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的大小
请听下面这些小朋友之间的对话。
小朋友A：“可能只能用通分做哦，像这样把
和
分，分母变成35，分子就是21和20，得到
比较大。然后再把
和
通分，分母是63，分子是36和35。这样就可以知道大小啦。”
小朋友B：“我也觉得这个方法挺好的。不过两两通分以后，我们只需要比较通分后分子的大小就可以了，所以只要比较3×7和4×5的大小就行啦。”
小朋友C：“等等，三个分数之间难道没有什么规律吗？”
小朋友A：“什么意思呀？”
小朋友B：“对哦，分母是依次增加了2，分子依次增加了1。”
小朋友A：“这和比大小有什么关系呢？”
小朋友C：“哎呀，你看，‘
’是不是比‘
’大？就相当于每个数都加了
，越加越接近
，也就是说其实是越来越小的。”
小朋友A：“好像有点懂了，但你不是真的要我加‘
’吧？哎呀，我还是不太明白呀。”
不知大家看完这些对话作何感想呢？小朋友A的做法其实是十分正确的，只是小朋友C对数字的感觉比小朋友A更敏锐。
让我们举例说明。
将果汁原液300克和水200克混合，得到500克的液体，但此时原液在整杯果汁中的比例（果汁的浓度）仅占到了
。接着，我们再倒入原液100克、水100克，即“共倒入200克，其中含100克原液”，将这杯“浓度”为
的果汁与之前调好的果汁混合。
在较浓的果汁里加入“淡果汁”，总体浓度当然是会变小啦。
这个过程其实意味着：
→
=
。果汁变淡了，
自然小于原来的数。
像这样，依次不断地分子加1，分母加2，按照这个规律排列的数字会逐渐减小，最后无限接近
。
将下列分数从小到大进行排序。
测试考察的内容
你知道由OECD
统筹，被称为PISA的学生能力评估测试吗？这个测试每三年举行一次，几乎每次公布结果后，都会引起媒体的强烈反应，“国际排名又下降了”“学习能力太弱”。
但是，真正了解这个测试特殊性、知道它背景的人并不多。
测试中问题的题干都比较长，例如这道题：
“假设有杰特币和美元两种货币，1杰特币等于4美元。如果一个人想要兑换300杰特币，那他可以得到多少美元？
接着，当这个人回国时想把剩余的美元全部兑换成杰特币，但此时汇率发生了变化：1杰特币可兑换4.2美元。请问此时的汇率变化对这个人来说是损失了，还是赚到了？”
仅高一学生被允许参加这个考试。PISA测试向各国的高一学生（或具有同等学力）发问：“你能在日常生活中熟练运用四则运算吗？”（简单来说就是，你有生活常识吗？）
所以，像二次方程式、三角函数、向量这些内容在PISA测试中是不会出现的。
数学虽然是一门“抽象地看待事物、用理论将各种现象连接、需要极深的思考能力”的学科，但这个考试所要考察的并不是这些内容，而是单纯地考察“一名高一学生是否能利用小学五年级水平的数学知识来解决生活中的具体问题”。
所以，这个测试所考察的能力并不是专门的“数学能力”，而是“生活中的算术使用能力”，即“适应力”。PISA也不能叫数学能力测试，而应该叫“数学活用能力测试”。
回到主题，日本媒体对这个测试的结果的反应可以说是非常有问题的。
这个测试实际考察的并非数学能力。将两个原本就不相同的东西进行比较从而得出“学习能力低下”的结论是相当不合适的。
事实上，上面这个问题日本高一学生回答的正确率仅为50%。也就是说日本的高一学生中，有一半人都欠缺“将算术应用到生活实际中的能力”。而这个问题才是最紧要的。
一般而言，学校往往只负责教授“算术”，如果要教学生“如何在生活中运用这些算术”，那校方就必须深入学生学习生活的各个层面，一一教学。这样一来学校的负担就会变得非常大，一时之间想要实现是不太容易的。
教授这些“常识”其实应当是父母的责任，也是社会“大家庭”的责任，学校要做的原本就是对不足之处加以补充。
