我听见对我的指控，说我对抗制度，

可是，我虽不顺从，却从未对抗。

它的存在与我何干？它的破灭与我何干？

我只想在曼哈顿，在内陆或沿海的每一个州，每一座城，

在田野中，在树林里，在航行水面的每条船上，

远离那些没完没了的理事，代表，规矩，争议，

我只想要伙伴之间亲密的爱。

1936年4月15日，大概是在这天，艾伦告诉纽曼，他证明了希尔伯特的判定性问题是无解的。同样是在这一天，普林斯顿的美国逻辑学家阿隆佐·丘奇也发表了他的证明。丘奇在一年前发现，不可解的问题是存在的，在这篇证明中，他用精确的形式把它描述出来，回答了希尔伯特的问题。

这两个人的思想，沿着不同的道路同时到达了这里。一开始，剑桥这边还不知道大洋彼岸发生了什么。5月4日，艾伦写信给母亲说：

后来过了四五天，我遇到纽曼先生，他当时在忙别的，说这几周没时间看我的理论。但他看了我对《法国科学学刊》的评论 ，做了一些修改并认可了。我又找了一位法国专家帮我检查，然后寄出去了，目前还没收到回复，有点烦人。我想在两个星期之内完成全文，大概会有50页，眼下还很难决定留下哪些内容，删掉哪些。

5月中旬，当纽曼开始读艾伦的论文时，他几乎无法相信，图灵机如此简单地解决了希尔伯特的问题。在哥德尔解决了前两步之后，这个问题已经让大家花了5年时间了。纽曼的第一个感觉是，图灵肯定是搞错了，应该存在某种更精密的机器，来解决那个不可解决的问题。但是纽曼最终确信了，任何有限定义的机器，都不可能做到图灵机做不到的事。

紧接着，丘奇的论文跨过了大西洋。它先发制人，给艾伦的成果带来了危险，因为学术论文是不允许重复的。不过，丘奇的成果有些不同，某种程度上说，他不如艾伦。丘奇提出了一个叫作“λ算子”的模型 ，逻辑学家斯蒂芬·克林发现，这个模型可以将所有的算术公式变形为标准形式。在这个模型中，“证明”就是按照某个基本的规则，把一个λ表达式转化成另一个。然后丘奇能够证明，不存在一个λ算子，能够判断一个表达式是否能够转化成另一个。找到这么一个无法解决的问题，就能证明，希尔伯特提出的判定性问题一定是无解的。但是，“λ算子”并不是显著的“机械的过程”。丘奇给出了一个说明，任何有效的计算过程都可以用λ算子表示。但图灵的模型更加直接地弥补了丘奇的缺陷。

所以在1936年5月28日，艾伦仍然向伦敦数学协会提交了他的论文，希望发表在其会刊中。纽曼写信给丘奇：

亲爱的丘奇教授：

你最近寄给我的定义可算数、并证明希尔伯特判定问题无解的那篇论文，强烈地吸引了这里的一位年轻人。他叫A.M.图灵，他也正准备发表一篇论文，其中他定义了可计算数，并解决同样的问题。他描述了一种机器，可以计算任何可计算序列，与你的方法不一样，但看起来非常有力。我认为，如果有可能的话，明年他应该过去和你一起工作。他将会给你寄去他的论文，供你评论。

如果你觉得他的成果是正确而有价值的，我希望你能给剑桥克莱尔学院的校监写封信，支持图灵申请宝洁奖学金，以便他明年可以去普林斯顿。如果他申请不到，也仍然可以过去，但是我觉得那就有点不合适了，因为他还是国王学院的研究员。在普林斯顿那边，有没有什么助学资助呢？……我要指出的是，图灵的工作完全是独立完成的，没有任何人给予他任何指导或评论。更重要的是，不能让他孤芳自赏，他应该尽快与该研究方向的先驱学者取得联系。

1936年5月31日

纽曼还写信给伦敦数学协会的秘书官F.P.怀特解释情况：

亲爱的怀特：

我想你已知道图灵在可计算数方面的工作。就在它即将终审时，普林斯顿的阿隆佐·丘奇给我寄来一篇论文，在很大程度上，与图灵的成果有重复之处。

但我仍然希望图灵的论文可以出版，因为他们两者采用的方法是很不一样的。而且，他们的成果非常重要，所以不同方式的论证是有价值的。图灵和丘奇的主要成果，是证明了希尔伯特之后的学者研究了好几年的判定性问题——即，找到一个机械的过程，来判定一组给定的符号，在希尔伯特公理体系中是否可证明——总体来说是无解的……

1936年5月31日

艾伦5月29日告诉他的母亲：

我刚完成了我的论文，已经寄出去了。我想它将会在10月或11月发表。给《法国科学学刊》的评论很不顺利，收信的那个人到中国去了，我的信好像被邮局搞丢了，第二封信寄到他女儿那里了。

在这期间，阿隆佐·丘奇在美国出版了一篇论文，用不

同的方法，和我做了一样的事。纽曼先生和我都认为，因为方法明显是不同的，所以我的论文也应该发表。阿隆佐·丘奇在普林斯顿，所以我决定要到那里去。

艾伦申请了保洁奖学金，普林斯顿提供三个名额，一个给剑桥，一个给牛津，一个给法兰西公学院。艾伦没有成功，因为剑桥的那个名额最终给了数学家兼天文学家R.A.莱托顿。尽管如此，艾伦认为，国王学院的研究员资助，其实也足够了。

