赫尔曼·闵可夫斯基

统一了空间和时间，

而爱因斯坦令它们发生卷曲

闵可夫斯基的绝对时空

我要摆在你们面前的空间和时间的观点，已经从实验物理学的土壤中萌芽了，那里积蓄着它们的力量。它们是基本的。从今往后，空间和时间本身都将注定在黑暗中消失，只有二者的一种结合能保持为一个独立的实体。 ^[1]

1908年9月，赫尔曼·闵可夫斯基用这样的话向世界宣布了关于空间和时间本性的新发现。

爱因斯坦已经证明，空间和时间是“相对的”。物体的长和时间的流从不同参照系看来是不同的。如果我相对于你运动，那么我的时间就不同于你的，我的空间也不同于你的。我的时间是你的时间和空间的混合，我的空间是你的空间和时间的混合。

现在，闵可夫斯基在爱因斯坦工作的基础上发现，宇宙是由一种绝对的而不是相对的四维“时空”结构构成的，这种四维结构在所有参照系看来（当然，我们得学会怎么去“看”）都是一样的，它的存在独立于参照系。

下面的故事（根据泰勒和惠勒1992年的书改编）说明了闵可夫斯基发现的基本思想。

从前，在遥远的东方的大海上有个名叫蒙里迪那的岛，岛上居民有着奇特的风俗和禁忌。每年6月，在一年中最长的那个白天，所有蒙里迪那岛的男人都要乘着一艘大帆船，到遥远的一个叫塞罗那的圣岛去朝觐一只巨大的蟾蜍，蟾蜍将整夜地用恒星和星河、脉冲星和类星体的离奇故事来蛊惑他们。第二天，这些男人会带着神的启示回到蒙里迪那，在未来的一年里，这启示将一直伴随着他们。

每年12月，在一年中最长的那个夜晚，蒙里迪那的女人向塞罗那远航。第二天，她们白天朝觐那只大蟾蜍，夜里回去，满怀着恒星和星河、类星体和脉冲星的幻境。

不过，蒙里迪那的女人绝对不能向岛上的任何一个男人讲她们到塞罗那圣岛的经历，也不能讲蟾蜍告诉她们的任何故事。蒙里迪那的男人也得遵守这个禁令，从不向女人透露他们每年一度的航行。

1905年夏天，蒙里迪那岛一个名叫阿尔伯特的激进青年，他才不管什么文明的禁忌。他发现了两张神圣的地图，并将图泄露给岛上所有的男人和女人。有一张地图是蒙里迪那的女祭司在女人的冬夜远航时用来指引帆船的，另一张是祭司在男人夏日航行时用的。圣图暴露了，岛上的男人是多么羞愧！女人也多么羞愧！但地图摆在那儿，每个人都看到了——太令人吃惊了，塞罗那的位置在两张图上不一样！女人是先向东航行210浪[1浪=201.76米]，然后向北100浪；而男人是先向东航行164.5浪，再向北164.5浪。我们知道，宗教习俗是严厉的，女人和男人都必须在同一个塞罗那圣岛向同一只神圣的蟾蜍乞求每年的灵光。但事情怎么会这样呢？

大多数蒙里迪那人为了遮羞，说暴露的地图是假的。但有一位名叫赫尔曼的聪明老人相信图是真的。他为弄清地图差错的秘密奋斗了3年。最后，在1908年的一个秋日，真相大白了：原来，蒙里迪那男人的航行用的是磁性罗盘，而女人靠的是恒星（图2.1）。男人通过磁性确定北方和东方，女人则依靠由于地球自转而在头顶旋转的恒星来确定这些方向，两种定向方法偏离20°。当男人向他们确定的北方航行时，在女人看来，他们实际航行在“北偏东20°”的方向上，即约80%的北和20%的东。在这个意义上，男人的北方是女人的北方和东方的混合；同样，女人的北方也是男人的北方和东方的混合。

引导赫尔曼发现这一点的关键是毕达哥拉斯（Pythagoras）公式：取直角三角形的两个腰，将一个腰的平方与另一个腰的平方加起来，取平方根，结果就是三角形斜边的长。

斜边就是从蒙里迪那到塞罗那的直线路径。在女人的地图上，两个腰沿真东和真北方向，照此，沿着这条直线路径的绝对距离是 。根据男人的地图，腰在磁东和磁北方向，绝对距离为 。向东和向北的距离是“相对”的，它依赖于地图的参照系是磁方向的还是真方向的。但是，不论根据哪一组相对距离，我们都能计算出同一个绝对的直线距离。

蒙里迪那居民和他们的禁忌文化对这个绝妙的发现有什么反应呢？历史没有记录。

赫尔曼·闵可夫斯基的发现，类似于蒙里迪那的那位赫尔曼老人的发现：假设你相对于我运动（比如，在你超高速的赛车里），那么，·像磁北是真北和真东的混合一样，我的时间也是你的时间和你的空间的混合。

·像磁东是真东和真北的混合一样，我的空间也是你的空间和你的时间的混合。

·正如磁北和磁东、真北和真东不过是为了在一个先存在的二维曲面，即地球表面上进行测量的不同方式，我的空间和时间，以及你的空间和时间，也不过是为了在一个先存在的被闵可夫斯基称为时空的四维“曲面”或“结构”上进行测量的不同方式。

·正如在地球表面存在一个从蒙里迪那到塞罗那的绝对直线距离——它可以根据毕达哥拉斯公式，用磁北和磁东方向的距离或用真北和真东方向的距离计算出来——在时空的任意两个事件之间，也存在着一个绝对的直线间隔，它可以根据一个与毕达哥拉斯相类似的公式，用我的或你的参照系中测量的长度和时间计算出来。

