2015·上半年联考浙江卷）为了国防需要，A基地要运载1480吨的战备物资到1100千米外的B基地。现在A基地只有一架“运9”大型运输机和一列“货运列车”，“运9”速度550千米每小时，载重能力为20吨，“货运列车”速度100千米每小时，运输能力为600吨，那么这批战备物资到达B基地的最短时间为（ ）

A.53小时

B.54小时

C.55小时

D.56小时

【答案】B

【解析】根据题意可知：“运9”大型运输机往返一次需要1100×2÷550＝4小时，可以运输20吨的战备物资；“货运列车”往返一次需要1100×2÷100＝22小时，可以运输600吨的战备物资。现要运输1480吨的战备物资，“货运列车”至少要往返2次，需要22×2＝44小时，这段时间内一架“运9”大型运输机往返44÷4＝11次，共运输20×11＝220吨战备物资，还剩下1480－600×2－220＝60吨战备物资，刚好可以用“运9”大型运输机运输3次，用时4×2＋4÷2＝10小时。故一共用时44＋10＝54小时。因此，选B。

【难度】★★★

例 3：（2014·广东）小王和小刘手工制作一种工艺品，每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成，小王每天可以制作150个甲部件，或者制作75个乙部件；小刘每天可以制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。现两人一起制作工艺品，10天时间最多可以制作该工艺品（ ）件。

A.660

B.675

C.700

D.900

【答案】C

【解析】小王制作甲、乙部件的效率之比为150∶75＝2∶1，小刘的为60∶24＝5∶2，前者小于后者，故优先让小王制作乙部件，小刘制作甲部件。小刘10天可制作甲部件60×10＝600个，小王制作600个乙部件需要600÷75＝8天，另外两天按照1∶2的时间分配制作甲、乙部件，能制作甲、乙部件各2× ×150＝100个。因此，两人最多制作该工艺品600＋100＝700件。

【难度】★★★

例 4：（2012·浙江）有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精分成3等份，那么至少需要称多少次？（ ）

A.3次

B.4次

C.5次

D.6次

【答案】A

【解析】首先，在天平左边放30克砝码，然后在天平两侧将300克盐合理分配使得天平平衡，此时天平左盘有135克盐；其次，从这135克盐中用30克和5克的砝码称出35克盐，则还剩100克盐；最后，用这100克盐从剩下的共200克盐中称出100克。即称三次就可将300克盐等分成三部分。

【难度】★★★★

例 5：（2013·上海B卷）某县筹备县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧。已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆，则搭配方案共有_____。

A.3种

B.4种

C.5种

D.6种

【答案】A

【解析】根据题意可知，搭配方案满足：A、B两种园艺造型个数之和为50，甲种花卉不大于3490盆，乙种花卉不大于2950盆。设A种造型为x个，B种造型为（50－x）个，则有 ，由①解得x≤33，由②解得x≥31，故31≤x≤33，x取整数值31、32或33，即共有3种搭配方案。

【难度】★★★★

例 6：（2008·安徽）某企业有甲、乙、丙三个仓库，且都在一条直线上，之间分别相距1千米、3千米，三个仓库里面分别存放货物5吨、4吨、2吨。如果把所有的货物集中到一个仓库，每吨货物每千米运费是90元，请问把货物放在哪个仓库最省钱？（ ）

A.甲

B.乙

C.丙

D.甲或乙

【答案】B

【解析】（1）分析甲、乙之间的“路”，在“路”左侧，货物重量为5吨，“路”右侧，货物重量为4＋2＝6吨，左侧重量小于右侧，货物应向右侧集中，应放到乙仓库；（2）分析乙、丙之间的“路”，“路”左侧，货物重量为5＋4＝9吨，“路”右侧，货物重量为2吨，左侧大于右侧，货物应向左侧集中。故应该将货物运到乙仓库。故选B。

【难度】★★★

【临阵锦囊】

在“非闭合”路径（如树形、线形等）上有多个“点”，点上有一定“重量”的“物体”，要把“物体”集中到一点，寻找最优点的方法为：考虑任意相邻两点间路段，分别计算该路段两侧“物体”的“重量”和，把较“轻”一侧的“物体”都移到较“重”一侧紧邻该路段的点。多次操作，最终将所有“物体”集中到一点，该点即为最优点。

注意 ：必须保证单位“重量”的“物体”移动单位距离无差别；不需考虑每段路长度，只需考虑各点重量。

八、几何问题

【核心知识】

几何问题在数学运算部分是比较常考的题型，一般涉及平面几何和立体几何，知识涵盖非常广，且考查考生多种能力的综合运用，需要引起考生重视，在练习时多加积累。

几何问题的主要解题方法有以下四种：

①基本公式法：直接运用基本公式、定理求解。

②数形结合法：把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来。

③割补法：将原图形分解后进行一定移动或加补以方便计算。

④图形转换法：将复杂图形转化为简单图形，主要应用于立体几何。

（一）平面几何

【核心知识】

在行测考试中，平面几何问题主要利用相关的几何定理及公式求取平面几何图形的角、边、半径、周长、面积等。

【真题精析】

例 1：（2015·国考）现要在一块长25公里、宽8公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为5公里。如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