与此同时，关于他的论文发表，他现在必须能够说明，他的可计算数与丘奇所说的可算是完全等价的，也就是说，它可以表示成λ算子表达式。因此，艾伦研究了丘奇和S.C.克林1933年和1935年的论文，并于8月28日完成了论文的附录，来扩展上述必需的证明。这两个想法的共同点是很明显的，丘奇定义的规范形式，相当于图灵定义的可用机器，而且他们都使用了康托尔对角线，以产生一个解决不了的问题。

如果艾伦是个遵守规则的学者，他在解决希尔伯特问题之前，就应该首先读遍所有的相关文献，包括丘奇的工作。这样就不会出现被别人抢先的问题，但他也就永远无法创造出图灵机了。图灵机不仅解答了希尔伯特的问题，而且提出了新的问题——思维状态。纽曼所说的孤芳自赏，不是个好事，但也未必是坏事。无论是中心极限定理，还是判定性问题，艾伦都扮演了数学界的斯科特船长，总是排在第二名。令人感叹的是，艾伦本人并不把数学和科学看成一种竞争。他可以毫不在乎地拖延好几个月，也不屑于强调自己的独创性，他从降生的那一刻起，就注定要扰乱这个世界。

至于中心极限定理，他申请研究员时的论文入选了那个夏天的剑桥数学论文史密斯奖。这引起了格尔福特的一阵忙乱，图灵夫人和约翰花了半个小时，赶在最后一分钟给他准备好包裹。约翰在1934年8月结婚了，艾伦现在做叔叔了。对于他的哥哥或父母来说，他在工作和生活中遇到的哲学困境，都是另一个世界的事情。艾伦成功的消息现在越来越多。图灵夫人对灵魂世界很有兴趣，照理说她应该对艾伦关于自由意识的思考最敏感，但即使这样，她也从未意识到这个问题。艾伦从没有认真地把他的内心困境说出来，他只是偶尔做些非常隐秘的暗示。

国王学院对艾伦的中心极限定理评价很高，让他获了奖，还有31英镑奖金。他现在已经把帆船运动当作假期娱乐了，并打算用这笔钱来买船。但他最终决定不这么做，他还要攒钱去美国。

初夏时，维克托·别特尔过来，和艾伦一起待在剑桥，他们双方都非常热情。维克托来访的一个重要原因是，他现在加入了家庭企业，正在致力于开发K射线系统。他和艾伦在学校时讨论的几何学帮助了他，他希望从艾伦这里得到一些建议。他要做一个双面的系统，两面都有海报，只用一个光源，使它们都能均匀地反光（这是一个啤酒连锁企业要求的）。然而艾伦说他正在致力于自己的研究，于是他们只是一起观看了“五月激情”船赛。

有一次，他们在聊艺术和雕塑，就在这时，艾伦突然说了句让维克托很惊奇的话。他说他觉得男性的身体结构很美，而女性的身体则很丑陋。维克托试图使艾伦相信，耶稣与玛丽亚的关系，已经指明了正确的道路。但艾伦对此不置可否，这不是一个有答案的问题。他所能做的，就是表达自己身处镜中奇遇世界的感受，在这个世界里，传统的想法在他看来都是错的。这大概是他第一次在国王学院之外，提起这个话题。

维克托很难知道该如何回答，他只是一个还不太成熟的21岁小伙子。虽然艾伦保持着“完美的绅士形象”，但他待在艾伦的房间里，仍然存在着一些担忧。但是他们仍然保持着很好的友谊，在这个问题上保留各自的看法，就像对待宗教问题一样。他们讨论这是由遗传还是环境而造成的，但无论是什么，很清楚的是，艾伦就是这样的，事实就是这样的。对艾伦来说，没有上帝，他不追求别的，只想要内在的相容。在数学中，相容性无法用规则来证明，也没有自动的机器来判定。他的生命公理现在越来越清晰了，虽然如何接受它们是另外一回事。他曾经追求自然界中最普通的东西，他喜欢一切平凡的东西，但他最终却看到，自己成了一位英国的同性恋无神论数学家。这可实在不是个平凡的事情。

在向西方出发之前，他又去了趟钟屋，他已经三年没有去过了。默卡夫人现在病了，但精神上仍然像往常一样充满活力。她在日记中写道：

9月9日（星期三）：……艾伦·图灵来了……他过来道别，要去美国普林斯顿9个月，与几位顶尖学者一起研究他的课题，哥德尔，阿隆佐·丘奇，还有克林。我们在晚餐前聊了一会，说了些新鲜事……他和爱德温一起玩桌球。

