第二章

自然数字和人造数字

— 1 —
最纯粹的数学

数学通常被人们，尤其是数学家视为科学界的皇后，作为皇后，它自然不愿意和其他任何学科产生暧昧的关系。因此，在某次“理论数学与应用数学联合会议”上，有人请大卫·希尔伯特作一次公开演讲，希望借此弥合两派数学家之间的隔阂。希尔伯特是这样开场的：

“我们常听别人说，理论数学和应用数学互为寇仇。但实情并非如此。无论是过去、现在还是未来，理论数学和应用数学从来就不是寇仇，事实上，它们也不可能成为寇仇，因为二者之间毫无相似之处。”

不过，虽然数学情愿保持超然的地位，尽量远离其他学科，但反过来说，其他学科（尤其是物理）却很喜欢数学，它们总是竭尽所能地想跟数学“打成一片”。事实上，时至今日，理论数学几乎所有分支都已经成为科学家解释物理世界的工具，其中包括那些曾经被人们认为纯粹得没有任何实用价值的理论，例如群论、非交换代数和非欧几何。

不过，哪怕是在今天，数学领域内仍有一套庞大的体系一直坚守着“无用”的高贵地位，它唯一的作用就是帮助人们锻炼智力，这样的超然绝对配得上“纯粹之王”的桂冠。这套体系就是所谓的“数论”（这里的“数”指的是整数），它是最古老、最复杂的理论数学思想之一。

奇怪的是，尽管数论的确是最纯粹的数学，但从某个角度来说，它又是一门基于经验甚至实验的科学。事实上，数论的绝大多数命题来自实践——人们尝试用数字去做各种事情，然后得到一些结果，由此形成理论。这样的过程和物理学别无二致，只不过物理学家尝试的对象是现实中的物体而非理论化的数字。数论和物理学还有一个相似之处：它们的某些命题得到了“数学上”的证明，但另一些命题仍停留在经验主义的阶段，等待着最杰出的数学家去证明。

我们不妨以“质数问题”为例。质数指的是不能被比它小的数字（除了1以外）整除的数，例如1，2，3，5，7，11，13，17，等等。 但12就不是质数，因为它可以表示为2×2×3。

质数的个数是无限的吗？还是说存在一个最大的质数，比它大的任何数字都可以表示为已有质数的乘积？首先提出这个问题的正是欧几里得（Euclid）本人，他以一种简单而优雅的方式证明了质数有无穷多个，所以并不存在所谓的“最大质数”。

为了验证这个命题，我们暂且假设质数的个数是有限的，并用字母N来代表已知最大的质数。现在，我们将所有质数相乘，最后再加1，数学式如下：

(1×2×3×5×7×11×13×…×N)+1

这个式子得出的结果当然比所谓的“最大质数”N大得多，但是这个数显然不能被任何一个质数（最大到N为止）整除，因为它是用上面这个式子构建出来的。根据这个数学式，我们可以清晰地看到，无论用哪个质数去除它，最后必然得到余数1。

因此，我们得到的这个数字要么是个质数，要么能被一个大于N的质数整除，无论哪个结果都必将推翻我们最初的假设：N是最大的质数。

我们刚才采用的证明方法叫作“归谬法”（reductio ad absurdum），它是数学家最爱的工具之一。

既然我们知道质数有无穷多个，那么我们不妨问问自己：有没有什么简单的办法能将所有质数按照顺序一个不漏地列出来呢？古希腊哲学家暨数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）首次提出了解决这个问题的办法，我们称之为“筛选法”。你只需要写下所有整数：1，2，3，4……然后筛出2的所有倍数，再筛出3和5的所有倍数，以此类推，继续筛出所有质数的倍数。埃拉托斯特尼筛选100以内所有质数的示意图请见图9，这些数字共有26个。利用这种简单的筛选法，我们已经列出了10亿以内的质数表。

要是能列出一个公式来自动寻找所有质数（而且只有质数），那岂不是更快、更简单？然而数学家琢磨了十几个世纪，依然没有找到这样的公式。1640年，法国著名数学家费马（Fermat）提出了一个公式，他认为这个式子算出的结果都是质数。

