第一章

大数字

— 1 —
你能数到几？

我们先讲个故事：两位匈牙利贵族决定玩一个游戏，比一比谁说出的数字最大。

“呃，”其中一位表示，“你先说。”

经过几分钟的冥思苦想，另一位贵族终于说出了他能想到的最大的数字。

“3。”他说。

现在轮到第一位贵族伤脑筋了，不过一刻钟以后，他宣布放弃。

“你赢了。”他心灰意冷地说。

当然，这两位匈牙利贵族的脑子算不上聪明 ，这个故事大概也只是个恶意的玩笑，但类似的对话说不定真的发生过，只不过对话的双方可能不是匈牙利贵族，而是西南非洲的霍屯督人。一些非洲探险家的确提到过，很多霍屯督部落的语言里没有超过3的数字。你可以找个当地土著，问他有多少个儿子或者杀过多少个敌人，如果答案超过3，那么他会回答，“很多”。所以要是单说数数，最勇猛的霍屯督战士也斗不过美国幼儿园年龄的孩子——小朋友好歹还能数到10呢！

你想写多大的数就能写多大，对今天的我们来说，这样的想法早已深入人心——哪怕你想以分为单位记录战争支出，或者以英寸为单位测量恒星间的距离，也只需要在数字的最右侧加无数个零而已。你可以写零一直写到手酸，不经意间你就能得到一个比宇宙 中原子总数量还大的数字——顺便说一下，这个数是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000。 ^[1]

或者你可以把它简写成：3×10 ⁷⁴ 。

小小的数字“74”位于“10”的右上角，它代表的是“3”后面有多少个0，换句话说，这个数等于3乘以10的74次方。

但古人不懂这套“简易记数法”。事实上，科学记数法诞生还不到两千年，它的创造者是一位佚名的印度数学家。在这位无名英雄做出他的伟大发现——这的确是个伟大的发现，虽然我们常常意识不到它的伟大之处——之前，古人只能用一个特殊的符号来代表十进制单位中的每一位数，要记录这个位置上的具体数字，你必须将相应的符号重复一定次数。举个例子，古埃及文字中的“8732”是这样的：

与此同时，恺撒办公室里的书记员会这样写：

MMMMMMMMDCCXXXII

后面这组符号你肯定觉得很眼熟，因为直到今天，我们偶尔还会使用罗马数字——比如说，用于标记书中的章目，或者在装饰华美的纪念碑上记录某个历史事件的时间。由于古人需要记录的数字最大也不过是几千而已，所以他们根本没有千位数以上的数字符号；哪怕是最精于算术的罗马人，如果你要求他写个“一百万”，他也只能束手无策；如果你继续坚持，那他只能连续写一千个“M”，这够他辛苦好几个小时（见图1）。

对古人来说，那些特别大的数字都是“不可数”的，譬如天空中有多少星星，海里有多少条鱼，或者海滩上有多少粒沙子；于是他们只好像数不到“5”的霍屯督人一样，简单地概括说，“很多”！

公元前3世纪的著名科学家阿基米德（Archimedes）提出过一种描述极大数字的方法。他在《数沙者》（ The Psammites ）一书中写道：

“有人认为沙子的数量多得数不清；我说的不仅仅是锡拉丘兹或者整个西西里岛的沙子，而是地球上有人或无人居住的所有地方的所有沙子。另一些人并不这样认为，但他们觉得我们想不出 一个足够大的数字来描述地球上的沙子数量。 这些人显然也同样觉得，如果有一座和地球一样大的沙堆，而且地面上所有的海洋和盆地都已被沙子填满、堆高，一直堆到和最高的山峰齐平，那么我们更不可能想出办法来描述这个沙堆中所有沙子的数量。但现在我想说的是，我的方法不仅能描述地球上所有沙子的数量，或者刚才那个大沙堆中的沙子数量——哪怕有个宇宙那么大的沙堆，我们也能准确描述它拥有多少沙子。”