9月10日：……艾伦和卫尼卡在这和我一起喝茶。和艾伦谈了很久，谈他的工作，还有在他的研究框架中（一些逻辑学的深奥分支）一个人是否会到达“死亡终点”等。

9月11日：艾伦一个人去教堂看克里斯彩窗，还有他之前没看过的小花园。因为那小花园是他来看捐窗仪式那天才刚刚弄好的……艾伦教我玩了一个游戏……

9月12日：……拉普特和艾伦在我的房间喝茶，然后我下楼吃晚餐，给了他们一个惊喜——我们十个人搞了一场快活的留声机音乐会……男人们打桌球。

9月13日：……艾伦和雷纳德一起解题……艾伦、拉普特和两个女孩在池塘游泳……拉普特、艾伦和我一起喝茶……艾伦努力讲解他正在研究的东西……他们走了。

默卡夫人无法体会，这个“深奥的逻辑分支”与他失去的孩子有什么关系，她不知道艾伦研究的这些事情怎么就把克里斯朵夫召唤去了。

9月23日，图灵夫人在南安普顿为艾伦送行，把他送上了冠达公司的拜伦加利亚号邮轮。艾伦在弗灵顿路的市场上买了一个六分仪，作为航行中的消遣。他还带上了所有中上层英国人对美国和美国人的偏见。五天的大西洋之旅，丝毫没有改变他的偏见。在“北纬41度20分，西经62度”处，他抱怨道：

我很惊讶，美国人简直是最让人不能忍受、最迟钝的一种生物。刚才有一个人来和我聊天，展现了美国糟透了的一面。当然，他们也不会全都是这个样子。

第二天早上，9月29日，曼哈顿的灯塔进入了视线。然后艾伦来到了新的世界。

我们实际上星期二早上11点就到达纽约了，但还要进行检疫和移民局的检查，所以直到下午5：30才下船。在移民局检查时，排队排了两个多小时，还有一群孩子在我身边吵闹。通过海关后，我被出租车司机宰了，我认为他的收费很荒谬。我在寄存行李时，也被收了比在英国多一倍的高价。我想他们这里可能就是这样的。

艾伦继承了他父亲的一个观念：出租车就是宰人的。但在美国这个多元化的地方“也不会全都是这个样子”。当天晚上，他乘火车到达普林斯顿，这个地方可不是供底层阶级观光的地方。如果说剑桥是精神的象征，那么普林斯顿就是财富的象征。也许在所有美国一流大学中，普林斯顿是最自给自足的，它与经济大萧条绝缘，这里的人完全不知道美国遇到了麻烦。实际上，它看起来一点也不像美国。这里有哥特式的建筑，有对男生的约束，还有卡耐基湖上的划船。普林斯顿试图打造成另一个牛津或剑桥，使其成为一片绿野仙踪。似乎光与庸俗的美国隔绝还不够，研究生学院还要与本科生隔绝，它享有独特的崇高声望，眺望着一大片干净的田野和树林。研究生学院的塔，完全是牛津莫德林学院的复制品，被称为象牙塔，因为它的捐助者是制造象牙皂的。

普林斯顿的数学发展，得益于它1932年出资500万美元创办的高级研究院。这个研究院直到1940年也没有独立的建筑，它资助的绝大多数科学家，都在普林斯顿以前的数学研究院大楼里工作。虽然必须要区别开，但实际上没有人知道，也没有人在乎到底谁是普林斯顿大学的，谁是高级研究院的。这个双面机构，吸引了数学界的一些大人物，特别是从德国来的。从某种意义上说，虽然这是一个纯美国机构，但它却像一艘穿越大西洋的移民船。资助丰厚的普林斯顿研究员职位，也吸引了世界级的研究生前来，相比之下来自英国的要多些。尽管没有国王学院的同学，但艾伦的三一学院朋友莫瑞斯·普利斯，已经在这边待了一年了。这里有成群的来自欧洲的精英，为艾伦·图灵提供了继续开拓科学疆土的机会。10月6日，艾伦第一次寄信回家，语气相当自信：

这里的数学系没有辜负我的期望，这里有很多最杰出的数学家。J.V.诺伊曼，外尔，柯朗，哈代，爱因斯坦，莱夫谢茨，还有其他一些人。不幸的是，这边研究逻辑的人没有去年那么多了。当然丘奇还在这里，只是哥德尔，克林，罗瑟和博内斯都离开了。我只在乎哥德尔，因为克林和罗瑟只是丘奇的学生，我可以与丘奇一起研究就可以了。而博内斯，从他的文章来看，他已经有点落伍了。当然，如果我能遇到他，也许就会有不同的印象。

其中，哈代只是从剑桥来访问一个学期。

刚开始他不苟言笑，也许是羞怯。我到达的那天，在莫瑞斯·普利斯的房间遇到他，他一句话都没跟我说。但他现在越来越友好了。

哈代是上一代人，与图灵一样，也是个英国同性恋无神论数学家，而且他是世界上最杰出的数学家之一。在研究兴趣上，他比艾伦幸运，他喜欢数论，干净地沉浸在纯数学的经典框架里。他不像艾伦那样需要自己创造，他的研究更加规范而专业。但是，他们俩都是体制的受难者，对于他们来说，凯恩斯式的剑桥是唯一可能的归宿，尽管他们并不能融入那里的圈子。他们俩都是保守派，哈代稍微不保守一点，他曾经担任科学家工会的主席，还在房间里挂上了列宁像。作为一个老人，他的信念已经相当固定了。伯特兰·罗素曾经机智地，根据他们所排斥的传统，把新教怀疑论者与天主教怀疑论者区别开。艾伦在这个时期偏向于前者，而哈代则是后者。另外，哈代喜欢板球，他在其中得到了许多乐趣，但他去了美国之后，转而喜欢上了棒球。他在三一学院时，会组织板球比赛，无神论者对决宗教信徒。哈代很喜欢用一些东西来设计游戏，特别是无神论。