闵可夫斯基正是通过与毕达哥拉斯公式的类比（我称它为闵可夫斯基公式），发现了他的绝对时空。

闵可夫斯基公式的细节对本书其余部分是不重要的，我们没有必要掌握它（不过，我还是为好奇的读者在卡片2.1中将它们写出来了）。惟一重要的是，时空的事件类似于空间的点，而且时空中任意两个事件之间存在着一个绝对的间隔，完全类似于一张纸上任意两点间的直线距离。间隔的绝对性（不论用谁的参照系来计算，它的值都是一样92的）说明，时空有绝对的实在性，它是一个具有若干与运动无关的性质的四维结构。

在接下来的几页里我们将看到，引力是由时空的绝对的四维结构的曲率（卷曲的结果）产生的，黑洞、虫洞、引力波和奇点都完全而且惟一地由这个结构形成，也就是说，它们都是时空卷曲的一个特殊类型。

时空的绝对结构关联着那么迷人的现象，而你和我却不能在日常生活中经历，真令人灰心。问题还是出在我们的低速技术（例如，比光慢得多的赛车）。因为彼此的相对运动太慢，我们所经历的空间和时间是分离的两家，我们从来没有发现你和我测量的长度和时间有什么不同（我们从来没有发现空间和时间是相对的），也从来没有发现我们相对的空间和时间统一形成了一个绝对的四维时空结构。

你可能记得，闵可夫斯基就是在爱因斯坦读书时叫他懒狗的那位数学教授。1902年，俄国出身的闵可夫斯基离开了苏黎世ETH，到德国哥廷根（它那时跟现在一样有国际声誉）去担任更有吸引力的教授。在哥廷根，闵可夫斯基研究了爱因斯坦关于狭义相对论的论文，印象很深，这引导他发现了四维时空的绝对性质。

爱因斯坦听说闵可夫斯基的发现时，并不在意。闵可夫斯基只是用一种新的更数学化的语言重写了狭义相对论的定律，而对爱因斯坦来说，数学掩盖了定律背后的物理意义。因为闵可夫斯基不断宣扬他的时空观如何美妙，爱因斯坦开始笑话哥廷根的数学家：他们用那么复杂的语言来描述相对论，物理学家简直弄不懂了。

事实上，笑话落到了爱因斯坦自己身上。在4年后的1912年，他将认识到，为了在狭义相对论中纳入引力，闵可夫斯基的绝对时空是根本性的基础。遗憾的是，闵可夫斯基没能活着看到这一点。1909年，他死于阑尾炎，那年他45岁。

在本章后面，我还会回来谈闵可夫斯基的绝对时空。不过现在，我得先引出我的故事的另一条线索：牛顿的引力定律和爱因斯坦为了协调它与狭义相对论而迈出的笫一步，这是走在他借鉴闵可夫斯基成果之前的一步。

牛顿的引力定律，爱因斯坦协调它与相对论的第一步

牛顿将引力想象为一种作用在宇宙中每一对物体间的力，一种将物体相互拉近的力。物体的质量越大、距离越近，这个力就越强。更精确地说，这个力正比于物体质量的乘积，反比于它们之间的距离的平方。

这个引力定律是理性的巨大胜利。它与牛顿的运动定律结合，解释了行星绕太阳的轨道，卫星绕行星的轨道，海洋潮汐的涨落和岩石的崩落；让牛顿和他17世纪的同胞们学会了如何去称量太阳和地球。

在从牛顿到爱因斯坦之间的两个世纪中，天文学家对天体轨道的测量有了多方面的进步，牛顿的引力定律经受了越来越严格的检验。偶尔会出现一些新的天文测量不符合牛顿定律，但最终也发现这些观测或对它们的解释是错误的。牛顿定律一次又一次地战胜了实验或理性的错误。例如，当天王星（1781年发现）的运动似乎违背了牛顿引力定律的预言时，人们猜想，很可能是因为一颗尚未发现的行星的引力作用在天王星上，干扰了它的轨道。完全依据牛顿的引力和运动定律以及对天王星的观测所进行的计算，预言了新行星应该在天空的某个地方。1846年，当勒维耶（U.J.J.Leverrier）将他的望远镜瞄准那个位置时，预言的行星果然在那儿出现了，尽管对肉眼而言太模糊，用望远镜看却很光亮。这颗捍卫牛顿定律的行星被命名为“海王星”。

20世纪初，牛顿的引力定律还有两个小小的却令人困惑的矛盾。一个是水星轨道的古怪行为，这最终预示了牛顿定律的失败；另一个是月球轨道的异常，后来发现这是天文学家对测量的解释错了。 跟精确测量的通常情形一样，很难在这两个矛盾中判别应该忧虑哪一个。

爱因斯坦正确地猜想，水星的古怪行为（它的近日点的反常移动，见卡片2.2）是真的，而月亮的异常不是真的。水星的古怪“闻起来”是真的，而月亮不是。然而，对爱因斯坦来说，实验与引力定律的这个可疑的矛盾并没有多大意思，也不太重要。他相信，更重要也更有意思的是，牛顿定律将违反他新建立的相对性原理（即那个要求一切物理学定律在每个惯性参照系中必须相同的“形而上原理”）。由于爱因斯坦坚信他的相对性原理，所以牛顿定律如果违反了它，就意味着有问题。

爱因斯坦的理由很简单：照牛顿的观点，引力依赖于两个吸引物体（如太阳和水星）之间的距离，但根据相对论，这个距离在不同参照系中是不同的。例如，爱因斯坦的相对论定律预言，太阳与水星间的距离依赖于我们是在水星表面测量还是在太阳表面测量，两者会产生大约十亿分之一的差别。如果水星和太阳的这两个参照系在物理学定律看来都一样好，那么应该用哪个参照系来测量出现在牛顿引力定律中的距离呢？不论选择水星的还是太阳的参照系，都会违反相对性原理。这种进退两难的境地，使爱因斯坦确信，牛顿的引力定律一定有问题。