阿基米德在这本著作中介绍的描述极大数字的方法和我们今天的科学记数法十分相似。 他先是采用了古埃及算术中最大的数字“myriad”，即一万。然后阿基米德引入了一个新的数字，“myriad myriad”（一万的一万倍，即一亿），他称之为“octade”，或者说“第二级单位”；以此类推，“octade octades”（一亿亿）被称为“第三级单位”，“octade octade octades”就是“第四级单位”。

今天的我们或许觉得这样的记数法过于琐碎，描述一个数可能要花费好几页的篇幅，但在阿基米德那个时代，这种描述大数字的方法的确是个大发现，也是古人探索数学的重要一步。

要计算能填满整个宇宙的沙子数量，阿基米德首先得弄清宇宙到底有多大。当时人们相信，整个宇宙装在一个水晶球里面，所有星星都镶嵌在水晶球上；同时代著名天文学家萨摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus of Samos）估算，地球到宇宙水晶球边缘的距离是10,000,000,000视距，即1,000,000,000英里左右。

根据宇宙球的大小和沙子的尺寸，阿基米德做了一系列能让高中学生做噩梦的计算，最后他得出结论：

“根据阿里斯塔克斯估算的宇宙球尺寸，能填满这个空间的沙子数量不大于一千万个第八级单位。” ^[2]

你或许会注意到，阿基米德估算的宇宙半径比科学家现在所认为的小得多。十亿英里的距离还不够我们走到土星轨道。正如我们将在后文中看到的，目前的望远镜已经将可观测宇宙的范围拓展到了5,000,000,000,000,000,000,000英里以外，那么要填满整个宇宙，需要的沙子肯定超过10 ¹⁰⁰ （1后面100个0）粒。

当然，这个数比本章开头介绍的宇宙总原子数量（3×10 ⁷⁴ ）大得多，但我们不能忘了，原子并未填满整个宇宙；事实上，宇宙中每立方米的空间内平均只有大约1个原子。

但要获得极大的数字，我们不一定非得用沙子填满整个宇宙。事实上，一些极大的数字常常来自非常简单的问题，初看之下，你肯定觉得这种问题的答案最多不过几千而已。

印度的舍罕王就吃过这种天文数字的苦头。传说大维齐尔 西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir）向舍罕王献上了自己发明的象棋，国王高兴之余，打算赐给他奖赏。聪明的大维齐尔提出了一个看起来十分谦逊的要求。“陛下，”他跪在国王身前说道，“请在棋盘的第一个格子里放一粒小麦，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒。每个格子里的小麦数量是前一个格子的两倍，这样填满整张棋盘的64个格子。噢，我的王，这就是我要的奖赏。”

“哦，我忠诚的仆人，你要的的确不多。”国王暗自得意。象棋太神奇了！为了奖励这个游戏的发明者，他做出了慷慨的姿态，最后却所费不多，真是皆大欢喜。于是他说，“你的要求当然会得到满足。”然后他命令卫士送来了一袋麦子。

不过等到他们真正开始数的时候——第一个格子1粒麦子，第二个格子2粒，第三个格子4粒，以此类推——还没填满20个格子，袋子就空了。卫士们送来了一袋又一袋麦子，但每个格子需要的麦粒数量增长得太快，没过多久国王就明白过来：全印度的庄稼加起来都不够发放他许给西萨·本的奖赏。要填满64个格子，他们一共需要18,446,744,073,709,551,615粒麦子！ ^[3]

这个数没有宇宙总原子数那么大，但也不算小了。假设1蒲式耳 麦子约有5,000,000颗麦粒，那要满足西萨·本的要求，舍罕王需要4万亿蒲式耳麦子。考虑到全世界每年的小麦产量大约为2,000,000,000蒲式耳，那么大维齐尔要求的麦粒数量约等于 全世界两千年的小麦总产量 ！