费马的公式是这样的： ，其中n代表自然数，例如1、2、3、4等等。

利用这个公式，我们可以得出如下结果：

2 ² +1=5

事实上，这几个数的确都是质数。不过大约一个世纪以后，德国数学家欧拉（Euler）却发现，按照费马的公式得出的第五个数（ ）不是质数，事实上，这个数等于6700417和641的乘积，费马计算质数的经验公式也因此被证伪了。

另一个能够算出大量质数的重要公式如下：

n ² −n+41

这个公式中的n同样是自然数。我们将1到40的自然数代入这个公式，得到的结果都是质数，但不幸的是，这个式子走到第41步的时候栽了个跟头。

事实上，

41 ² −41+41=41 ² =41×41

这是一个平方数，不是质数。

我们再介绍一个试图寻找质数的公式：

n ² −79n+1601

这个质数公式适用于79以内的自然数，但被80打败了！

所以我们直到现在都没能列出一个只能算出质数的通用公式。

数论中还有一个既没被证明也没被证伪的有趣问题，人称“哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture）。这个猜想是在1742年提出的，它宣称 任何一个偶数都能表示为两个质数之和 。 不用费多少力气你就会发现，对于一些简单的数字，这个猜想完全成立，比如说，12=7+5，24=17+7，32=29+3。然而数学家耗费了无数心血，却依然无法完全证实这个猜想，与此同时，他们也找不出任何一个反例。1931年，俄罗斯数学家施尼雷尔曼（Schnirelman）朝验证哥德巴赫猜想的目标迈出了建设性的一步。他证明了 任何一个偶数都能表示为不多于300,000个质数之和 。30万个质数和2个质数之间的确存在巨大的鸿沟，另一位俄罗斯数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）又将证明的结果进一步推进到了“4个质数之和”。但是，维格拉多夫的“4个质数”离哥德巴赫的“2个质数”还有最后的两步，看来这两步才最难走，要最终证明或证伪这个难题，谁也说不清到底需要多少年或者多少个世纪。

呃，如此说来，要得出一个能够自动推出任意大质数的公式，我们距离这个目标似乎还很遥远，确切地说，我们甚至无法确定这样的公式是否存在。

所以现在，我们或许可以转而思考另一个谦逊一点儿的问题：在某个给定的数字区间内，质数所占的百分比是多少？随着数字的增大，这个百分比是否大致保持恒定？如果不是的话，那么它是上升还是下降？为了回答这个问题，我们不妨试着数一数质数表中的数字。通过这种方式，我们发现100以下的质数共有26个，1000以下的质数有168个，1,000,000以下的有78,498个，1,000,000,000以下的有50,847,478个。 我们可以将相应区间内的质数个数列成下表：

根据这张表格，首先我们可以看出，随着整数越来越多，质数在所有数字中所占的比例越来越小，但并不存在所谓的最大质数。

数字越大，质数出现的频率就越低，我们能不能用一个简单的数学式来表达这样的趋势呢？答案是肯定的，描述质数平均分布的定理是整个数学领域最重要的发现之一，它可以简单地表达为： 在1到大于1的任意自然数N的区间内，质数所占的百分比约等于N的自然对数的倒数。 N越大，这个式子得出的结果就越精确。

你可以在上面这张表格的第四列找到N的自然对数。比较一下第三列和第四列的数字，你会发现两者的确十分相近，而且N越大，两列数字的偏差就越小。

和数论领域的其他很多命题一样，质数定理最初是在实践中被发现的，而且在很长一段时间里，我们并没有找到任何可以支持它的严格的数学证据。直到19世纪末，法国数学家阿达马和比利时数学家德拉瓦莱·普森才终于成功地证明了这一定理，不过他们采用的方法过于繁难，我们在此暂且略过。

要讨论整数，费马大定理（Great Theorem of Fermat）是个绕不开的话题，它代表着与质数性质表面上全然无关的另一类数学问题。费马大定理的根源可以追溯到古埃及时期，那时候的每个好木匠都知道，如果一个三角形的边长之比是3∶4∶5，那它必然包含一个直角。事实上，古埃及人利用这样的三角形来充当木匠的三角尺，所以今天的我们称之为“埃及三角形”。 ^[1]