爱因斯坦的胆识令人惊讶。他已经在几乎没有实验证据的情况下抛弃了牛顿的绝对空间和绝对时间，现在他又要在更缺少实验证据的情况下抛弃牛顿获得过巨大成功的引力定律了。不过，激励他的并不是实验，而是他对物理学定律应该怎样的深刻的直觉的洞察。

1907年，在一个写作计划的激发和引导下，爱因斯坦开始寻找新的引力定律。尽管这时他在专利局还只是一个“二级技术员”（刚从三级提升的），但全世界的大物理学家都很尊重他，所以有人请他为年刊《放射学与电子学年鉴》写一篇关于他的相对论物理学定律及其结果的综述。 爱因斯坦在写作时发现了一条对科掌研究很有价值的思路：当我们要把一个主题以一种自洽的、一致的、适于教学的方式向公众展开时，我们被迫以新的方式来思考这个题目，被迫去考察它的所有缺陷和问题，并找寻弥补的办法。

在他的主题中，引力是最大的缺陷。狭义相对论和它不受引力作用的惯性系完全忽略了引力的作用。所以，爱因斯坦在写作中，一直在寻找将引力纳入他的相对论定律的途径。像大多数被问题困惑的人一样，即使在没有直接考虑这个问题时，他的内心也还在想着它。于是，在1907年11月的某一天，用爱因斯坦自己的话说，“我正坐在伯尔尼专利局的桌旁时，突然出现一个想法：‘如果一个人自由下落，他将感觉不到自己的重量。’”

你我今天也能有这种想法，但引不出什么结果。爱因斯坦却不同，他会追到思想的尽头，向它们索求每一点灵感。落体的想法是关键的，它指向了引力的革命性的新观点。他后来说它是“我一生中最快乐的思想”。

这个思想的结论滚滚而来，成为爱因斯坦那篇综述中的不朽篇章。假如你自由落下（如从悬崖上跳下），你不仅感觉不到自己的重量，而且还会在所有方面都感到，似乎引力完全从你的邻近消失了。例如，你在下落时从手上放落一些石块，你和石块将肩并肩地下落。如果你看着石块而忽略周围的其他事物，你不能判断自己和石块是在向着地面落下，还是远离引力物而在空中自由飘浮。事实上，在你的邻近，引力是没有作用的，不可能观测到。爱因斯坦认识到，在下落时所携带的小参照系（实验室）里，物理定律与在无引力宇宙中自由运动时必须是相同的。换句话说，你自由下落的小参照系“等效于”无引力宇宙中的惯性参照系，你所经历的物理学定律与在无引力惯性系中的是一样的，它们也就是狭义相对论的定律。（以后我们将知道，为什么参照系必须是小的，“小”的意思是，与地球的大小相比，它很小——或者，更一般地说，与引力在强度和方向上发生改变的范围相比，它很小。）

我们来看一个无引力惯性系与自由下落的小参照系等效的例子，考虑在无引力宇宙中自由运动物体（假定它是一颗炮弹）行为的狭义相对论定律。从那个理想化宇宙中的任何惯性系看，炮弹一定沿直线以均匀速度运动。现在将它与在我们真实的引力宇宙中的运动进行比较：如果炮弹从地球的草地上的大炮中发射出来，从坐在草地上的一只狗来看，它将沿弧线向上，飞到空中，然后落回地球（图2.2）。在狗的参照系中，它沿一条抛物线（黑实线）运动。爱因斯坦请你在一个自由下落的小参照系中观察同一颗炮弹，如果草地有一个悬崖的边缘，这是很容易做到的。你可以在大炮发射时从悬崖跳下去，一边下落一边观察。

为了帮你描绘你下落时所看到的景象，想象你在面前举着一扇有12格玻璃的窗户，你透过玻璃观察炮弹（图2.2中间）。在下落中你会看到像图2.2画的顺时针图像序列。在看这个序列时，要忽略狗、大炮、树木和悬崖，只注意你的窗户格子和炮弹。在你看来，炮弹相对于你的窗户格子以不变的速度沿点画的直线运动。

这样，在狗的参照系里，炮弹服从牛顿定律，沿抛物线运动。在你自由下落的小参照系里，炮弹服从无引力的狭义相对论定律，沿直线匀速运动。而在这个例子中真实的事情在一般情况下也应该是真实的，从这个思想迈出一大步，爱因斯坦认识到：在我们真实的引力宇宙的任何地方的任何自由下落的小参照系中，物理学定律必须与它们在理想化的无引力宇宙的惯性参照系中相同。爱因斯坦称它为等效原理，因为它断言，在引力存在时自由下落的小参照系与没有引力的惯性系是等效的。

爱因斯坦发现，这一断言有一个极其重要的结论：它意味着，只要我们把真实的引力宇宙中的每一个自由下落的小参照系（例如，你从悬崖上落下时带着的小实验室）都称做“惯性参照系”，那么，狭义相对论在理想的无引力宇宙中的惯性系的一切结果，在真实的宇宙中自然也将是正确的。最重要的是，“相对性原理必须正确：我们真实的引力宇宙中的惯性的（自由下落的）小参照系必须“构造成为等效的”，在物理学定律看来，没有哪个参照系会比其他任何一个更优越，或者，我们可以更准确地说（见第1章）：

以在一个惯性的（自由下落的）小参照系中所进行的测量来建立任何物理学定律，那么当以任何其他惯性的（自由下落的）小参照系中所进行的测量来重建这些定律时，它们必须具有与在原来的参照系中完全相同的数学形式和逻辑形式。而且，不论（自由下落的）惯性系是在无引力的星际空间，或者是从地球的悬崖上落下，或者处在我们的银河中心，或者落下来穿过黑洞的视界，它都是正确的。