就这样，舍罕王发现自己欠了大维齐尔一大笔债，现在他只有两个选择：要么慢慢还债，要么砍掉这只老狐狸的头。我们估计他很可能会选择后者。

另一个关于极大数字的故事同样来自印度，它牵涉一个关于“世界末日”的问题。爱好数学的历史学家W.W.R.鲍尔（W.W.R. Ball）是这样说的： ^[4]

在贝拿勒斯那座伟大的神庙里，代表世界中心的穹顶之下安放着一块铜板，铜板上镶有3根高1腕尺（约等于20英寸）、蜜蜂身体一般粗的金刚石针。神在创世时将64张纯金圆片安放在其中一根针上，最大的金片直接放置在铜板上，其余金片依次堆叠，逐渐缩小，这就是梵塔。值守的僧侣夜以继日、从不停歇地将这些金片从一根金刚石针转移到另一根金刚石针上。至于梵塔如何转移，神定下了不可更改的铁律：僧侣每次只能移动一张金片，所有金片必须安放在金刚石针上，较小的金片绝不能放在比它大的金片下面。等到全部64张金片都从创世时神安放的那根针转移到另一根针上面，塔、神庙和婆罗门都将化为尘埃，世界也将在轰鸣的霹雳中归于寂灭。

我们在图3中描绘了这个故事讲述的场景，只不过这里画出的圆片数量比较少。你可以用普通的硬卡纸和长铁钉代替金片和金刚石针，模仿印度传说做个类似的解谜玩具。不难发现，按照移动金片的通用规则，每一张金片需要的移动次数都是前一张的两倍。第一张金片只需要移动一次，但后面每张金片需要的移动次数将以几何级数增长，等到全部64张金片转移完毕，僧侣移动金片的总次数正好等于西萨·本·达希尔索要的麦粒数！ ^[5]

将梵塔的64张金片从一根金刚石针转移到另一根针到底需要多久？假设僧侣不分昼夜连轴转，既不休息也不度假，每秒移动一次金片；考虑到一年大约有31,558,000秒，那么完成这项任务大约需要 5800亿年 多一点儿。

有趣的是，我们可以比较一下这个传说预言的“世界末日”和现代科学预测的宇宙寿命。根据现有的宇宙演化理论，恒星、太阳和包括地球在内的行星大约是在30亿年前凝聚成形的。 我们还知道，为恒星（尤其是我们的太阳）提供能量的“原子燃料”大约还能支撑100亿年到150亿年（见第十一章“创世年代”）。因此，宇宙的总寿命必然小于200亿年，和印度传说预言的5800亿年根本无法相提并论！不过，那毕竟只是个传说！

文献记录中提到过的最大数字可能来自著名的“印刷行数问题”。假设我们有一台可以持续工作的印刷机，它印出来的每一行内容都是从字母表和其他印刷符号中自动挑选出来的不同组合。这台机器内装有多个独立的圆盘，每个圆盘边缘都刻着整套的字母和符号。组合起来的圆筒运动方式类似汽车上的里程表：后面的圆盘每转动一圈，前一位的圆盘就会转动一格。滚筒将纸张源源不断地送入印刷机，圆筒转动一次，纸上就会印出相应的一行。这样的自动印刷机制造起来应该不难，它看起来差不多就是图4的样子。

现在我们打开这台机器，看看它能印出些什么。大部分内容完全不知所云，它们看起来是这样的：

“aaaaaaaaaaa……”

或者

“boobooboobooboo……”

又或者：

“zawkporpkossscilm……”

不过既然这台机器能穷尽所有可能的字母和符号组合，那么在连绵不断的毫无意义的垃圾中，我们终将找到一些有意义的句子。当然，很多句子完全没用，例如：

“马有六条腿，然后……”

或者

“我喜欢用松节油煮苹果……”

