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欧几里得算法在接下来的发展过程中会用到一种大多数古希腊人所没有的概念，那就是0。大家或许听过这样一种说法：古代欧洲社会并没有0这个概念，它是从印度或阿拉伯传来的。其实这种说法并不完全正确。实际上，巴比伦的天文学家早在公元前1500年就开始使用0了，而且还使用了进位计数制（positional number system），但他们所采用的基数是60，而不像商人等其他社会成员那样采用10进制。后者所采用的依然是一种既没有0，又不进位的数制。这样的状态竟持续了好几个世纪。古希腊的天文学家后来学到了巴比伦的计数法，并将其运用在三角学的计算中。可是这种以60为基数的数制依然只会用在这个较小的领域中，而不为社会上的其他人所知。（这些希腊天文学家还开始使用希腊字母omicron来表示0，这个字母的样子很像英文字母“O”。）
另外一个特别奇怪的地方在于，虽然很多古代文明都频繁地在商业活动中使用算盘，但是0这个概念却迟迟没有从天文学进入广大社会。算盘是由很多组纵向排列的石块或珠子所组成的，这些列所表示的实际数值分别是其字面数值的1倍、10倍、100倍……每一颗算珠所代表的值都是10的某个整数次幂。换句话说，古代社会其实已经有了一种能够按位来计数的十进制计算工具，然而0这种写法却要等到一千年之后才得到普及。
到了公元6世纪前后，印度的数学家开始把书面形式的0与十进制位值计数法结合起来，这种写法在公元6～9世纪传到了波斯。阿拉伯学者学会了这种技术，并将其推广到整个阿拉伯帝国。从东部的巴格达到西部的科尔多瓦，许多人都在使用0来计数，然而阿拉伯帝国以外的欧洲人却并不太清楚这一概念，就连与帝国相邻的其他西班牙地区也是如此。这个新颖的概念要到300年之后，才为许多欧洲人所知。
0的突破发生在公元1203年。这一年，比萨的列奥那多（Leonardo Pisano，也称为斐波那契，Fibonacci）出版了一本名为《计算之书》（Liber Abaci）的著作，其中不仅介绍了0与十进制位值计数法，而且首次向欧洲人讲述了算术运算的标准步骤，也就是怎样用竖式来计算加减乘除，这些步骤直到今天依然在小学课堂上传授。我们可以说，列奥那多一举将数学带回了欧洲。
今天的意大利城市比萨（Pisa）可以说是一座内陆型的城市，但它在12世纪和13世纪却是个很大的港口，而且是个海上力量较强的城邦。那个时候的比萨正在与威尼斯（Venice）争夺地中海贸易的垄断权。很多比萨商人沿着海路往来于中东、拜占庭、北非及西班牙之间，比萨政府向各大城市派遣贸易代表，以确保这些贸易活动能够顺利地进行。其中有一位派遣到阿尔及利亚的代表叫做古列尔莫·波那契（Guglielmo Bonacci），他把儿子列奥那多也一同带去了。这个决定改变了数学史的进程。
列奥那多从阿拉伯人那里学到了“印度数字”（Hindu digit），并且在去埃及、叙利亚、西西里、希腊及普罗旺斯办公的途中，继续学习数学。他在《计算之书》中把这些新鲜的数学知识（包括0这一概念）告诉了欧洲人。另外要说的是，这本书并非纯粹的翻译之作，而是第一流的数学作品，因为其中有着很多相当重要的新成果。在这之后，列奥那多还写了几本书，介绍了其他数学领域内的一些知识，其中包括几个世纪以来的某些重要数学成就。
虽然他把自己叫做比萨的列奥那多（Leonardo Pisano），但是19世纪以来，很多人却将其称为斐波那契（Fibonacci），这是filius Bonacci的缩写，意思是波那契之子（son of Bonacci）。
列奥那多的名声传到了神圣罗马帝国的皇帝腓特烈二世那里，他是一位精通多国语言的学者，也是很多科学家及数学家的赞助人，其宫廷位于西西里的巴勒莫。腓特烈组织了一些宫廷数学家来到比萨向列奥那多挑战。列奥那多表现得很好，给这些来访的达官贵人留下了深刻的印象。为了表彰他的卓越贡献，比萨城邦在其晚年向其提供了一份薪水作为奖赏。
比萨的列奥那多后来写了一本《平方数之书》（Liber Quadratorum），这本出版于公元1225年的书籍或许是数论领域在一千四百年中最为优秀的作品。该领域内的上一本经典作品是一千年前的丢番图（Diophantus）所写的，而下一本经典作品则要等到400年之后，才由法国大数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）写出。这本书里面提出了一个问题：
习题4.3
（这道题比较简单） 证明
。
这种问题为什么会把古希腊人给难住呢？因为他们找不到一种必定能够终止的立方根计算过程（实际上，后来有人证明确实不存在这样的过程），所以，对于他们来说，这个问题就变成：“首先，执行一套无尽的流程……”。
列奥那多对这种问题的看法与当前掌握代数知识的中学生相比并没有什么区别，但这种看法放在13世纪却显得特别新颖。他的看法实际上相当于：“就算我不知道怎么计算
也照样可以认为自己已经知道了这个值，而且可以用任意的符号来表示它。”
下面再举列奥那多已经解决的两个例子：
习题4.4 证明下面这条来自《平方数之书》的命题：对于任意的奇平方数x来说，总有偶平方数y，使得x+y也是一个平方数。
习题4.5 （这道题比较难） 证明下面这条来自《平方数之书》的命题：如果x与y都是两个平方之和，则其乘积xy，同样是两个平方之和。（这是一条重要的结论，费马用到了这条结论。）