随着相对性原理向引力的扩张，爱因斯坦向他的新引力定律迈出了第一步——从狭义相对论到广义相对论的第一步。

亲爱的读者，请耐心些，这可能是全书最难的一章。在下一章我们开始黑洞历险时，我的故事就不会这么专业了。

在建立了等效原理以后的几天里，爱因斯坦用它得到了一个令人惊愕的预言，被称为引力的时间膨胀：如果谁相对于引力物体静止，那么，离物体越近，他的时间流越慢。例如，在地球的一间屋子里，时间在地板附近比在天花板附近流得更慢。不过，地球上的快慢差异确实太小了（只有3/10 16 ，即亿亿分之三），探测起来是极端困难的。相反（如我们将在下一章看到的），黑洞附近的引力时间膨胀是巨大的；如果黑洞有10个太阳重，那么在离黑洞视界1厘米的高度上的时间流将比远离视界的时间流慢600万倍，而刚好在视界面上的时间流则完全停止了。（想象一下，有没有可能作时间旅行：假如你正好落到一个黑洞的视界上，在那儿经历一年的视界附近的时间流，然后返回地球，你将发现，在你那一年的时间里，地球已经过干百万年了！）

爱因斯坦发现引力时间膨胀的论证多少有些复杂，但后来他找到了一种简单而优美的证明，漂亮地体现了他的物理学思想方法。这一证明在卡片2.4， 它所依赖的光的多普勒频移的解释在卡片2.3。

开始写1907年的综述时，爱因斯坦希望它描述无引力宇宙的相对论，但在写作过程中，他发现了三条线索，可能会使引力与他的相对论相吻合——等效原理、引力时间膨胀和他的相对性原理向引力的扩张——所以，他把这些线索也写进去了。大概在12月初，他把文章寄给了《放射学与电子学年鉴》编辑，然后，全身心地去迎接为引力找一个完全的相对论描述的挑战。

12月24日，他给朋友写信说，“我现在正忙着考虑与引力定律相联系的相对论……我希望弄清至今还没能解释的水星近日点移动的长期变化……但似乎还没得到什么结果。”到1908年初，还是没有任何实际的进展，爱因斯坦失望了，放弃了，而将注意力转到了原子、分子和辐射的领域（“小东西的天地”），那里的未解之谜在当时看来更容易，也更有趣。

在“小东西的天地”里，爱因斯坦度过了1908年（那年，闵可夫斯基统一了空间和时间，而爱因斯坦却一笑了之），在1909年至1911年期间，他离开了伯尔尼的专利局，在苏黎世大学当过副教授，然后到布拉格——那是奥（地利）—匈（牙利）帝国文化生活的中心——当教授。

爱因斯坦的教授做得不容易。他不得不上一些常规的与他研究不相干的课，这令他恼火。他既没有把讲义备好的劲头，也没有让课程生辉的热情。不过，在讲他心爱的题目时，他却是精彩绝伦的。 这个时候，爱因斯坦在欧洲学术界已经完全成熟起来了，但他也在付出代价。尽管代价不小，他在微观领域的研究却在令人瞩目地推进着，产生了后来为他赢得诺贝尔奖奖金的大发现（见卡片4.1）。

后来，1911年中期，爱因斯坦对微观的兴趣消退了，他又将精力转向引力的战场，几乎把全部时间都用上了，到1915年11月，他终于成功地建立了广义相对论。

爱因斯坦在引力问题上斗争的第一个焦点是潮汐引力。

潮汐引力和时空曲率

想象你是一个正在遥远太空的宇航员，自由地向着地球赤道落下。尽管你在下落中感觉不出自己的重量，事实上你还是可以感觉某些小小的剩余的引力效应。这些剩余效应叫“潮汐引力”。我们先以地球上的某个观察者的观点，然后以你自己的观点来考虑你所感觉的引力。

从地球上看[图2.3（a）]，作用在你身上不同部位的引力有微小差别。因为你的脚离地球更近，引力对它们的作用比对头的作用更强，所以会从头到脚将你拉长。又因为引力作用总是指向地心，这个方向在你的右侧偏左，在你的左侧偏右，于是，作用在你右侧的引力有点儿向左，而左侧的向右，也就是说，引力把你的两侧挤向中央。

从你的观点看[图2.3（b）]，巨大的向下的引力没有了，消失了。你觉得自己失重了。然而，消失的那部分引力只是拉你向下的部分，从头到脚的拉伸和两肋的挤压依然存在着，原因是作用在你身体较外的部分与作用在你身体中心的引力之间的差异，是你自由下落也摆脱不掉的。

你在下落过程中所感觉的垂向拉伸和侧向挤压，叫潮汐引力或引潮力，因为，当引力源是月球而让地球代替你来感觉时，它们会产生海洋潮汐。见卡片2.5。

爱因斯坦在演绎他的等效原理时，没有考虑潮汐引力，他假定它们不存在。（回想一下他论证的基本内容：当你自由下落时，你“不仅感觉不到自己的重量”，而且“你还会在所有方面都感到，似乎引力完全从你的邻近消失了”。）爱因斯坦忽略潮汐引力之所以是正当的，是因为他想象你（和你的参照系）很小。例如，假如你像蚂蚁那么小或者更小，那么你身体的各部分会彼此靠得很近，从而作用在身体外部和中心的引力方向几乎是一样的，引起潮汐拉伸和挤压的引力差异会极端地微弱。反过来讲，如果你是5 000千米高的巨人，那么地球作用在你身体外部和中心的引力在方向和强度上都将产生巨大的差异，当你下落时，你会经受剧烈的潮汐拉伸和挤压。

根据这样的推理，爱因斯坦相信，在自由下落的足够小的参照系（与引力作用变化的范围相比很小的参照系）中，我们不可能探测到任何潮汐引力的影响，也就是说，在我们的引力宇宙中，自由下落的小参照系与无引力宇宙中的惯性系是等效的，但对大参照系就不是这样了。而大参照系所感觉的潮汐力对1911年的爱因斯坦来说，似乎是最终认识引力本质的一个关键。

