1.1　流体力学基础

本节将介绍流体力学一些重要的基础知识，包括流体力学的基本概念和基本方程。流体力学是进行流体力学工程计算的基础，如果想对计算的结果进行分析与整理，在设置边界条件时有所依据，那么学习流体力学的相关知识是必要的。

1.1.1　一些基本概念

（1）流体的密度

流体密度的定义是单位体积内所含物质的多少。若密度是均匀的，则有：

式中： p 为流体的密度； M 是体积为 V 的流体内所含物质的质量。

由上式可知，密度的单位是kg/m ³ 。对于密度不均匀的流体，其某一点处密度的定义为：

例如，4℃时水的密度为1000kg/m ³ ，常温20℃时空气的密度为1.24kg/m ³ 。各种流体的具体密度值可查阅相关文献。

（2）流体的重度

流体的重度与流体密度有一个简单的关系式，即：

式中： g 为重力加速度，值为9.81m/s ² 。流体的重度单位为N/m ³ 。

（3）流体的比重

流体的比重定义为该流体的密度与4℃时水的密度之比。

（4）流体的粘性

在研究流体流动时，若考虑流体的粘性，则称为粘性流动，相应地称流体为粘性流体；若不考虑流体的粘性，则称为理想流体的流动，相应地称流体为理想流体。

流体的粘性可由牛顿内摩擦定律表示：

非牛顿流体有以下3种不同的类型。

• 塑性流体，如牙膏等。塑性流体有一个保持不产生剪切变形的初始应力τ ₀ ，只有克服了这个初始应力，其切应力才与速度梯度成正比，即：

• 假塑性流体，如泥浆等。其切应力与速度梯度的关系是：

• 胀塑性流体，如乳化液等。其切应力与速度梯度的关系是：

（5）流体的压缩性

流体的压缩性是指在外界条件变化时，其密度和体积发生了变化。这里的条件有两种，一种是外部压强产生了变化；另一种是流体的温度发生了变化。

①流体的等温压缩率为 β ，当质量为 M 、体积为 V 的流体外部压强发生Δ p 的变化时，体积会发生Δ V 的变化。定义流体的等温压缩率为：

这里的负号是考虑到Δ p 与Δ V 总是符号相反；β的单位为1/Pa。流体等温压缩率的物理意义为当温度不变时，每增加单位压强所产生的流体体积的相对变化率。

考虑到压缩前后流体的质量不变，上面的公式还有另一种表示形式，即：

气体的等温压缩率可由气体状态方程求得：

②流体的体积膨胀系数为，α当质量为 M 、体积为 V 的流体温度发生Δ T 的变化时，体积会发生Δ V 的变化。定义流体的体积膨胀系数为：

考虑到膨胀前后流体的质量不变，上面的公式还有另一种表示形式，即：

这里的负号是考虑到随着温度的增高，体积必然增大，而密度必然减小；α的单位为1/K。体积膨胀系数的物理意义为当压强不变时，每增加单位温度所产生的流体体积的相对变化率。

气体的体积膨胀系数可由气体状态方程求得：

③在研究流体流动过程时，若考虑到流体的压缩性，则称为可压缩流动，相应地称流体为可压缩流体，如相对速度较高的气体流动。若不考虑流体的压缩性，则称为不可压缩流动，相应地称流体为不可压缩流体，如水、油等液体的流动。

（6）液体的表面张力

液体表面相邻两部分之间的拉应力是分子作用力的一种表现。液面上的分子受液体内部分子吸引而使液面趋于收缩，表现为液面任何两部分之间具体的拉应力，称为表面张力，其方向和液面相切，并与两部分的分界线相垂直。单位长度上的表面张力用σ表示，单位是N/m。

（7）质量力和表面力

作用在流体微团上的力可分为质量力与表面力。

①与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质量中心的力称为质量力。比如在重力场中的重力 mg 、直线运动的惯性力 ma 等。

质量力是一个矢量，一般用单位质量所具有的质量力表示，形式如下：

式中： f _x 、 f _y 、 f _z 为单位质量力在、 x、y、z 、轴上的投影，或简称为单位质量分力。

②大小与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力。表面力按其作用方向可以分为两种：一种是沿表面内法线方向的压力，称为正压力；另一种是沿表面切向的摩擦力，称为切应力。

作用在静止流体上的表面力只有沿表面内法线方向的正压力。单位面积上所受到的表面力称为这一点处的静压强。静压强有两个特征：

• 静压强的方向垂直指向作用面。
• 流场内一点处静压强的大小与方向无关。

（8）绝对压强、相对压强与真空度

一个标准大气压的压强是760mmHg，相当于101325Pa，通常用 p _atm 表示。若压强大于大气压，则以此压强为计算基准得到的压强称为相对压强，也称为表压强，通常用 p _r 表示。