但只要细心检查，我们必将找到莎士比亚写下的每一行诗句，包括那些被他自己扔进废纸篓的作品！

事实上，这样一台自动印刷机必将印出自人类学会写字以来 所有人写过的所有东西 ：每一行散文和诗歌、每张报纸上的每一篇社论和广告、每一部沉闷的科学论著、每一封情书、每一张留给送奶工的纸条……

除此以外，这台机器还将印出未来的 人们将要写下的所有东西 。我们将在圆盘印出的纸张上找到30世纪的诗歌、未来的科学发现、第500届美国国会的演讲稿，以及2344年的行星际交通事故报告。我们将看到尚未被人类之手写出的无数短篇故事和长篇小说，要是出版商的地下室里有这么一台机器，那他们只需要从大量垃圾里挑出这些佳作进行编辑就好——反正他们现在也是这么干的。

那我们为什么不能这样做呢？

呃，我们不妨算一算，要穷尽字母和印刷符号的所有组合，这台机器到底要印多少行？

英语字母表中共有26个字母，除此以外还有10个数字（从0到9）和14个常见标点（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、中括号、小括号和大括号），加起来一共是50个符号。假设这台机器共有65个圆盘，也就是说，每行可以印65个符号。每一行的第一个符号都是随机选择的，因此共有50种可能，第二个符号同样有50种可能，于是两个符号的组合共有50×50=2500种可能。对于任意给定的双符号组合，第三个符号又有50种可能，以此类推。所以，每一行可能的符号组合可以表达为：

50×50×50×……×50（65个50相乘），或者50 ⁶⁵ ，也就是10 ¹¹⁰ 。

为了感受一下这个数字到底有多大，不妨假设宇宙中的每个原子都是一台印刷机，现在我们有了3×10 ⁷⁴ 台同时工作的印刷机。再进一步假设所有机器都从宇宙诞生的那一刻开始工作，时至今日，它们已经运转了30亿年，或者10 ¹⁷ 秒；如果这些印刷机的工作效率等于原子的振动频率，也就是说，每秒印刷10 ¹⁵ 行，那么截至目前，它们加起来大约印出了3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ =3×10 ¹⁰⁶ 行——差不多完成了总任务的三千分之一。

是的，想从这些自动印刷的材料里面挑出任何东西，你都得花很多很多时间！

2
无穷大有多大

上一节中我们讨论了数字，其中很多数字相当大。尽管这些数字界的巨无霸（例如西萨·本要求的麦粒数量）大得超乎想象，但它们依然是有限的，只要有足够的时间，你总能将它数到最后一位。

但世界上还有一些真正“无穷大”的数字，无论你花多少时间都写不完。比如说，“所有数字的数量”显然无穷大，同样的还有“一条线上所有几何点的数量”。除了“无穷大”以外，你还能用什么办法来描述这样的数字？或者说，我们能不能比较两个不同的“无穷数”，看看它们谁“更大”？

“所有数字的数量和一条线上所有点的数量，这两个数到底哪个大？”我们能这样问吗？著名数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）头一次认真审视了这些被视作异想天开的问题，他是当之无愧的“无穷数学”奠基者。

要比较“无穷数”的大小，我们首先会遇到一个问题：这些数字，我们既无法描述，也无法数清。这就像一位霍屯督人打算清点自己的财产，看看是玻璃珠更多还是铜币更多。但是，你应该记得，霍屯督人最多只能数到3。那么他是不是应该放弃比较玻璃珠和铜币的数量，因为这两个数他都数不清？不一定。如果这位土著足够聪明，他应该能想到，可以把玻璃珠子和铜币拿出来一对一地比较。他可以在一枚铜币旁边放一颗玻璃珠，然后在第二枚铜币旁放下第二颗玻璃珠，以此类推，周而复始……如果玻璃珠用光了，但铜币还有剩余，那么他就会知道，铜币比玻璃珠多；要是铜币没了，玻璃珠还没用完，那就是玻璃珠更多；如果二者正好相等，那么玻璃珠和铜币一样多。