牛顿引力定律怎样解释潮汐力，现在清楚了：它们是作用在不同地方的引力在强度和方向上产生差异的结果。但牛顿的定律却因为它的引力依赖于距离而必将是错的，它违反了相对性原理（“这个距离应在谁的参照系中测量呢？”）。爱因斯坦的挑战是建立一个全新的引力定律，它可以同时满足相对性原理并以一种简单而令人信服的新方法来解释潮汐引力。

从1911年中期到1912年中期，爱因斯坦试图通过假设时间卷曲而空间平直来解释潮汐引力。这个听起来很极端的想法是引力时间膨胀的自然产物；天花板附近与地板附近时间流的不同速率可以想象为时间的卷曲。爱因斯坦猜测，也许更复杂的时间卷曲模式能产生从潮汐引力到行星椭圆轨道甚至水星近日点反常移动的所有已知的引力效应。

在追寻这个有趣的想法12个月后，爱因斯坦把它放弃了，当然他有很好的理由。时间是相对的，你的时间是我的时间和空间的混合（假如我们彼此相对运动），于是，如果你的时间是卷曲的而你的空间是平直的，那么我的时间和空间将都是卷曲的，其他任何人的也一样。你而且只有你才有平直的空间，所以物理学定律一定会将你的这个与其他参照系根本不同的参照系驱逐出去——因为它违反了相对性原理。

不过，凭爱因斯坦的感觉，时间卷曲“味道不错”，那么，也许——他想——每个人的时间都是卷曲的，相应的不可避免的是，每个人的空间也是卷曲的。也许这样联合的卷曲可以解释潮汐引力。

时间和空间两个都卷曲的想法是很吓人的。因为宇宙允许有无穷多个不同的参照系，每一个都以不同速度运动，那么将不得不有无穷多个卷曲的时间和无穷多个卷曲的空间！幸运的是，爱因斯坦认识到，闵可夫斯基已经为简化这个复杂的状态提供了有力的工具：“从今往后，空间和时间本身都将注定在黑暗中消失，只有二者的一种结合能保持为一个独立的实体。”在我们的宇宙中，只有一个惟一的绝对的四维时空，而每个人的时间和空间的卷曲，必然表现为闵可夫斯基单独的惟一的绝对时空的一种卷曲。

这是爱因斯坦在1912年夏天被迫得到的结论（不过他更喜欢说“曲率”，不说“卷曲”）。4年来，他一直在嘲笑闵可夫斯基的绝对时空，最后，他终于被迫接受了它，并让它发生卷曲。

时空会弯曲（或卷曲），是什么意思？为了讲清楚，我们先问，二维面的弯曲（或卷曲）意味着什么？图2.4画了一个平面和一个曲面。在平面（一张普通的纸）上画了两条绝对直的线，两条线并列延伸，是平行的。古希腊数学家欧几里得（他创立了现在称为“欧几里得几何”的学科）曾将两条初始平行的直线永不相交的要求作为他的一个几何假设。对平行直线所在的面来说，永不相交是确认面的平直性的铁证。如果空间是平直的，那么初始平行的直线永远不会相交。如果我们找到一对原先平行的直线确实相交了，那么我们将知道，空间不是平直的。

图2.4中的曲面是地球的球面。我们在球面上找到厄瓜多尔首都基多，它坐落在赤道上。从基多出发，画一条指向北方的完全直线，直线将在同一经度上向北延伸，穿过北极。

在什么意义上说它是一条直线呢？有两种意义。一种意义对航空公司来说是极其重要的：直线是一个大圆，而地球球面上的大圆是两点间的最短路线，也就是航空公司愿意飞行的路线。任意另画一条联结基多与北极的路线，一定会比大圆长。

第二种平直性的意义我们在下面讨论时空时还会用到：在球面上沿大圆路径足够小的区域内，球面的曲率几乎测不出来。在这个区域，大圆看来是直的，就像我们通常在平坦的纸上所说的直线那样——这也是专业测量员在用经纬仪或激光束确定地产边界时所用的直线意义。在测量员的这个意义上，在沿大圆路径的每个区域内，大圆都是直线。

在弯曲或卷曲面上的任何路径，如果在这两种意义（航空上“最短路径”的意义和测量员的意义）上是直线，数学家就称它们是测地线。

现在，让我们在球面上从基多出发向东移动几厘米，画一条在赤道上完全与通过基多的那条线平行的新直线（大圆，测地线）。这条直线跟第一条一样，将经过球的北极。令这两条原先平行的直线后来在北极点相交的，正是球面的曲率。

明白了二维面上的曲率效应，我们就可以转向四维时空，去看看那里的曲率。

在理想化的无引力宇宙中，既没有空间的卷曲，也没有时间的卷曲，时空没有曲率。根据爱因斯坦的狭义相对论，在这个宇宙中自由下落的粒子必然沿绝对的直线运动，在任何一个惯性参照系看来，它们都必然保持相同的方向和相同的速度。这是狭义相对论的基本原则。

现在，爱因斯坦的等效原理保证，引力不会改变自由运动的这一基本原则：当在我们真实的引力宇宙中自由运动的粒子进入并穿过一个小惯性（自由下落的）参照系时，它必然沿直线穿过参照系。然而，穿过小参照系的直线运动，显然类似于测量员在地球表面的一个小区域内所观测的直线行为；正如这种在地球小区域内的直线意味着直线实际上是地球表面的测地线一样，粒子在时空小区域内的直线运动也意味着粒子沿时空中的测地线运动。而这一个粒子经历的事情，对所有粒子也一定是正确的：每个自由运动的粒子（每个不受引力之外的任何力作用的粒子），沿时空测地线运动。