公元3世纪，亚历山大的丢番图（Diophantes of Alexandria）开始进一步探索这个问题。他想知道，除了3和4以外，是否还有另外两个整数的平方和正好等于第三个整数的平方。他的确找到了性质和“3、4、5”完全相同的其他数字组合（事实上，这样的组合有无穷多个），并给出了寻找这类组合的通用规则。现在，这种三条边的长度都可表达为整数的直角三角形被称为“毕达哥拉斯三角形”，埃及三角形是人类发现的第一个毕达哥拉斯三角形。构建毕达哥拉斯三角形的过程可以简单地概括为一个数学式： ^[2]

x ² +y ² =z ²

其中x，y和z都必须是整数。

1621年，皮埃尔·费马（Pierre Fermat）在巴黎买了一本丢番图著作《算术》的法语新译本，其中就有关于毕达哥拉斯三角形的内容。读到这里的时候，费马在页边写了一条简短的笔记，他提出，方程x ² +y ² =z ² 有无穷多组整数解，但对于x ⁿ +y ⁿ =z ⁿ 这样的方程 ，如果n大于2，那么该方程无解。

“我有一个绝妙的办法可以证明这一点，”费马继续写道，“但这一页的页边太窄了，实在写不下。”

费马死后，人们在他的藏书室里找到了丢番图的著作，费马在页边留下的这条笔记也因此变得举世皆知。三个多世纪以来，各国最优秀的数学家一直试图重现费马写下笔记时所想的证明过程，但迄今仍未成功。不过确切地说，数学界在这个问题上已经取得了长足的进展，为了证明费马大定理，他们甚至发展出了一门全新的数学分支，也就是所谓的“理想论”（theory of ideals）。欧拉证明了方程x ³ +y ³ =z ³ 和x ⁴ +y ⁴ =z ⁴ 不可能有整数解；狄利克雷（Dirichlet）又证明了x ⁵ +y ⁵ =z ⁵ 没有整数解，再加上其他几位数学家的努力，目前我们已经确认，只要n小于269，这个方程都没有整数解。但目前我们仍未找到n为任意值的通用解， 越来越多的人开始怀疑，费马本人可能根本没有证明这一猜想，或者是他弄错了。为了证明费马大定理，甚至有人提供了10万德国马克的悬赏，于是这个数学问题变得更加炙手可热，但所有试图淘金的业余爱好者最终都无功而返。

当然，费马大定理可能是错的，也许我们能找到一个反例，证明两个整数的高次幂之和等于第三个整数的同一次幂。不过事到如今，这个n必然大于269，要找到它可不容易。

2
神秘的

现在我们来做一点儿高级算术。2的平方等于4，3的平方是9，4的平方是16，5的平方是25，因此4的算术平方根等于2，9的算术平方根是3，16的算术平方根是4，25的算术平方根是5。 ^[3]

但负数的平方根又该是什么呢？ 和 这样的式子有何意义？

若要寻找一个合理的解释，你会毫不犹豫地得出结论：上述数学式完全没有意义。用12世纪数学家布拉敏·婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话来说：“正数的平方和负数的平方都是正数，因此正数的平方根有两个，其一为正，其二为负。负数没有平方根，因为任何数的平方都不会是负数。”

但数学家都是顽固的家伙，如果某种完全没有意义的东西反复出现在他们的方程里，他们就会想方设法赋予它意义。负数的平方根就是这么个讨厌的家伙，无论是在古代数学家苦苦思索的简单算术问题里，还是在20世纪相对论框架下时空统一的方程中，你总能看见它的身影。

第一位将看似无意义的负数平方根列入方程的勇者是16世纪的意大利数学家卡尔达诺（Cardano）。当时他试图将数字10拆成两个部分，使二者的乘积等于40。卡尔达诺指出，尽管这个问题没有合理的解，但从数学上说，它的答案可以写成两个看似不可能的表达式： 和 。 ^[4]