这就是康托尔提出的比较两个“无穷数”的方法：我们可以对两组无穷数进行配对，每个集合里的一个元素分别对应另一个集合里的一个元素，如果最后它们正好一一对应，任何一个集合都没有多余的元素，那么这两个数的大小相等；但是，如果两组无穷数无法一一对应，某个集合中存在无法配对的剩余元素，那么我们可以说，这个集合的无穷数更大，或者更强。

这显然是最合理的办法。事实上，要比较无穷大的数字，我们也只有这个办法；但是，如果你真的打算采用这种办法，那你得做好大吃一惊的准备。比如说，奇数的数量和偶数的数量都是无穷大，我们先来比较一下这两个无穷数。当然，出于直觉，你肯定认为这两个数相等，它们也完全符合我们刚才描述的规律，奇数和偶数可以列成一对一的组合：

在这张表格中，每个偶数都有一个对应的奇数，反之亦然；因此，奇数的数量和偶数的数量是两个相等的无穷数。看起来真的非常简单自然！

不过，请稍等一下。下面两个数你觉得哪个更大：所有数字（包括奇数和偶数）的数量和偶数的数量？你当然会说，肯定是所有数字的数量更大，因为除了偶数以外，它还包含了奇数。不过这只是你的直觉，要找到准确答案，你得严格按照我们上面描述的方法来比较这两个无穷数。这样一来，你会惊讶地发现，你的直觉错了。事实上，所有数字的集合和只有偶数的集合也能做成一张一一对应的表格：

根据无穷数的比较规则，我们只能说，偶数的数量和所有数的数量是两个相等的无穷数。这听起来当然很矛盾，因为偶数只是所有数字的一部分，但我们必须记住，这里讨论的是无穷数，所以我们只能做好准备，直面它们的古怪特性。

事实上，在无穷数的世界里， 部分可能等于整体！ 这方面最好的例子大概是德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）讲的一个故事。据说希尔伯特曾在开讲座的时候这样描述无穷数的矛盾特性：

“我们不妨想象一家旅馆，它的房间数量是有限的。现在所有房间都住满了，一位新来的客人想要一个房间，‘对不起，’店主回答，‘但我们已经客满了。’接下来，我们再想象一家拥有 无穷多个 房间的旅馆，所有房间同样住满了。这家旅馆也来了一位想住店的新客人。

“‘当然可以！’店主热情地喊道。于是他将原来住在N1号房的客人挪到N2号房，N2号房的客人挪到N3，N3的挪到N4，以此类推……最后新客人住进了刚刚腾出来的N1号客房。

“现在我们继续想象，一家旅馆拥有无穷多个房间，现在来了无穷多个想住店的新客人。

“‘没问题，先生们，’店主回答，‘稍等一下。’

“他让N1号房的客人挪到N2号房，N2的挪到N4，N3的挪到N6，以此类推……

“现在所有奇数号的房间都空了出来，无穷多位客人轻轻松松就安置了下来。”

呃，哪怕在战时的华盛顿，要想象希尔伯特描述的这种情况也并不容易，但这个故事抓住了问题的重点： 无穷大的数字的确拥有一些不同于普通数字的古怪特性。

根据康托尔的“无穷数比较法则”，我们现在还能证明分数（例如3/7或者735/8）的数量等于整数的数量。事实上，我们可以根据如下规则将所有分数排成一行：先写下分子与分母之和等于2的分数，这样的分数只有一个：1/1；然后写下分子分母之和等于3的分数：2/1和1/2；接下来是分子分母和为4的：3/1，2/2，1/3。以此类推，最终我们将得到一个包含了所有分数的无限长的数列（见图5）。现在，我们在这个数列上方写下整数数列，让这个数列中的每个项和分数数列一一对应。最后你会发现，分数的数量和整数的数量相等！

“呃，听起来是不错，”你也许会说，“不过简而言之，这不就是说 所有无穷数 都相等吗？如果真是这样的话，比较它们的大小又有什么意义？”