认识到这一点后不久，对爱因斯坦来说，潮汐引力是时空曲率的一个表现，就成为显然的事实了。

为说明这是为什么，我们来看下面的（我的，不是爱因斯坦的）思想实验。你一只手拿一个小球站在北极的冰层上（图2.5），同时将两球抛向空中，使它们沿精确的平行轨道上升，然后观察它们落回地球。现在，在我们这个思想实验中，你可以做你愿意做的任何事情，只要它不违反物理学定律。你不但想观察引力作用下的球在地球表面以上的轨迹，还想观察它在地表下的轨迹。为此，你可以假想球是特殊材料制成的，可以毫不减速地穿过地球的土壤和岩石（小黑洞可能具有这种性质），你还可以假想，你和一个站在地球另一端观察的朋友，可以通过“X射线图像”跟踪球在地球内部的运动。

球落入地球后，会因地球的潮汐引力而挤到一起，就像下落的宇航员两肋被挤压一样（图2.3）。潮汐引力的强度正好使两球几乎精确地落向地心，并在那儿相撞。

现在我们来总结一下这个思想实验：每个球在时空中沿完全的直线（测地线）运动，两条直线初始是平行的，后来相交了（球发生碰撞）。原先平行的直线相交了，这是时空曲率的标志。从爱因斯坦的观点看，时空曲率导致平行线相交，即导致两球相撞，就像图2.4中地球的曲率导致直线相交一样。从牛顿的观点看，潮汐引力导致两球相撞。

这样，因为在空间和时间本性上存在迥然不同的观点，爱因斯坦和牛顿对导致平行线相交的原因有完全不同的说法，爱因斯坦说它是时空曲率，牛顿说它是潮汐引力。但只有一个原因在起作用，因此，时空曲率和潮汐引力必然完全是以不同语言表达的同一件事情。

我们人类的头脑很难想象高于二维的曲面的图像，于是，几乎不可能形象地表现四维时空的曲率。不过，从不同的二维时空碎片，我们还是能看出一些事情。图2.6用两个时空碎片来解释时空曲率如何产生引起海洋潮汐的潮汐拉伸和挤压。

图2.6（a）描绘的是地球附近的时空碎片，包括时间和朝月球方向的空间。月球使这块时空弯曲，曲率以图中所示的方式将两条测地线拉开。相应地，我们看到两个沿测地线旅行的自由运动粒子被拉开了，我们将这个拉开的作用解释为潮汐引力。拉伸作用的潮汐力（时空曲率）不仅影响自由运动粒子，也影响地球海洋，它像我们在卡片2.5中所看到的那样，在地球离月球最近和最远的一端掀起浪潮。浪潮也试图沿着弯曲时空的测地线运动[图2.6（a）]，从而也试图飞起来分开，但地球的引力（地球产生的时空曲率，没画在图中）不让它们飞起来，所以海洋只能在地球上汹涌。

图2.6（b）是地球附近的另一块时空碎片，包括时间和沿垂直于月球方向的空间。月球使这块时空发生弯曲，曲率像图中那样将测地线挤压在一起。相应地，我们看到两个沿着垂直于月球方向的测地线旅行的自由运动粒子被曲率（月球的潮汐引力）挤在一起，同样，我们也看到地球海洋在垂直于月球的方向上被挤扁了。这种潮汐的挤压作用导致我们在卡片2.5中所看到的海洋的横向压缩。

1912年夏，爱因斯坦发现潮汐引力与时空曲率是同一样东西时，是布拉格的教授。这是一个惊人的发现——尽管，他还不是那么肯定，理解也不像我描述的那么完全，也没有为引力提出一个完全的解释。它告诉爱因斯坦，时空曲率决定了自由粒子的运动，掀起了海洋的潮汐，但没有告诉他曲率是怎么产生的。爱因斯坦相信，太阳、地球和行星内部的物质以某种方式决定着曲率，但那是什么方式呢？物质如何使时空卷曲，卷曲的具体情况又是怎样的呢？寻找卷曲的定律，成了爱因斯坦最关心的事情。

在“发现”时空曲率几个星期后，爱因斯坦离开布拉格回到苏黎世，到他的母校ETH当教授。1912年8月，爱因斯坦刚到苏黎世就去请教老同学格罗斯曼（Marcel Grossmann），现在是那儿的数学教授。爱因斯坦向他解释了潮汐引力是时空曲率的思想，然后问他，有没有什么数学家已经建立的数学方程能帮他发现卷曲的定律，也就是描述物质如何令时空弯曲的定律。格罗斯曼没把握，他的专业在几何的其他方面。不过，去图书馆浏览后，他回来说，有的，确实有需要的方程。这些方程主要是德国数学家黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪60年代、意大利的里奇（Gregorio Ricci）在80年代以及里奇的学生勒维—契维塔（Tullio Levi-Civita）在19世纪90年代和20世纪初建立起来的，叫“绝对微分计算”（或者，用1915～1960年间物理学家的语言说，“张量分析”）。不过，格罗斯曼告诉爱因斯坦，微分几何太乱了，物理学家不应该卷进来。还有别的可以用来揭示卷曲定律的几何吗？没有。

就这样，在格罗斯曼的大力协助下，爱因斯坦决定掌握复杂的微分几何，格罗斯曼教爱因斯坦数学，爱因斯坦也教格罗斯曼一些物理学的东西。后来，爱因斯坦引格罗斯曼的话说，“我承认，我毕竟还是通过物理学习得到了一些相当重要的东西。以前，当我坐在椅子上感觉到‘前坐者’的余温时，总有点儿不舒服，现在这种感觉完全没有了。因为，在这一点上物理学家已经告诉了我，热是完全与个人无关的东西。”

学微分几何对爱因斯坦并不是件容易的事情。这门学科的精神同他那自然的直觉的物理学论证是格格不入的。1912年10月底，他给索末菲（Arnold Sommerfeld，一个德国大物理学家）写信说，“我自己现在完全被引力问题占据了，我也相信，在当地的一个数学家朋友[格罗斯曼]的帮助下，我会有能力克服所有的困难。但有一点是肯定的，在我的一生中，还从来没有这么艰难地奋斗过，而且我已经对数学充满了敬佩，它那精妙的部分至今在我简单的头脑中还只能认为是一种奢望！同这个问题比起来，原先的相对性理论[狭义相对论]不过是儿童游戏。”