艾伦在剑桥的时候，参加过他的讲座和课程，并因为被忽视而感到委屈。虽然友好，但他们的关系，并没有突破辈分和种种隔阂。他的世界观与哈代很相似，如果他与哈代的交往尚且如此，那么他与其他年长者的交往情况就可想而知了。虽然他已经是严肃的学术界新秀，但他的形象和举止，却仍然只是个大学生。

艾伦信中的名单仅仅意味着，他可以参加他们的讲座和研讨。爱因斯坦偶尔会出现在走廊上，但几乎不和别人交流。S.莱夫谢茨是拓扑学的先驱，拓扑学是普林斯顿数学系的核心，也是现代数学的重要进展。但艾伦和莱夫谢茨的交往，仅仅是莱夫谢茨问他能否听懂L.P.艾森哈特的黎曼几何讲座，而艾伦则认为这个问题非常无礼。柯朗，外尔和冯·诺依曼，覆盖了纯数学和应用数学的主流，使希尔伯特在哥廷根的研究在西海岸重现生机。但在他们之中，只有冯·诺依曼和艾伦有交往，因为他们都对群论感兴趣。

至于逻辑学家，哥德尔已经回到捷克斯洛伐克了。克林和罗瑟，已经做出了比艾伦说的更加重要的新发现，但他们也已经去了其他地方，艾伦见不到了。同样来自哥廷根的瑞士逻辑学家P.博内斯，是希尔伯特的亲密伙伴，也已经回到了苏黎世。因此艾伦对默卡夫人说的“和几个重要数学家一起工作”并没有完全实现。和他一起研究逻辑学的，除了一些研究生之外，就只有丘奇了，而且丘奇是个快要退休的人，也不怎么参与研讨。总之，普林斯顿无法医治艾伦的隐者之心，艾伦写道：

我和丘奇见过两三次，我们相处得很好。他很欣赏我的论文，觉得对他正在思考的一项研究有所帮助。我不知道我会按照他的计划走多远，我打算朝一个稍有不同的方向发展。也许在这一两个月内，我会开始写一篇论文，之后我可能会写一本书。

不知道他们的计划是什么，反正没有取得成果。艾伦没有留下符合这个说法的论文，也没有书。

艾伦认真地参加丘奇的讲座，这些讲座非常高难。他还做了丘奇的类型论的笔记，表现出对数理逻辑的持久兴趣。课上一共有大约十名学生，包括年纪小一些的美国人维纳博·马丁，艾伦帮助他理解这门课程。艾伦说：

研究生有很多是研究数学的，他们都很愿意讨论工作。这方面和剑桥很不一样。

在剑桥人们认为，在高级餐桌之类的地方讨论工作是没有品味的表现。但普林斯顿没有把这种“英国大学的品位”与建筑风格一起引进过来。所有来自牛津或剑桥的英国学生，都觉得美国人见面打招呼是很搞笑的，他们会说“你好，幸会，你是学什么课程的？”而英国人的工作，则必须在体面的表演背后隐藏起来，这种伪装令热爱职业的人们感到不适应。但对于艾伦来说，这个因为缺乏修养而被剑桥的时髦圈子排除在外的人，则更加喜欢这种简单直接的风格。从这一方面来说，美国很适合艾伦，但仅仅是在这一方面。10月14日，艾伦写信给母亲：

丘奇前几天晚上带我出去吃晚餐。同座都是大学的人，我觉得交谈挺令人失望的。他们基本上只谈他们来自哪个州，没有别的内容，还聊了一些旅行景点，反正我觉得十分无聊。

他喜欢思维的游戏，在这封信中，他隐隐地提到了一个想法，也许萧伯纳会认为这是一个阴谋：

你经常问我数学的各个分支有什么用。我刚刚发现，我现在的研究可能有一种用处。它让我认识到什么是最通用的加密方法，它使我能够构造很多特殊、有趣的密码。其中有一种的加密速度非常快，而且如果没有密钥是不可能解开的。我想以可观的价钱把它卖给英国政府，但不知道这是否有违道德。你怎么想呢？

密码，是一个把机械过程应用到符号的好例子，可以用图灵机来实现。因为密码的本质，编码者必须按照事先与接收者约定的规则，像机器一样工作。

从某种角度说，任何图灵机都可以看成是通用的密码，它把纸带上读到的东西处理一番，然后再写回纸带上。可是，要让它有用，还必须要有一个相反的机器，可以重新复原出原来的纸带。不管艾伦想要怎么做，他必定要从这里入手，至于特殊、有趣的密码，他现在也没有更多的想法。

图灵夫人并无道德上的纠结，她是斯托尼家族的成员，认为科学就是为了利益而存在的，她也毫不怀疑女王政府的道德权威。但艾伦继承的是不同的传统，不光是因为剑桥的清高，也因为G.H.哈代说过一个对现代数学意义重大的观点：

