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现在我们来看数论领域的一项重要结论。
定理5.3（费马小定理） 如果p是素数，那么对于满足0＜a＜p的任何一个a来说，a p-1 -1都可以为p所整除。
费马在1640年说他可以证明这个定理，但没有发表证明过程。莱布尼兹也在1676年至1680年间发现了一种证法，然而同样没有发表。最后，欧拉在1742年及1750年分别发表了两种不同的证明方式。我们接下来就要证明这个定理，但是在证明之前必须先推导出其他几项结论，尽管这些结论起初看上去似乎与该定理无关，但是稍后它们就会以某种方式汇聚起来。
莱昂哈德·欧拉（Euler读作“OILer”）生在瑞士一个有教养的中产家庭。他是个全能的天才学生，有着超强的记忆力，跟随他父亲的朋友约翰·伯努利（Johann Bernoulli）学习数学。伯努利是那个时代的伟大数学家，他是莱布尼兹的学生，与其一起创立了微积分。
俄国沙皇彼得大帝（Peter the Great）与其继任者在18世纪的绝大部分时间内，都致力于对俄国的社会及文化进行重大改革，令其得以“欧化”（Europeanized）。其中有一项改革成果是在圣彼得堡创建科学院，并聘请欧洲学者过来做研究。1727年，20岁的欧拉开始在这里研究数学，经过十年的时间，他在数学、机械乃至造船等领域，取得了很大的成就，成为欧洲一流的科学家。等到腓特烈二世（Frederick the Great）在1741年邀请他到柏林工作时，欧拉已经是一位国际知名人物了。在那个时代，各国的王公都喜欢同科学家以及其他一些知识人打交道，并把这看成提升自己名望的重要手段。欧拉在柏林工作的时候，法国与俄国的王室都想把欧拉争取过来。最后，他于1766年返回圣彼得堡，并在那里渡过余生。
欧拉对数学（及物理）有很多贡献。他在各个领域都取得了成果，例如创建了现代的图论（graph theory），并在数论领域做出了重要的发现。然而其最为伟大的成就则是推动了现代数学分析（也就是微积分及微分方程）的发展，他把牛顿与莱布尼兹等人所提出的零散技巧总结成了系统的学科。欧拉写了三本与微积分有关的书，分别是《无穷小分析引论》（Introduction to Analysis of the Infinite）、《微分》（Differential Calculus）以及《积分》（Integral Calculus），这三本书在将近一个世纪的时间里，一直都用作权威教材，而且直到今天，依然值得我们仔细去研究。
欧拉写了第一本科普书，叫做《给德国公主的信》（Letters to a German Princess），他在书中向普通读者解释了牛顿学说的世界观。此外，他还写了一本给非数学专业的读者所看的初等代数教程，这本书至今仍在印制。
欧拉是一位多产的作家，他去世之后，俄罗斯科学院用了六十多年才把他提交的全部作品出齐。欧拉可以说是那个时代最为伟大的数学家，而且在两百多年之后的今天，我们依然可以引用拉普拉斯（Laplace）的话，将他称为“我们所有人中的大师”。
准备工作的第一个步骤，是证明由欧几里得所提出了另外一条命题：
定理5.4（《几何原本》第7卷第30号命题） 小于素数p的两个整数相乘，其乘积不能为p所整除。（该命题也可以说成：若p为素数，且a与b均小于p，则ab不能为p所整除。）如果x这个数可以为y所整数，那么x就是y的倍数，也就是说：x=my。反之，若x不能为y所整除，则两数相除必然留下余数r，也就是说：x=my+r。因此，这个命题可以重新叙述成下面这样：
证明 假设有一个与该命题相矛盾的命题成立，也就是说，ab确实是p的倍数。那么，对于给定的a来说，我们选取最小的整数b，使得ab=mp能够成立。由于p是素数，因此，p除以b之后，必然留下一个小于b的余数v：
将等式两边同时乘以a，并将ab替换为mp，就可以得到：
这意味着，有一个比b还要小的整数v能够使av成为p的倍数。这与“b是使得ab=mp成立的最小整数”这一设定相矛盾。因此，假设不成立，也就是说，ab不能为p所整除。
这种证明方式是古希腊数学的惯用手法，也就是先做出某种假设，并选出符合该假设的最小数值，然后推出还有另外一个数比它更小，从而导致矛盾。
接下来，我们证明一条与余数有关的结论：
引理5.1（余数排列引理） 如果p是素数，那么对于满足0＜a＜p的任何一个a来说，都有：
其中：
换句话说，如果把从1a到（p-1）a之间那些a的倍数均表示为qp+r的形式，那么每一个r就都是互不相同的，这些余数r合起来恰好构成了对{1，…，p-1}的一种排列方式。（由于每一个余数都小于p，而且都互不相同，因此，它们恰好能够填满[1，p-1]这个范围。）
比方说，如果p=7且a=4，那么这条引理实际上就是在说：
{4，8，12，16，20，24}={0·7+4，1·7+1，1·7+5，2·7+2，2·7+6，3·7+3}
其中的六个余数是：
{4，1，5，2，6，3}
这恰好是对{1，…，7-1}的一种排列方式。
证明 假设有r i =r j （i＜j），也就是说，其中有两个余数相同，那么就在集合中，考虑与这两者相对应的那两个元素之间的差值。在求差的过程中，r i 和r j 会抵消：
由于集合中的第i个及第j个元素，分别是a与i及a与j的乘积，因此，我们也可以把这两个元素之间的差值，写为aj-ai。这就是说：
然而，这恰恰是ab=mp的形式，它意味着两个比p小的整数相乘，其积可以为p所整除。这与刚才所证明的《几何原本》第7卷第30号命题相矛盾，因此，证明开始处所做的那个假设是不成立的，也就是说，这些余数必定互不相同。