也就是说日本将近有一半的家庭没有履行好“让孩子们掌握常识”的义务。但是，现在很多家长都以为是“教学大纲不好”“都是减负教育的错”。
“报纸”等媒体不向读者传达“家庭教育责任”的正确理念，而是一味地向读者宣传“都怪教育局喊出了减负教育这样不可理喻的口号”，这样的做法是非常不合适的。写出这类报道的记者大概都没有经过深入思考，缺乏“理解能力”，只知道迎合读者吧。这样的新闻报道还是早日废除为妙。
初中计算和小学计算最大的区别在于对“字母”的运用。
用字母做题，意味着题目将变得更加抽象，更加具有普遍性。
所以，如果能较深刻地理解运算法则、规律，会发现代数运算其实更为简便。但如果不知道运算法则，计算就会因其抽象的表达变得十分混乱。
本书中我们主要讨论小学计算题，不会过多深入探讨中学计算题。不过有些初中题其实只要知道原理就能立刻解答，在这里，我们也会挑选一些基本的题目进行讲解。
另外，我会列举一些关于计算的建设性话题，这些较难的章节会被标上☆号。
进入初中后，我们会遇到代数计算。
代数计算本质上与普通的计算没有区别，但在“合并同类项”的概念上有少许差异，同学们需加以认识。
以标题为例，关于“合并一次方程的同类项”的问题，大部分学校是这样教的：
3（3x-2y）-4（2x-3y）
=9x-6y-8x+12y（首先利用分配律将括号拿掉）
=x+6y （合并同类项）
这个问题比较简单，直接像上面这样计算也不麻烦。不过，真正熟悉心算的同学可能不会采取上面的办法。
那他们怎么做呢？思路如下：
①首先考虑x项。
只看系数，3×3-4×2=1
②然后看y项。
只看系数，3×（-2）-4×（-3）=6
从而得出答案x+6y。
像这样按照同类项进行区分，只取系数进行运算，可以说是最佳的方法。
一次方程计算越复杂，这种“只取各同类项的系数进行心算”的方法威力就越大。它甚至可以在“展开”计算的时候发挥作用。
例如，“请将（2-5x+3x 2 ）（3-2x+x 2 ）展开并简化”：
常数项为：2×3=6
一次项的系数为：2×（-2）+3×（-5）=-19
二次项的系数为：2×1+（-5）×（-2）+3×3=21
三次项的系数为：（-5）×1+3×（-2）=-11
四次项的系数为：3×1=3
这样，只要找出对应次数计算每个次数项的系数，就可以立刻得到答案：
像这样取出同类项并且只取它的系数进行运算的技巧，在代数运算的心算中是十分重要的。
本节我们附上较多练习题，请试着习惯这种运算哦。
2（x-3y）-3（y-3x）=
3（2x+5y）-4（x-6y）=
5（x-2y+1）-3（2x-3y-4）=
3（x-y+z）-2（x-3y-4z）-（3y-x）=
2（3x-2y）-[3（x-y）-2（4x-3y）]=
[4x-3（1-2x）]-[1-3（1-5x）]=
（3-2x+x 2 ）（1+2x+3x 2 ）=
（1-5x+2x 2 ）（3-x-3x 2 ）=
我在写这本书的时候，内心其实非常矛盾。我一直担心“这种心算技巧难道不应该由学生自己通过大量练习总结得出吗？我可以这样教给学生吗？像这样教给学生，能转化成他们真正的实力吗？”
实际上大部分聪明的学生都是在学习中自然而然掌握心算的。
很早开始就有人指出：“自己开发、思考得到的知识是很难遗忘的，但如果是被动地学习他人的经验，则会很快忘记。”
也就是说，如果学生没有较强的能动性，那教育很可能最终会变成无用的东西。我甚至在想，是不是应该给学生留很多题目，要求他们“试着用心算做”，之后就完全放手让学生自己解呢？这样的教育效果是不是更好？
但是我仍然坚持写下了这本书。如果完全放手，可能90%以上的学生连思考的头绪都找不到，变得不知所措，最后离数学学习越来越远。
同时，我希望大家可以以此为“参考”，“靠自己的力量”和“能动性”，努力掌握心算。