不，你想得不对。事实上，你可以轻而易举地找到比分数和整数的数量更大的无穷数。

我们不妨回顾一下刚才提过的一个问题：一条线上所有点的数量和所有数字的数量，这两个数到底哪个大？你会发现，这两个无穷数并不相等，一条线上的点比整数或者分数的数量多得多。要证明这一点，我们不妨在一条线（比如说一条1英寸长的线）和整数数列之间建立一一对应的关系。

每个点在线上的位置可以描述为它与线段某端之间的距离，这段距离又可以记作一个无限小数，例如0.7350624780056……或者0.38250375632…… 因此，我们比较的对象变成了整数的数量和无限小数的数量。现在不妨思考一下，我们在这里提到的无限小数，和3/7或者8/277之类的分数有什么区别？

你肯定记得数学课上讲过，每个分数都能化作一个有限小数或者一个无限循环小数。因此，2/3=0.66666…=0.(6)，3/7=0.428571 | 428571 | 428571 | 4…=0.(428571)。前面我们已经证明了分数数量等于整数数量，因此无限循环小数的数量必然也等于整数数量。但是，一条线上的点不一定都能用无限循环小数来描述，事实上，大多数时候，点的位置对应的是一个无限不循环小数。你很容易发现，在这种情况下，两个数列不可能一一对应。

假如有人宣称他能完成这样的对应，那他应列出如下对应关系：

当然，因为我们不可能真的写出无穷多个无限小数的每一位数，那么这张表的作者必然有自己的一套排列法则（就像我们之前排列分数那样），这样才能保证涵盖你能想到的任何一个小数。

呃，不难证明，任何排列法则都保证不了这样的事情，因为我们随时可以写出一个无限小数，它 绝对不属于 这张没有尽头的表。这是怎么做到的？噢，简单极了。你只需要写一个这样的小数：它在小数点后的第一位不等于N1的小数点后第一位，第二位不等于N2的小数点后第二位，以此类推。最后你得到的数字大概是这样的：

无论往下翻多少行，你绝对无法在表格中找到这个数字。事实上，要是这位作者告诉你，你写下的小数出现在表格的第137行（或者其他任何一行），你可以马上回答：“这不可能，因为表格中第137行的数字小数点后第137位和我这个数不一样。”

因此，一条线上的点和整数之间无法建立一一对应的关系，这意味着 一条线上点的数量大于，或者说强于所有整数或分数的数量 。

我们刚才讨论的点来自一条“1英寸长”的线，不过现在，根据“无穷数学”，我们可以轻松证明，同样的结论适用于任意长度的线。事实上， 无论线的长度是1英寸、1英尺还是1英里，它拥有的点的数量完全相等。 为了证明这一点，我们只需要看看图6，这幅示意图比较了两条长度不同的线段AB和AC拥有的点的数量。为了在两条线段之间建立一一对应的关系，我们从其中一条线段上的每一个点出发，画了一组无穷多条的平行线，每条平行线与两条线段的交点分别是D和D ¹ ，E和E ¹ ，F和F ¹ ，以此类推。AB上的每一个点在AC上都有对应的一点，反之亦然。因此，根据无穷数的比较法则，两条线段拥有的点的数量完全相等。

遵循同样的原则，我们还有一个惊人的发现： 一个平面上的所有点的数量等于一条线上的所有点的数量。 为了证明这一点，我们不妨画一条1英寸长的线段AB和一个正方形CDEF（图7）。

线段AB上每一个点的位置都能用一个数字来描述，譬如0.75120386……我们可以取小数点后的奇数位和偶数位，分别组成两个数字，即0.7108……和0.5236……

现在用这两个数分别代表正方形内某个点的横坐标和纵坐标，于是我们得到了平面内的一个“对应点”。反之，如果平面内某个点的横坐标和纵坐标分别是0.4835……和0.9907……，那么将这两个数字融合在一起，我们同样可以得到线段AB上的对应点：0.49893057……