真正的数学家的真正的数学，比如费马，欧拉，高斯，阿贝尔和黎曼的数学，几乎都是完全没有用的（无论是应用数学还是纯数学，都是这样的）。不能以用途为标准，来评价真正专业的数学家……在现代，应用数学最伟大的成就，就是相对论和量子力学，而目前无论在哪个层面，这些科目都几乎和数论一样没用。这是应用数学最基本的部分，也是纯数学最基本的部分，正是这个部分，才是最重要的。

面对数学和应用科学的不断分化，哈代用这种基本性，来攻击现行的左派观点——兰斯洛特·霍格本从社会和经济效益来诠释数学。哈代说了很多，他坚持认为，有用的数学在任何情况下都是弊大于利，因为它总是被用于军事。他认为，数论领域的一切无用研究，都是一种美德，而不是什么羞愧：

目前还没有人发现数论有什么军事用途，但是这似乎也不会维持很久。

在第一次世界大战之前，哈代就有着和平主义的坚定思想，但是接触过20世纪30年代反战运动的人都知道，军事应用也可以用来避免战争。艾伦现在发现了一些东西，比如符号游戏的军事用途，他开始陷入数学家的困境了。他用轻松的语言对母亲诉说，但这背后却存在着很严肃的问题。

在这个时期，英国的学生们自娱自乐，来使研究生生活更加有趣：

一位来自英联邦的研究员，弗兰西斯·普莱斯（别混淆了，这不是莫瑞斯·普利斯），有一天组织了一场曲棍球赛，一方是研究生学院，另一方是130英里之外的瓦萨女子学院。他组织了一组队伍，不过只有一半的人以前玩过。星期天，我们进行了几次练习赛，并乘车前往瓦萨。我们到的时候，下起了微微小雨，而且他们说场地不适合举行比赛，这是非常讨厌的。不过我们最终说服了他们，在那个场地进行了一场不太正规的比赛，我们以11比3获胜了。弗兰西斯试着安排一场复赛，到时候肯定会在正规的场地上进行。

要说这个队伍很业余，那可就说错了，来自牛津大学新学院的拓扑学家肖恩·怀利和物理学家弗兰西斯·怀利，都是国家级的选手。艾伦完全不是同一级别（即使他没有把注意力用在雏菊生长上，他也不行），但他也很喜欢这个游戏。不久后，他们每周在一起玩三次比赛，并且有时候到本地的女子学院去。

柔弱的英国人，玩着一个女性游戏，这也许会使普林斯顿的学生吃惊，但是在领导层中，存在着一点令人尴尬的英国崇拜，英国体制中很多迂腐的方面也会受到赞赏。在1936年的夏天，人们在普林斯顿的小教堂里悼念乔治五世。有一个研究生院的教授，一直在喋喋不休地歌颂王室，这对于受过教育的英国人来说，是非常正常的事。至于乔治五世的继承人爱德华八世和辛普森夫人到地中海度假的新闻，在普林斯顿引起了一阵轰动。艾伦在11月22号写信给他的妈妈：

我寄给你一些剪报，是我们这里对于辛普森夫人的一些看法。我觉得你可能没听说过她，但这些天她已经成了这里的头条了。

事实上，英国的报纸确实对这件事一直保持沉默，直到12月1日，布拉德福德的主教指出，国王需要承当上帝的恩典，鲍德温也出来发表了观点。12月3日，艾伦写道：

我不明白人们为什么要干涉国王的婚姻。也许国王不该和辛普森夫人结婚，但这是他的私事。我不接受主教的说法，我也不认为国王需要承当什么。

但是国王结婚并不是私事，这会影响整个英国。艾伦反对政府对私生活的干预，这是一个很超前的想法，他的阶级普遍反对的是国王对国家的背叛，这是一个比哥德尔和罗素的发现更加严重的逻辑悖论。12月11日，温莎夫妇浪迹天涯，乔治六世即位当政。那天，艾伦写道：

我想，国王退位对你来说是很震惊的，我估计大家十天前还不知道谁是辛普森夫人吧。我对整件事情的观点，在一定程度有点分裂。首先，我完全支持国王保留王位，并且与辛普森夫人结婚，无论引起什么争议，这都将是我一贯的观点。然而，最近的一些见闻，令我的观点发生了一些变化。这些见闻让我看到，国王对国务非常懈怠，把它们随便扔给辛普森夫人和朋友们去处理。这是很令人痛心的渎职。还有一两件类似的事情，但这件是我最在意的。但无论怎么说，我对大卫·温莎的态度仍然怀有敬意。

艾伦的敬意，还来自他听到的一段退位演说的录音。他在1月1日继续写道：

我对爱德华八世的退位感到遗憾。我认为是政府抓住辛普森夫人这个机会，故意想要找茬摆脱他。我们不谈他们想要摆脱他是否明智，这是另一回事。我很敬佩爱德华的勇气。对于坎特伯雷的大主教，我认为他的行为是可耻的。他一直等到爱德华彻底离开，然后就开始借题发挥，当爱德华是国王的时候他不敢这样做。

12月13号，大主教在广播中谴责国王，说他为了个人的幸福而放弃了肩负的使命，对于英国统治者来说，追求幸福从来不应该是摆在首位的。而艾伦对婚姻和道德的观点则是比较现代的。有一次在国王学院，他与克里斯朵夫·斯戴德讨论，艾伦说，人们应该服从自己本能的感觉。对于主教这一类跟图灵夫人特别亲近的人来说，他们代表着旧体制。艾伦对丘奇逻辑课上的美国朋友维纳博·马丁说，这些人用了非常卑鄙的手段来对待国王。

