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决策获胜的概率
有人请你玩以下游戏：在一顶帽子下有三张卡片，一张两面都是黑的，一张两面都是白的，还有一张两面一黑一白，他从里面摸出一张（如果你怕他做手脚，也可以由你来摸），摊到桌面上，当然，朝上这一面有可能是黑的，也有可能是白的，现在他和你打赌背面的颜色与上面的一致，你是否打这个赌呢？
可以看出，这是一个对等赌局：假如这一面是黑的，那么就肯定排除了两面一律都是白的那一张，所以，这张牌可能是两面黑，也可能是一黑一白，因此你的机会只是一半。
假如它真的是公平的，那么对方怎么就会容易地赢了你的钱呢？其实，对他来说，这个赌局是2∶1时才对他有利。
当然，最主要的还在于：可能有三种情况，不是你认为的那样，它有两种：黑（A面朝上）—黑、黑（B面朝上）—黑、黑—白，即对方有2／3的机会可以打败你。
还有一个比较类似的例子：甲和乙两个人玩一个“扔硬币”的游戏。游戏开始时，甲说：“我向空中扔三枚硬币。如果落地后三枚硬币全都是正面朝上，就算你赢，我就给你10分。如果它们全是反面朝上，仍算你赢，我也给你10分。但是，如果落地时是其他情况，那就算我赢，你就得给我5分。”
乙说：“我先想想：每次必定有两枚硬币的情况是相同的，因为如果有两枚硬币情况不同，那么第三枚就一定会与这两枚硬币之一情况相同。而如果两枚情况相同，则第三枚不是与这两枚情况相同，就是与它们情况不同。第三枚与其他两枚情况相同或情况不同的可能性是一样的。因此，三枚硬币情况完全相同或情况不完全相同的可能性是一样的。但是甲是以10分对我的5分来赌它们不完全相同，这分明对我有利。好吧，我打这个赌！”
很多人都会认为乙这样的想法是正确的。其实，他的上述推理完全是错误的。
为了能够说明三枚硬币落地时情况完全一样或者不完全一样的概率，我们还必须列出三枚硬币落地时的一切可能性。简单地说，一共有八种情况，而只有两种情况是三枚硬币完全相同。这就意味着三枚硬币情况完全相同的可能性是1／4，三枚硬币落地时的情况不完全相同的有六种，即可能性是3／4。
换句话说，甲的想法是从长远的观点来看的，他每扔四次硬币就会赢三次。他赢的三次，乙总共要付给他15分。乙赢的那一次，他付给乙10分。这样每扔四次硬币，甲就获利5分——假如他们反复打这个赌的话，那么甲就有相当可观的赢利。
其实，以上的例子都需要靠概率来决策。我们生活在这个世界上，有很多事情也都是靠概率来寻找解决办法的。世上也很少有一个学科能像概率论这样说明我们的直觉是如何的不可靠。我们的经验甚至常识往往和概率论所揭示的答案相悖。例如，明天会不会下雨？丢铜板会出现正面还是反面？想拿到一手好牌吗？这些问题都涉及概率。
大部分人相信某一独立事件发生的概率要受到过去的影响。例如在战争当中，士兵们都很相信躲在新弹坑里是很安全的，由于炮弹两次打中同一地点不大可能。这也许有一点道理：大炮每次射击，都可能会因反作用力使炮位稍稍移动，弹着点也可能略有偏差。然而这只是空谈，因为毕竟不是只有一门炮在射击。