面对物质如何令时空弯曲的疑惑，爱因斯坦同格罗斯曼一道，从秋天奋斗到冬天，但不论多大的努力，都没能使数学与爱因斯坦的想象相吻合，卷曲的定律在躲着他们。

爱因斯坦确信，卷曲的定律应该服从推广（扩大）形式的相对性原理：对每一个参照系——不仅是惯性（自由下落的）系，还包括非惯性系，它都应该是一样的。卷曲的定律不应为了自己的形式而依赖于任何特殊的参照系或者什么特殊类型的参照系。 痛苦的是，微分几何的方程似乎不允许有这样的定律。在暮冬时候，爱因斯坦和格罗斯曼最终放弃了寻找，发表了他们所能发现的最好的卷曲定律——为了某种确定性而依赖于一类特殊参照系的定律。

永远乐观的爱因斯坦努力使自己相信，简单说，就是相信这不是什么灾难。1913年初，他在给朋友物理学家埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）的信中说，“还有什么能比从[能量和动量守恒的数学方程]得到的必然限制更美妙的呢？”但进一步考虑后，他认为这是一个灾难。1913年8月，他写信给洛伦兹说，“我对这个理论[‘卷曲的定律’]的可靠性的信心还在动摇……[因为不能遵从一般的相对性原理]，这个理论背离了它自己的出发点，一切都悬而未决。”

当爱因斯坦和格罗斯曼在跟时空曲率斗争时，遍布欧洲大陆的其他物理学家担起了统一引力定律和狭义相对论的挑战。但是，他们——芬兰赫尔辛基的诺德斯特勒姆（Gunnar Nordstrφsm）、德国格赖夫斯瓦尔德的米（Gustar Mie）、意大利米兰的亚伯拉罕（Max Abraham）——没有一个人采纳了爱因斯坦的时空曲率观点，而是像电磁那样将引力当成一种活动在闵可夫斯基的平直的狭义相对论时空中的力场。他们采用这种方法也并不奇怪：爱因斯坦和格罗斯曼所用的数学吓人地复杂，而且得到的卷曲定律违反了作者自己的原则。

在不同观点的拥有者之间，发生了激烈的论战。亚伯拉罕写道：“像本作者一样曾不得不反复告诫要警惕[相对性原理]的诱惑的人，将满意地欢迎这样的事实：它的创始者现在已经令自己相信它是不可能维持下去的。”爱因斯坦在答复中写道：“照我的意见，这种情况并不说明相对性原理失败了……没有一点儿根据怀疑它的有效性。”私下里，他把亚伯拉罕的引力理论描述成“一匹缺了三条腿的高贵马儿”。在1913年和1914年间写给朋友们的信中，爱因斯坦谈了这场争论，“我喜欢这个，至少事情有了必要的生气，我欣赏这种争论，费加罗式的：他想跳舞，我愿为他伴奏。 ”“我很高兴，同行们都投身到这个[格罗斯曼和我发展起来的]理论中来了，尽管他们现在的目的是要抹煞它……从表面看，诺德斯特勒姆的理论……似乎合理得多，但它也是建立在[平直的闵可夫斯基时空]的，我感到，人们对[平直时空]的信仰，差不多像某种迷信了。”

1914年4月，爱因斯坦离开苏黎世，到柏林做一名不用讲课的教授。他终于可以如愿地尽情工作了，甚至在柏林的大物理学家普朗克和能斯特（Walther Nernst）的影响里，他还是这么做。尽管在1914年爆发了第一次世界大战，爱因斯坦在柏林仍然继续追寻着一个能让人接受的关于物质如何使时空发生弯曲的描述，一个不依赖于任何特殊类型的参照系的描述——一个改进的关于卷曲的定律。

从柏林坐3个小时火车就来到闵呵夫斯基曾经工作过的哥廷根大学村，历史上最伟大的数学家之一，大卫·希尔伯特（David Hilbert）就在那里。在1914和1915年间，他对物理学产生了强烈的兴趣。爱因斯坦发表的思想令他着迷。于是，1915年6月底，他邀请爱因斯坦来访问。爱因斯坦去了约一个星期，为希尔伯特和他的同事们作了6次两个小时的演讲。访问过了几天以后，爱因斯坦给朋友写信说，“看到[关于我工作的]每件事情在哥廷根都能得到最彻底的理解，我真太高兴了。希尔伯特也令我着迷。”

回柏林几个月后，爱因斯坦—格罗斯曼卷曲定律令他比以前更痛苦。它不但违反了他的引力定律应在所有参照系相同的理想，而且，经过艰难计算后，他还发现，得到的水星轨道近日点的异常移动值是错的。他原希望这个理论能够解释这个近日点移动，从而胜利解决移动与牛顿定律的偏差，这个成果至少能带来一点实验证据，证明他的引力定律是对的，而牛顿的是错的。然而，他在爱因斯坦—格罗斯曼卷曲定律基础上的计算却只得到了观察到的近日点移动的一半。

爱因斯坦彻底检查了他和格罗斯曼过去的计算，发现几个关键性的错误。整个10月，他都在满怀激情地工作。11月4日，他在柏林的普鲁士科学院周末全体会议上提交了关于他的错误和修正的卷曲定律的报告——定律对一类特殊的参照系仍存在一定依赖性，不过不像以前那么强。

爱因斯坦还是不满意，他又同11月4日的定律斗争了一个星期，发现了错误，向11月11日的科学院大会又提出一个卷曲定律的建议。但是，定律还是依赖于特殊参照系，仍然违背他的相对性原理。