显然，通过这样的方法，我们在这两组点之间建立了一一对应的关系。线段上的每一个点在平面内都有一个对应点，反之亦然，双方都不会落下哪怕一个点。因此，按照康托尔的标准，平面内所有点的数量等于线上所有点的数量。

通过类似的方式，我们也很容易证明，立方体内所有点的数量等于平面或线段内所有点的数量。要完成这个任务，我们只需要把最初的那个小数分成三个部分 ^[6] ，再用这三个点作为坐标来寻找立方体内的“对应点”。进一步说，既然两条任意长度的线段拥有的点数量相等，那么任意正方形和立方体（无论大小）拥有的点数量也完全相等。

虽然几何点的数量大于整数和分数的数量，但它还不是数学家所知的最大的数。事实上，我们发现， 曲线的种类（包括那些形状最不同寻常的曲线）大于几何点的数量，因此我们必须用无穷数列的第三个数来描述它。

“无穷数学”的奠基者格奥尔格·康托尔提出，我们可以用希伯来字母ℵ（aleph）来描述无穷大的数字，字母右下方的角标代表该数字在无穷数列中的位置。于是我们得到了这样一个数列（包括无穷数！）：

1，2，3，4，5，……ℵ₀，ℵ₁，ℵ₂，ℵ₃……

现在我们可以说，“一条线上有ℵ₁个点”，或者“曲线共有ℵ₂种”，就像平时我们说“世界分为7个部分”或者“一副牌有52张”一样。（见图8）

在无穷数的话题结束之前，我们必须指出，无穷数的增长速度极快，很快就会超越任何我们能想到的集合。我们知道，ℵ₀代表所有整数的数量，ℵ₁代表所有几何点的数量，ℵ₂代表曲线的所有种类，但截至目前，还没有任何人能找到可以记作ℵ₃的集合。看来前三个无穷数足以穷尽我们能想到的一切事物，所以我们现在的处境和那位有很多儿子却只能数到3的霍屯督老朋友正好相反！

[1] 截至2018年，可观测宇宙的原子总数量约为10 ⁸⁰ 个，你可以看看这个数字比伽莫夫的时代又增长了多少倍。（译注）

[2] 如果用我们习惯的方法来表示的话，这个数应该是：一千万（10,000,000）×第二级单位（100,000,000）×第三级单位（100,000,000）×第四级单位（100,000,000）×第五级单位（100,000,000）×第六级单位（100,000,000）×第七级单位（100,000,000）×第八级单位（100,000,000），或者简单记作10 ⁶³ （也就是1后面63个0）。

[3] 聪明的大维齐尔索要的麦粒数量可以表达为下面这个式子：1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +……+2 ⁶² +2 ⁶³ 。在数学中，一连串以相同倍数（这个式子里的倍数是“2”）不断增长的数字被称为等比数列。我们可以证明，等比数列中所有数字之和等于公比（这里是2）的项数次幂（64）减去第一项（1），再除以公比减1，数学式如下： ，最终答案是：18,446,744,073,709,551,615。

[4] W.W.R.鲍尔，《数学游戏与欣赏》（ Mathematical Recreation and Essays ，麦克米伦公司，纽约，1939）。

[5] 如果需要移动的金片只有7张，那么总的移动次数等于：1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +……，也就是2 ⁷ −1=2×2×2×2×2×2×2−1=127。如果你移动金片的速度很快，而且从不犯错，那么完成任务大约需要一个小时。但要是有64张金片，那么需要移动的总次数等于：2 ⁶⁴ −1=18,446,744,073,709,551,615。正好等于西萨·本·达希尔索要的麦粒数量。

[6] 比如说，0.735106822548312……
可以分割成
0.71853……
0.30241……
0.56282…… rgqJW6EtilvPU80ZOpSMpvm4shXwFUgzA3dZLDrC7TrGad/wiHbjorH/UG+PgQUy