工作方面，他在11月22日写信给菲利浦·霍尔：

我在这里没有什么惊人的成果，可能会发表两篇或三篇小论文，只是一些想法的片段。如果能发表，其中一篇将会是对希尔伯特不等式的证明，还有一个我去年做过的关于群论的工作，巴尔认为也值得发表。我会把它写出来，发表在《数理逻辑》上。

我对普林斯顿很适应。不过这里的人们说话有一种固定的模式，绝无例外！美国人的生活方式很讨厌，你找不到一个真正意义上的浴缸，而且他们对室温的看法也很讨厌。

对于“说话的方式”，艾伦抱怨如下：

这些美国人在说话时，会有摸耳朵等各种各样的怪癖。

如果你对他们表示感谢，他们会回答“你是受欢迎的”。刚开始我还挺喜欢这个说法，我以为我很受欢迎，但是现在，我觉得这种感觉就像把球打到墙上一样讨厌。他们还有一个习惯，经常发出“啊”的声音，当他们没有适当的回答时，就用这个声音来代替，他们认为保持沉默是不礼貌的。

艾伦到达普林斯顿之后，收到了《可计算数》的印刷件，它现在马上就要被发表了。阿隆佐·丘奇建议艾伦召开一个研讨会，把他的发现与普林斯顿的主流研究结合起来。11月3日他写信回家：

丘奇刚才建议我，给数学俱乐部做一个关于可计算数的讲座。我希望能得到这个机会，让别人注意到我的研究，但不知道是否能成功。

一个月后，他成功了，但后来的结果却令人失望：

12月2日，我在数字俱乐部演讲，出席的人非常少。你必须名气很大，才会有很多人来。比如这周是G.D.伯克霍夫的讲座，他很有名气，屋子都坐满了，但实际上他讲得很不靠谱，后来大家都觉得很可笑。

1937年1月，《可计算数》终于发表了，但结果同样令人失望，几乎没有引起什么反应。丘奇重新审阅了该文章，直接引入“图灵机”这个名称，并寄给《符号逻辑》期刊。但是，只有两个人来申请印刷本：国王学院的里查德·布列斯威特和德国的孤独的逻辑学代表海因里希·舒兹，他写信说，他在芒斯特组织了一场研讨会，可怜兮兮地申请两份外面世界论文，对他们来说，现在与外面世界保持同步是很困难的。在数学的世界里，这个国家灭亡了。2月22日，艾伦写信回家说：

有两封来信要求印刷件……他们似乎对这论文很有兴趣，应该是给他们留下了一定的印象。但我对这边的反应很失望。外尔在几年前也做过一些相关工作，我希望他能提出一些看法。

也许艾伦还希望约翰·冯·诺依曼能够给出一些评论，对艾伦这个天真的桃乐丝来说，冯·诺依曼是一位强大的巫师。像外尔一样，冯·诺依曼也对希尔伯特的计划感兴趣，曾经希望能够证明它，但这已经被哥德尔定理判死刑了。他是一个阅读狂，每天早上别人起床时，他都已经工作很久了，他阅读各个领域的数学文献，但他却说，自从1931年以后，他再也没读过逻辑方面的论文。不知为什么，在艾伦写给母亲或菲利浦·霍尔的信中，只字没有提到冯·诺依曼。

至于伦敦数学协会的普通读者，艾伦的论文没有给他们留下印象，是有很多原因的。数理逻辑似乎已经成了边缘学科，数学家们只是整理整理已经很明显的事实，或者制造一点本来不存在的麻烦。艾伦的论文开头很诱人，但随着通用机指令表的引入，很快便走进了晦涩的德国哥特式的丛林（这似乎是图灵的一贯风格）。能够读到最后的人，往往是在某个领域进行实际计算的应用数学家，比如天体物理或者流体力学，他们需要解很麻烦的方程。可是他们读完便发现，这篇论文几乎没有用，因为它并没有谈到如何在实践中制造这种机器。比如说，艾伦设定了这种机器是在方格中写入可计算数，并以方格作为工作空间，而不是采用一些更普遍的、无限制的工作空间。总而言之，在数理逻辑的小圈子之外，艾伦的这篇论文非常没有吸引力。兰斯洛特·霍格本提倡科学要以人为本，从这个角度来看，艾伦的论文似乎百无一用。

不过，在数理逻辑的小圈子里，确实有一个人非常有兴趣地读完了这篇论文。他是一位波兰裔数学家，名叫艾米尔·波斯特，在纽约城市大学教书，早在20世纪20年代以前，他就产生了类似于哥德尔和图灵的想法，但没有发表。1936年10月，他向《符号逻辑》提交了一篇论文，关于通过一种普适的方法提高计算精度。他在其中引用了丘奇的论文，正是回答希尔伯特判定性问题的那篇。波斯特指出，一个确定的过程，可以写成指令的形式，交给一个无须思考的操作者，在无限多的一排盒子中进行操作。操作者的能力只是阅读指令，以及：