若压强小于大气压，则压强低于大气压的值称为真空度，通常用 p _v 表示。

如果以压强0Pa为计算的基准，那么这个压强称为绝对压强，通常用 p _s 表示。

三者的关系如下：

（9）静压、动压和总压

对于静止状态下的流体，只有静压强；对于流动状态的流动，有静压强、动压强和总压强之分。

在一条流线上，流体质点的机械能是守恒的，这就是伯努里（Bernoulli）方程的物理意义。对于理想流体的不可压缩流动，表达式如下：

式中： p/pg 称为压强水头，也是压能项， p 为静压强；v ² / g 称为速度水头，也是动能项； z 称为位置水头，也是重力势能项；这三项之和就是流体质点的总机械能； H 称为总的水头高。

若把上式的等式两边同时乘以 pg ，则有：

式中： p 称为静压强，简称静压； 称为动压强，简称动压，也是动能项； pgH 称为总压强，简称总压。

1.1.2　流体流动的分类

流体流动按运动形式分：若 ，则流体做无旋运动；若 ，则流体做有旋运动。

流体流动按时间变化分：若 ，则流体做定常运动；若 ，则流体做不定常运动。

流体流动按空间变化分：流体的运动有一维运动、二维运动和三维运动。

1.1.3　边界层和物体阻力

（1）边界层

对于工程实际中大量出现的大雷诺数问题，应该分成两个区域：外部势流区域和边界层区域。

对于外部势流区域，可以忽略粘性力，因此可以采用理想流体运动理论解出外部流动，从而知道边界层外部边界上的压力和速度分布，并将其作为边界层流动的外边界条件。

在边界层区域必须考虑粘性力，而且只有考虑了粘性力才能满足粘性流体的粘附条件。边界层虽小，但是物理量在物面上的分布、摩擦阻力及物面附近的流动都和边界层内流动有联系，因此非常重要。

描述边界层内粘性流体运动的是N-S方程。由于边界层厚度 δ 比特征长度小很多，而且 x 方向速度分量沿法向的变化比切向大得多，因此N-S方程可以在边界层内做很大的简化，简化后的方程称为普朗特边界层方程，它是处理边界层流动的基本方程。边界层示意图如图1-1所示。

大雷诺数边界层流动的性质：边界层的厚重较物体的特征长度小得多，即 δ/L （边界层相对厚度）是一个小量。边界层内粘性力和惯性力同阶。

对于二维平板或楔边界层方程，通过量阶分析得到：

边界条件： 在物面 y =０上 u = v =0，在 y =δ或 y →∞时 u = U(x) 。

初始条件： t = t ₀ ，已知 u 、 v 的分布。

对于曲面物体，应采用贴体曲面坐标系，从而建立相应的边界层方程。

（2）物体阻力

阻力是由流体绕物体流动所引起的切向应力和压力差造成的，故阻力可分为摩擦阻力和压差阻力两种。

• 摩擦阻力是指作用在物体表面的切向应力在来流方向上的投影的总和，是粘性直接作用的结果。
• 压差阻力是指作用在物体表面的压力在来流方向上的投影的总和，是粘性间接作用的结果，是由于边界层的分离在物体尾部区域产生尾涡而形成的。压差阻力的大小与物体的形状有很大关系，故又称为形状阻力。

摩擦阻力与压差阻力之和称为物体阻力。

物体的阻力系数由下式确定：

式中： A 为物体在垂直于运动方向或来流方向的截面积。例如，对于直径为 d 的小圆球的低速运动来说，阻力系数为：

式中： ，在Re<1时，计算值与试验值吻合得较好。

1.1.4　层流和湍流

自然界中的流体流动状态主要有两种形式，即层流和湍流。在许多中文文献中，湍流也被译为紊流。层流是指流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，湍流是普通的，而层流属于个别情况。

对于圆管内流动，当Re≤2300时，管流一定为层流；当Re≥8000~12000时，管流一定为湍流；当2300<Re<8000时，流动处于层流与湍流间的过渡区。

因为湍流现象是高度复杂的，所以至今还没有一种方法能够全面、准确地对所有流动问题中的湍流现象进行模拟。在涉及湍流的计算中，都要对湍流模型的模拟能力和计算所需的系统资源进行综合考虑，再选择合适的湍流模型进行模拟。

Fluent中采用的湍流模拟方法包括Spalart-Allmaras模型、Standard K-Epsilon模型、RNG（重整化群）K-Epsilon模型、Realizable K-Epsilon模型、v2-f模型、RSM（Reynolds Stress Model，雷诺应力模型）和LES（Large Eddy Simulation，大涡模拟）方法。