尽管卡尔达诺认为这两个式子没有意义，完全出于幻想和虚构，但他还是把它们写了下来。

既然有人不惮背负虚构之名，写下负数的平方根，那么将10拆分成两个乘积等于40的部分，这个问题也就有了解。“负数的平方根”这块坚冰被打破了，人们从卡尔达诺使用的修饰词中挑了一个来给这样的数命名，所以现在它被称为“虚数”（imaginary numbers）。自从虚数诞生以后，数学家开始越来越频繁地使用这个概念，虽然在用的时候他们常常表现得顾虑重重，借口多多。1770年，著名德国数学家莱昂哈德·欧拉出版了一本代数学著作，虚数在这本书中得到了广泛的应用，但欧拉在书中留下了这样的附言：“诸如 ， 之类的表达都是不可能的数，或称虚数。因为它们代表负数的平方根，对于这样的数，也许我们只能说，它们不是零，但并不比零大，也不比零小，所以它们完全是虚构出来的数，或者说不可能的数。”

尽管有这么多借口，但虚数还是迅速成为数学领域不可或缺的元素，就像分数和根式一样，要是不能使用虚数，你简直寸步难行。

我们可以说，虚数家族就像正常数字（或称实数）虚幻的镜像。所有实数都以数字1为基础，同样地，我们可以利用 构建出所有虚数，这个基数通常记作i。

不难看出， ； ，以此类推，每个实数都有一个对应的虚数。你还能将实数和虚数结合到一个式子里，写成 这样的形式。卡尔达诺发明的这种混合表达式通常被称为复数。

闯入数学王国后的两百多年里，虚数一直蒙着一层神秘的面纱，直到两位业余数学家赋予了它简单的几何意义，虚数才算得以正名。这两位先行者分别是挪威的测绘员韦塞尔（Wessel）和巴黎的会计师罗伯特·阿尔冈（Robert Argand）。

按照这两位数学家的解释，复数可以表达为图10所示的形式，比如说，3+4i代表坐标轴上的一个点，其中3是横坐标，4是纵坐标（垂直坐标）。

事实上，所有实数（无论正负）均可表达为水平轴上的一个点，与此同时，所有纯虚数均可表达为纵轴上的一个点。用横轴上的一个实数（例如3）乘以虚数基数i，我们可以得到一个纯虚数3i，它必然落在纵轴上。因此， 从几何角度来说，用一个数乘以i，相当于让它对应的点在坐标轴内逆时针旋转90度。 （见图10）

现在，如果我们将3i再乘以一个i，那么这个点必然逆时针再转90度，于是它将重新回到横轴上，只是会落在负数那一侧。因此，

3i×i=3i ² =−3，或者说，i ² =−1。

这样一来，“i的平方等于−1”这个说法就比“逆时针旋转两个90度等于转为反向”好理解多了。

当然，同样的规则也适用于复数。用3+4i乘以i，我们将得到：

(3+4i)i=3i+4i ² =3i−4=−4+3i

你立即可以从图10中看到，代表的点正好相当于3+4i逆时针旋转90度。同样可以从图10中看到的是，一个数乘以−i就相当于顺时针旋转90度。

如果你还觉得虚数神秘莫测，那我们不妨试着用它来解决一个有实际意义的简单问题。

有位爱冒险的年轻人从曾祖父的文件里找到了一张羊皮纸藏宝图，图上是这样说的：

“航行至北纬_____，西经_____， 有一座荒岛。荒岛北面是一大片没有围栏的草地，上面耸立着一棵孤零零的橡树和一棵孤零零的松树。 你还会看到一座古老的绞架，我们用它吊死叛徒。从绞架出发，走到橡树底下，记下步数；然后向 右 转90度，走同样的步数，在这个位置打下一根桩子。现在，回到绞架旁，走到松树底下，记下步数；然后向 左 转90度，走同样的步数，打下第二根桩子。财宝就埋在这两根桩子的正中间。”

藏宝图上的指示清晰而明确，所以我们这位年轻人弄了条船，驶向南海。他找到了那座岛，那片草地，也看到了橡树和松树，但不幸的是，那座绞架却不见了。岁月荏苒，日晒雨淋风吹，木质的绞架早已化作泥土，甚至没留下一点儿痕迹。