（1）在他所在处的盒子里设一个标记（假设盒子是空的）；

（2）清除他所在处的盒子里面的标记（假设盒子有标记）；

（3）移动到左边的盒子；

（4）移动到右边的盒子；

（5）查看他所在处的盒子里是否有标记。

很明显，波斯特的“操作者”所做的事情，原理与图灵机完全相同，就连他描述该模型的语言，都与艾伦大同小异。波斯特的这种构想，似乎像是受到了工厂流水线的启发，但他的论文不像《可计算数》那么有野心，他既没有构造一个通用的操作者来解决希尔伯特的问题，也没有讨论关于思维的事情。但他正确地意识到，他的这个构想可能会弥补丘奇的缺陷。可是，仅仅差了几个月的时间，他被图灵机抢先了一步，而且丘奇已经证明了艾伦的工作是完全独立的。这件事情说明，如果世界上没有艾伦·图灵，那么他的想法，也会很快以另外的形式被人们发现。因为这个想法是一座必要的桥梁，来连接逻辑世界和实体世界。

在另一种意义上，艾伦觉得连接逻辑世界和实体世界是非常困难的，在逻辑世界中产生想法是一回事，但要把这些想法向现实世界中的人们表达清楚则完全是另一回事，而且是非常复杂而困难的事。不管艾伦是否情愿，但是学术界毕竟也是由人组成的，也需要交流和沟通。艾伦脱离了这一点，他是个超脱世俗的人，他希望真理就像变魔术一样凭空产生，他认为像推销似的宣传学术是一种耻辱。他认为那些凭借学术而获得某种头衔或名气的人全都是“骗子”，他春天时提交的关于群论的论文，被一位审稿人错误地提出了批评，于是艾伦就给他扣上了这顶帽子。

艾伦认为自己应该努力做好自己的事，不能像他的朋友莫瑞斯·普利斯那样，不但提高学术能力，还要想办法充分地利用这种能力。

1929年12月在三一学院共度的那个星期之后，他们两个人都已经走过了很漫长的一段道路。艾伦先当选了研究员（这要感谢国王学院对他的论文课题比较宽容，就是中心极限那个），但是莫瑞斯现在当选了研究员，而且是三一学院的，这看起来要更牛一些。他们都认为自己才是那颗新星。他们的兴趣朝着不同的方向发展，但是都对基础的问题感兴趣。他们经常会在剑桥的讲座上见面，有时在喝茶时交换笔记。莫瑞斯也住在格尔福特，图灵夫人曾经邀请他一起喝茶。他还在车库里建了一个实验室，艾伦曾经去参观过，并对此钦佩不已。

在普林斯顿，莫瑞斯第一年的导师是量子物理学家泡利，但在今年转到了冯·诺依曼麾下。莫瑞斯认识这里所有的人，所有的人也都认识他。他会戴着18世纪歌剧风格的眼镜，出席冯·诺依曼的华丽聚会，不过今年这样的活动减少了，因为冯·诺依曼的婚姻生活出了点问题。但不管怎样，如果说有一位英国学生，懂得如何与冯·诺依曼交往，并且能感受到他的友善、热情、风流潇洒、学识渊博，那这个学生肯定是莫瑞斯，而不是艾伦。而另一方面，如果说谁更懂得如何与离群索居、行事低调的哈代打交道，答案仍然莫瑞斯。他和每个人都能相处得很好，同样，也正是他让艾伦觉得，自己在这个新世界是很受欢迎的。

在国王学院的学术气氛中，没有那么多争强好胜、出风头的事，但是在美国，这些是很重要的。通过竞争而成功，这就是美国梦，然而艾伦却对此很不适应，他的思想仍然是保守的英国式，希望一切都顺其自然。

国王学院还在另一件事上使艾伦避开了冷酷的现实，甚至使他在这方面很随便。维克托1936年5月拜访艾伦时，给他讲了一件事，说有个以前的舍尔伯尼同学，被人发现房间里面有“小姐”，于是被抓了。艾伦随便地评论说，他看不出这个人有什么错。艾伦不是个上纲上线的人，他总是愿意阳光地对待这个世界，但这个问题并不随便，他必须要融入这个世界。

在《千岁人》中，萧伯纳幻想了公元31920年的超智能生物，他们从对艺术、科学和性的兴趣中脱离出来（“那些幼稚的游戏：跳舞，唱歌和交配”），转而只关心数学（“那才是真正迷人的，我要远离那些扯淡的舞蹈和音乐，坐下来做一些算术”）。对于萧伯纳来说，这些并无实际意义，数学只是一种智力活动的象征，而并不是他所涉足的领域。但是，艾伦在24岁的时候，在还没有对“幼稚游戏”感到厌倦的时候，就把自己的身心都献给数学了，他好像是从数学中，得到了一种性的快感。1937年，他与新朋友维纳德·马丁去参加H.P.罗伯森的相对论讲座，还一起去卡耐基湖流出的小河上划独木舟。艾伦婉转地表示自己对同性恋有兴趣，但他的朋友却明确表示自己没兴趣。于是艾伦没有再提此事，这也并没有影响他们之间的关系。

那位“新泽西诗人”也许会理解他，但是艾伦并没看到惠特曼所描绘的美国，他看到的只是一片满是性禁忌的土地。特别是在大清洗运动之后，这个国家把同性恋看成了一种隐秘的反美活动。在普林斯顿，没有人谈论同性恋。艾伦被维纳德这样宽容的人拒绝，已经算是走运了。