【答案】B

【解析】如图，两个半径为5的圆相交，使交点连线长为8，则一个圆可覆盖宽为8的区域长方向上为6的长度，故25÷6＝4……1，则覆盖全至少需要5个哨塔。故选B。

【难度】★★★

例 2：（2014·上半年联考安徽卷）一个圆形的草地中央有一个与之同心的圆形花坛，在花坛圆周和草地圆周上各有3个不同的点，安放了洒水的喷头，现用直管将这些喷头连上，要求任意两个喷头都能被一根水管连通，问最少需要几根水管？（一根水管上可以连接多个喷头）（ ）

A.5

B.8

C.20

D.30

【答案】B

【解析】要使水管最少，应使尽量多的喷头在一条直线上，如图所示，分别使喷头A、D、E、C和D、F、B在一条直线上，最少需要8根水管。

【难度】★★★

例 3：（2012·国考）草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1～5米之间，且任意两根旗杆的距离都不超过它们高度差的10倍。如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数量和位置的情况下，最少需要准备多少米长的绳子？（ ）

A.40

B.60

C.80

D.100

【答案】C

【解析】任意两根旗杆之间的距离最大为（5－1）×10＝40米，此时再添加任何长度的旗杆，都必须在这两根旗杆形成的线段上插，故最少需要准备40×2＝80米长的绳子。故选C。

【难度】★★

例 4：（2014·上半年联考安徽卷）一菱形土地的面积为 平方公里，菱形的最小角为60度。如果要将这一菱形土地向外扩张变成一正方形土地，问正方形土地边长最小为多少公里？（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】正方形的对角线长度最小值为菱形的长对角线长度。根据菱形的最小角为60度，可知长、短对角线之比为 ∶1，设长、短对角线分别为 、x公里，则有 ·x＝ ，解得x＝ ，故长对角线为 × ＝ 公里。因此，最小正方形的对角线长为 公里，边长为 ÷ ＝ 公里。

【难度】★★★

例 5：（2015·上半年联考浙江卷）如图，某三角形展览馆由36个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参加过的展室，那么他至多能参观多少个展室？（ ）

A.30个

B.31个

C.32个

D.33个

【答案】B

【解析】如图所示，至少有5个参观不到，即至多能参观31个。

【难度】★★

（二）立体几何

【核心知识】

在行测考试中，立体几何问题主要利用相关的几何定理及公式求取立体几何图形的边、半径、表面积、体积等，着重考查考生的空间想象能力。

【真题精析】

例 1：（2015·国考）某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为1米和2米。问需要粉刷的面积为（ ）

A.24平方米

B.26平方米

C.29平方米

D.30平方米

【答案】A

【解析】水平面面积共2×2＝4平方米，侧面面积共1×1×4＋2×2×4＝20平方米，故需要粉刷的面积为4＋20＝24平方米。故选A。

【难度】★★

例 2：（2012·浙江）有一个长方体容器，长40厘米，宽30厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面）。如果把这个容器盖紧，再竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？（ ）

A.15厘米

B.18厘米

C.24厘米

D.30厘米

【答案】C

【解析】根据题意可知，容器中有水40×30×6立方厘米，而竖起来后底面面积为30×10平方厘米，故此时水深为 ＝24厘米。

【难度】★★★

例 3：（2013·上半年联考）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示）。已知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？（ ）

A.

B.

C.36

D.72

【答案】C

【解析】根据“正方体的边长为6厘米”可知，正八面体边长为6÷2× ＝ 厘米，而正八面体由两个体积相等的四棱锥组成，故正八面体体积为2× ×（ ） ² ×3＝36立方厘米。故选C。

【难度】★★

例 4：（2014·上半年联考安徽卷）一间房屋的长、宽、高分别是6米、4米和3米。施工队员在房屋内表面上画一条封闭的线，其所画的线正好在一个平面上且该平面正好将房屋的空间分割为两个形状大小完全相同的部分。问其画的线可能的最长距离和最短距离之间的差是多少米？（ ）

A.5

B.6（ －1）

C.8

D.4（ －2）

【答案】C

【解析】最短距离为2×（3＋4）＝14米。最长距离为面对角线和棱组成的长方形，有三种情况：（4＋ ）×2，（3＋ ）×2，（6＋ ）×2，最大的是第三个，为22。因此，最长距离和最短距离之间的差是22－14＝8米。

【难度】★★★

例 5：（2013·国考）若干个相同的立方体摆在一起，前、后、左、右的视图都是 ，问这堆立方体最少有多少个？（ ）

A.4

B.6

C.8

D.10

【答案】A

【解析】最少情况的俯视图如图所示，中间的立方体由上、下两个立方体堆在一起构成，其他都有一个，共有4个。故选A。

【难度】★★★ ET+ZKxKP/bvGFgvOycMEXPTfzfoaGZmMcuzUbfEXJ6/hMcfZg9aO6aI7whMYE60h