就让它违背下去吧。接下来的一个星期里，爱因斯坦计算了他的新定律的可以通过望远镜观测的结果。他发现定律预言，经过太阳边缘的星光应被引力偏转1.7弧秒的角度（4年以后在一次日食中进行的精确测量将证实这个预言）。而对爱因斯坦最重要的是，新定律给出了正确的水星近日点移动！他欣喜若狂，兴奋得3天做不了事情。在11月18日的科学院大会上，他报告了这个胜利。

但是，他的定律违背相对性原理，这仍令他烦恼。于是，他在下个星期又检查了计算，发现了另外的错误——最关键的一个。终于，一切都明白了，整个数学体系现在都摆脱了对特殊参照系的任何依赖：在任意一个参照系中定律都有相同的形式（见下面的卡片2.6），因此服从相对性原理。爱因斯坦1914年的理想完全实现了！新的公式对水星近日点进动和光的引力偏折给出相同的预言，而且把他1907年的引力时间膨胀的预言也包括进来了。11月25日，爱因斯坦向普鲁士科学院报告了他这些结果和他的广义相对论的最终确定形式。

3天后，爱因斯坦给朋友索末菲写信说：“在过去的一个月里，我度过了一生中最兴奋、最艰苦但也最成功的时光。”接着，在[1916年]1月给埃伦费斯特的信中，他说：“你能想象我有多快乐[我的新的卷曲定律遵从相对性原理]，它还预言了正确的水星近日点的运动。我狂喜了几天。”后来，他谈了这个时期的感受：“在黑暗中找寻我们感觉得到却表达不出的真理的年月里，那强烈的欲望和动摇的信心以及成功前的焦虑，只有亲身经历过的人才能体会。”

值得注意的是，爱因斯坦并不是第一个发现卷曲定律的正确形式（服从相对性原理的形式）的人，第一个发现者应该是希尔伯特。1915年秋，当爱因斯坦还在向正确定律努力，数学错误接连不断时，希尔伯特也在考虑他从爱因斯坦夏季来哥廷根访问时学来的东西。他在波罗的海的陆根岛度假时，突然产生一个关键的想法，几个星期后，他得到了正确的定律——他没有走爱因斯坦那条艰难的试错路线，而是走一条优美而简捷的数学道路。1915年11月20日，希尔伯特向哥廷根的皇家科学院报告了他的推导和最后的定律，正好比爱因斯坦在柏林向普鲁士科学院报告相同定律早5天。

不过，最后的卷曲定律很快被称为爱因斯坦场方程（卡片2.6），而没有用希尔伯特的名字来命名，这是很自然的，也符合希尔伯特自己对事情的看法。希尔伯特独立并几乎与爱因斯坦同时完成了这个发现的最后几个数学步骤，但爱因斯坦发现了这些步骤之前的几乎一切东西：认识了潮汐引力与时空卷曲必须是同一件事情，设想卷曲定律必然服从相对性原理，它们是这个定律（爱因斯坦场方程）的90%。事实上，如果没有爱因斯坦，引力的广义相对论定律可能会晚发现几十年。

当我浏览爱因斯坦发表的科学论文时（很遗憾，我只能看1965年的俄文本选集，因为我不懂德文，而他的大多数论文到1993年才开始译成英文） ^[3] ，我惊讶地发现他的研究风格在1912年发生了巨大的改变。1912年前，他的文章以优美的文笔、深刻的直觉和简单的数学而令人赏心悦目，其中许多论证跟我们在90年代讲相对论时所用的是一样的，没入想去改进它们。相反，1912年以后，爱因斯坦的论文里出现了大量复杂的数学——尽管通常结合着他对物理学定律的洞察。这种数学与物理学洞察的结合，在1912～1915年间所有在引力领域工作的物理学家中，只有爱因斯坦才有，它最终将他引向了引力定律的完全形式。

但是，爱因斯坦的数学工具用得有点儿笨拙，像希尔伯特后来说的，“哥廷根街上的每个小孩儿都比爱因斯坦更理解四维几何。不过，尽管如此，爱因斯坦还是做成了这件事[建立引力的广义相对论定律]，而数学家没有。”他之所以做成了，是因为这件事仅有数学是不够的，还需要他那独特的物理学洞察。

实际上，希尔伯特说得过分了。爱因斯坦是一个很不错的数学家，尽管，他在数学技巧上不像在物理学洞察中那样算得上是一个大师。结果，我们现在很少用爱因斯坦1912年以后提出的形式来讨论他当时的论证，我们已经学会了更好的形式。而且，随着1915年过后，物理学定律的数学味道越来越浓，爱因斯坦当年那个巨人的身影也越来越淡，火炬已经传给了别人。

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[1] 闵可夫斯基的讲话，是1908年9月21日在科隆举行的第80届德国自然科学家和医生大会上发表的，它的英译本发表在Lorentz，Einstein, Minkowski and Weyl（1923）。

[2] 卡片2.6：为熟悉广义相对论数学形式的读者做些说明：卡片里的爱因斯坦场方程对应的数学关系是R tt =4πG（T tt +T xx +T yy +T zz ），这里R tt是里奇张量的时间—时间分量，G是牛顿引力常数，T tt 是以能量单位表示的质量密度（见卡片5.2），T xx +T yy +T zz 为沿三个相互垂直方向的主应力（压力）之和。见MTW p.406，爱因斯坦场方程的“时间—时间”分量在一切参照系都成立时，也保证了其他9个分量成立。

[3] 爱因斯坦的个人文稿和部分发表文章的版权已聚讼几十年了。苏联出版他的俄文版文集时还没有签署国际版权协定。更完备的爱因斯坦文集正在陆续出版，头两卷即ECP-1和ECP-2。 CoFLLPSktIMf36kcjMRCqY9phrlyYto8FdUa5W3P/EZrSYfHdv+rSmuFH+qZj9sA