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我曾观摩过高中生智力问答比赛的盛况，赛中出现了一些计算题。比如下式：
1+4+9+16+……
问：此数列（每一项都为整数的完全平方数）从第1项加到第200项的总和是多少？
10多秒钟后，心算完毕的高中生们“噢”的一声激动地喊了出来。这个问题其实并不难，只要知道公式，我们大家都可以轻松得出答案。
“1加到第n个完全平方数的总和为，n与（n+1）、（2n+1）的乘积除以6。”这个公式我们将在初中学到，需要背诵。
因此，上述智力问答题只需将n=200代入，心算200×201×401÷6即可。计算时可采用“除法即约分”的方法。将式子变形为100×67×401，“400个67是26800。加67得26867，再加两个0即得2686700”。
公式可以发挥巨大的作用，但一味套用、死记硬背也多有弊端。
理解它的推导方式能帮助我们更好地应用。
那么，这个公式是如何导出的呢？
我们以标题为例进行说明。很多人无法一下子找到解题思路，我们按如下方法来记。
①将原式转化：1×2=（1×2×3-0×1×2）÷3。
等号右侧（）中1×2相同，所以（）里可化为1×2×（3-0），除以3后得1×2。
②同样地，将2×3，3×4，……，进行变形：
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷3
2×3=（2×3×4-1×2×3）÷3
3×4=（3×4×5-2×3×4）÷3
4×5=（4×5×6-3×4×5）÷3
5×6=（5×6×7-4×5×6）÷3
6×7=（6×7×8-5×6×7）÷3
7×8=（7×8×9-6×7×8）÷3
8×9=（8×9×10-7×8×9）÷3
9×10=（9×10×11-8×9×10）÷3
如上，变形完毕（为方便理解，中途没有省略步骤）。
我们能够清楚地看到，等号左侧的算式全部相加即为标题中需要求的算式。等号右侧也是一样的。
仔细看等号右侧，÷3是共通的，所以我们把它留到最后一起计算。
若将（）中的所有项全部相加，大多数都会互相抵消。最后只余9×10×11-0×1×2，后者为0，所以最后只余9×10×11。
最后再计算9×10×11÷3，即得答案330。
由此我们很容易得出结论：通常在计算1×2+2×3+…+n（n+1）时，得数为n（n+1）（n+2）。
那么，若从1×2中减去1，式子就从2个1变成了1个1，即余1×1。
若从2×3中减去2，就变成了2个2，即余2×2。按照这个思路思考，我们可以得出“想要计算1×1+2×2+3×3+…+n×n时，只要计算1×2+2×3+…+n（n+1）后减去1到n的所有数的和即可”的结论。
因此只需计算n（n+1）（n+2）÷3-n（n+1）÷2，（1到n项的求和方法请参照本书第27节）即可得出例题中的超长算式，即带☆号的式子。
1×2+2×3+3×4+…+99×100=
1×3+3×5+5×7+7×9+9×11+11×13=
1×1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×6=
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+98×99×100=
提示：第二题不能简单运算为11×13×15÷6，注意首项。最后一题也可以运用本节学习的内容来解，属于较难的心算题。
通常，在学习分解360的质因数时，我们会像右图一样，从最小的质数开始一个一个往下除，直到无法再除时得出如下答案：
2×2×2×3×3×5（=2 3 ×3 2 ×5）
这是通常的解题方法。
这种方法当然是十分正确的，但是当题目答案中只包含如2、3、5、7、11这样的较小质数时，能力稍强的学生不会采用这种一个一个去数的方法。
那么，他们是如何做的呢？
360除以5，得72。
72用九九乘法得8×9。
8为2 3 ，9为3 2 ，由此得出2 3 ×3 2 ×5。
那么，144应该如何分解呢？在这里我们介绍给大家一种常用方法。
144为12×12（计算题做多了会自然记住平方数）。
12为4×3=2 2 ×3，即相当于“由2个2和3个1组成”。
因为144中包含2组12，所以有“4个2，2个3”。即2 4 ×3 2 。
下面来看1080：
首先，108×10，108为（熟练后最好化为4×27）2×54。
因此，先考虑2×54×10：
2……有1个2。
54……等于6×9，所以有1个2和3个3。
10……有1个2和1个5。
总结后共有3个2、3个3、1个5，即2 3 ×3 3 ×5。
也就是说，我们可以将数字分解为2个以上数字的乘积，再逐个分解质因数，最后全部整合。
将下列数字分解质因数。
36 216 120 180
504 336 351 378