1.1.5　流体流动的控制方程

流体流动要受物理守恒定律的支配，基本的守恒定律包括质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。

如果流动包含不同成分的混合或相互作用，系统还要遵守组分守恒定律。如果流动处于湍流状态，系统还要遵守附加湍流输运方程。控制方程是这些守恒定律的数学描述。

（1）质量守恒方程

任何流动问题都必须满足守恒定律。该定律可表述为：单位时间内流体微元体中质量的增加，等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量。按照这一定律，可以得出质量守恒方程：

该方程是质量守恒方程的一般形式，适用于可压流动和不可压流动。源项 _m S 是从分散的二级相中加入到连续相的质量（比如由于液滴的蒸发），源项也可以是任何自定义源项。

（2）动量守恒方程

动量守恒定律也是任何流动系统都必须满足的基本定律。该定律可表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和。

该定律实际上是牛顿第二定律。按照这一定律，可导出动量守恒方程：

式中： p 为静压；τ _ij 为应力张量； g _i 和 F _i 分别为 i 方向上的重力体积力和外部体积力（如离散相互作用产生的升力）， F _i 包含其他模型相关源项，如多孔介质和自定义源项。

应力张量由下式给出：

（3）能量守恒方程

能量守恒定律是包含有热交换的流动系统必须满足的基本定律。该定律可表述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体积力与表面力对微元体所做的功。该定律实际是热力学第一定律。

流体的能量 E 通常是内能 i 、动能 和势能 P 三项之和，内能 i 与温度 T 之间存在一定关系，即 i = c _p T ，其中 c _p 是比热容。可以得到以温度 T 为变量的能量守恒方程：

式中： c _p 为比热容； T 为温度； k 为流体的传热系数； S _T 为流体的内热源及由于粘性作用流体机械能转换为热能的部分，有时简称 S _T 为粘性耗散项。

1.1.6　边界条件与初始条件

对于求解流动和传热问题，除了使用上述介绍的三大控制方程外，还要指定边界条件；对于非定常问题，还要指定初始条件。

边界条件就是在流体运动边界上控制方程应该满足的条件，一般会对数值计算产生重要影响。即使对于同一个流场的求解，方法不同，边界条件和初始条件的处理方法也是不同的。

在CFD模拟计算时，基本的边界类型包括以下几种：

（1）入口边界条件

入口边界条件就是指定入口处流动变量的值。常见的入口边界条件有速度入口边界条件、压力入口边界条件和质量流量入口边界条件。

速度入口边界条件： 用于定义流动速度和流动入口的流动属性相关的标量。这一边界条件适用于不可压缩流，如果用于可压缩流会导致非物理结果，这是因为它允许驻点条件浮动。应注意不要让速度入口靠近固体妨碍物，因为这会导致流动入口驻点属性具有太高的非一致性。

压力入口边界条件： 用于定义流动入口的压力和其他标量属性。既适用于可压流，又适用于不可压流。压力入口边界条件可用于压力已知但是流动速度和/或速率未知的情况。这一情况可用于很多实际问题，如浮力驱动的流动。压力入口边界条件也可用来定义外部或无约束流的自由边界。

质量流量入口边界条件： 用于已知入口质量流量的可压缩流动。在不可压缩流动中不必指定入口的质量流量，因为密度为常数时，速度入口边界条件就确定了质量流量条件。当要求达到的是质量和能量流速而不是流入的总压时，通常使用质量入口边界条件。

（2）出口边界条件

压力出口边界条件： 压力出口边界条件需要在出口边界处指定表压。表压值的指定只用于亚声速流动。如果当地流动变为超声速，就不再使用指定表压，此时压力要从内部流动中求出，包括其他流动属性。

在求解过程中，如果压力出口边界处的流动是反向的，回流条件也需要指定。如果对于回流问题指定了比较符合实际的值，收敛性困难问题就会不明显。

质量出口边界条件： 当流动出口的速度和压力在解决流动问题之前未知时，可以使用质量出口边界条件模拟流动。需要注意，如果模拟可压缩流或包含压力出口时，不能使用质量出口边界条件。

（3）固体壁面边界条件

对于粘性流动问题，可设置壁面为无滑移边界条件，也可以指定壁面切向速度分量（壁面平移或旋转运动时），给出壁面切应力，从而模拟壁面滑移。可以根据当地流动情况计算壁面切应力和与流体换热情况。壁面热边界条件包括固定热通量、固定温度、对流换热系数、外部辐射换热、对流换热等。

（4）对称边界条件

对称边界条件应用于计算的物理区域是对称的情况。在对称轴或对称平面上没有对流通量，因此垂直于对称轴或对称平面的速度分量为0。在对称边界上，垂直边界的速度分量为0，任何量的梯度为0。

（5）周期性边界条件

如果流动的几何边界、流动和换热是周期性重复的，那么可以采用周期性边界条件。

1.1.7　流体力学专业词汇

由于大多数CFD商用软件都是英文版，因此为了方便用户使用查询，本节对流体力学中主要专业词汇的中英文对照进行汇总，详见表1-1。