我们这位爱冒险的年轻人陷入了绝望，随后他开始狂怒地随处乱挖，但他的努力完全是徒劳，这座岛实在太大了！最后，年轻人两手空空地启程返航，但那座宝藏很可能还埋在地下。

真是个悲伤的故事，但更悲伤的是，要是这位年轻人懂一点儿数学，尤其是虚数的应用，他本来有机会找到曾祖父的宝藏。现在我们来帮他找一找宝藏埋在哪里吧！虽然对他来说，这样的帮助来得太晚，于事无补。

我们不妨将这座荒岛视作一个复数平面；将两棵树相连，以这条直线作为实轴，同时在两棵树的连线中点作一条垂直于实轴的直线，作为虚轴（图11）。以两棵树之间距离的一半为基本单位，那么我们可以说，橡树所在的点是实轴上的−1，松树所在的点是实轴上的+1。我们不知道绞架的坐标，所以不妨将它记作希腊字母Γ，正好这个字母看起来很像绞架。绞架的位置不一定落在两条轴上，所以我们必须将它视作一个复数：Γ=a+bi，其中a和b的意义见图11。

现在，我们可以按照前面描述的虚数乘法法则，做一些简单的计算。既然绞架的坐标为Γ，橡树坐标为−1，那么二者之间的距离和方向可以表达为−1−Γ=−(1+Γ)。同理可得，绞架和松树之间的距离是1−Γ。要将这两段距离分别顺时针（向右）、逆时针（向左）旋转90度，根据前述法则，我们需要将这两个数分别乘以−i和i，由此得出两根桩子的位置：

第一根桩子：(−i)[−(1+Γ)]+1=i(Γ+1)+1

第二根桩子：(+i)(1−Γ)−1=i(1−Γ)−1

由于宝藏位于两根桩子之间，我们必须求出上述两个复数之和的一半，即

现在我们可以看到，Γ所代表的未知的绞架坐标在计算中被消掉了，因此无论绞架原来在什么地方，宝藏必然位于点+i。

所以，要是我们这位爱冒险的年轻人会做这么一点点简单的数学运算，他就不用翻遍整座荒岛，只需要在图11所示的十字架的位置挖一挖，就能找到宝藏。

要找到宝藏，我们根本不需要知道绞架在哪儿。 如果你还不相信这一点，不妨找一张纸，在上面标出两棵树的位置，然后任意挑选一个点作为绞架的位置，再根据藏宝图的指示寻找宝藏。最后你会发现，无论绞架的位置如何变换，宝藏一定埋在虚轴上坐标为+i的那个点！

利用−1的平方根这个虚数，人们还找到了另一座惊人的宝藏：我们习以为常的三维空间竟能和时间结合起来，形成一个符合四维几何学的统一坐标系。不过这方面的发现，我们可以留到后面讨论阿尔伯特·爱因斯坦和相对论的章节再讲。

[1] 初等几何课本中的毕达哥拉斯定理证明了古埃及人的直觉，因为3 ² +4 ² =5 ² 。（原注）
毕达哥拉斯定理即勾股定理。（译注）

[2] 利用丢番图的通用规则（取两个数a和b，要求2ab是一个完全平方数。取 ； ； ，利用普通代数易证，此时x ² +y ² =z ² ），我们可以列出这个方程所有可能的解，最初几组解如下：
3 ² +4 ² =5 ² （埃及三角形）
5 ² +12 ² =13 ²
6 ² +8 ² =10 ²
7 ² +24 ² =25 ²
8 ² +15 ² =17 ²
9 ² +12 ² =15 ²
9 ² +40 ² =41 ²
10 ² +24 ² =26 ²

[3] 其他许多数字的平方根也很好求，比如说： …因为(2.236…)×(2.236…)=5.000… =2.702…因为(2.702…)×(2.702…)=7.300…。

[4] 证明如下：
，且
zaQQ/kBjd33JAzGrWTSQdGQ0F0CoId0DcHezeLXcQRwvPVw2KIOCFvqhV9Hw1yBS