艾伦面对的困难，是每一个从镜中奇遇世界醒来的同性恋者都要面对的，这困难不仅来自内心，还来自社会的现实，因为这个世界完全不是为同性恋者而存在的。在20世纪30年代末，男性和女性之间，画着一条刚性的界线，艾伦对此只能感到无助。那些蒸汽浴室、午夜酒吧，对艾伦来说都是另一个星球的东西。他无法让世界接受他的性取向，至少是剑桥以外的世界。

他明显地感觉到，这种接受是不可能实现的，这个问题是不可解的。他的胆怯，使他逃避严酷的现实，他一直试图用一种私下的、温和的方式来解决问题，以达到一种委曲求全的成功。

感恩节时，艾伦接受一位牧师的邀请，前往纽约度过。他在曼哈顿闲逛，体验他们的交通和地铁，还去了天文馆。艾伦更有兴趣的是圣诞节的假期，莫瑞斯·普利斯带他去新罕布什尔滑雪：

16日他提议去滑雪，18日我们出发了。一个叫做万尼尔的人在出发前加入了我们，这样挺好，因为我与一个同伴独处时，总是会争吵起来。莫瑞斯很热情地邀请了我，假期中他也对我很友好。我们在一个村子里待了几天，那里只有我们几个游客。然后我们去了别处，那里还有另外几个来自英联邦的研究员，也有一些其他国家的。我也不知道为什么我们要改去那里，我想可能是莫瑞斯想跟更多的人一起玩。

也许艾伦希望莫瑞斯多跟自己玩，因为他就像是成年的克里斯朵夫·默卡。当他们开车穿越波士顿时，车抛锚了。在他们回来的时候艾伦记录道：

上个星期天，莫瑞斯和弗兰西斯·普利斯安排了一个寻宝大派对。共有13种不同的线索，有字谜，密码，电文，还有一些我不懂的东西，这些加密方式很巧妙，只是我不经常使用。

有一个线索，巧妙地把大家引到弗兰西斯和肖恩共用的盥洗室，在那里的报纸下面，藏着下一个线索。肖恩·怀利发现自己很擅长编写密码。艾伦参加解谜和话剧活动，午餐时他们又玩了象棋和其他游戏，雪融化时他们开始玩网球，后来又精力十足地玩起了曲棍球。这些新人在普林斯顿的运动场上，成立了一个旅美英国人联盟。1937年5月，正是在这个运动场上，他们目睹了兴登堡号的大火映红了地平线。

艾伦很喜欢这一切，但他的社会生活就是一个谜。像任何同性恋者一样，他的生活就像一场模仿秀，而不是扮演自己的真正角色。有些人会觉得自己很了解他，某种程度上确实是这样，但他们并不真正了解他面对着多么艰难的困境。艾伦作为一个同性恋者，却要尽最大的努力去消灭同性恋的存在。还有一个困境不这么严重，但同样始终与他纠缠，那就是他必须融入学术界的传统体制，但这种体制并不适合他。在这两件事上，他只能破坏他的自我世界。没有什么问题是只靠思想就能解决的，因为他的肉体生活在这个社会中。实际上，这些问题是不可解的，只会不断地给他制造困惑和意外。

1937年2月初，《可计算数》的印刷本寄到了艾伦手上，艾伦把它寄给了一些朋友。有一份给爱普森（他现在已经离开舍尔伯尼了），还有一份给詹姆斯·阿特金斯（他现在在沃尔萨文法学校教数学）。艾伦还给詹姆斯写了一封信，信中非常悲伤地说，他曾经想到了自杀，要用苹果和电线。

这又是一例成功之后的失落，《可计算数》的工作，就像是艾伦的爱情，现在它已经结束了。艾伦现在面临的问题是，下一步要做什么。我的精神哪去了？我的研究是不是死胡同？我做了这些事情是为了什么？这些问题，对于萧伯纳笔下的人来说都很无所谓，但对艾伦来说却是很严重的。事实上，这并不是艾伦的理想。艾伦曾经思考过，我们为什么要有肉体，为什么我们的精神不能独立地存在和沟通。他认为也许这是可以的，但这样就不能做事了，有了肉体我们才能做事。但是现在，他的肉体该做些什么，才能无损于他的纯洁的精神？

1937年1月到4月，艾伦一直在专心写论文，一篇关于λ算子，两篇关于群论。其中，逻辑论文是在克林的基础上提出一些新观点。一篇群论论文与莱恩赫·巴尔1935年的研究有关，这位德国代数学家现在也来到了高级研究院。另一篇群论论文则是一项创新的工作，是通过与冯·诺依曼交流而入手的，关于一个由波兰数学家S.乌拉姆提出的问题：能不能用有限群来逼近连续群，比如说能不能用多边体来逼近一个球。冯·诺依曼把这个问题交给艾伦，艾伦在4月时成功解决并提交了论文。这项工作做得很快，艾伦的结论是，在一般情形下，连续群不能被这样逼近。

这时候，艾伦得到了继续留在普林斯顿的机会。2月22日，他写信回家：

我昨天去艾森哈特家，参加例行的星期天茶会，他们劝我再留一年。艾森哈特夫人从社会的角度，或者说半道德半社会的角度，给我讲为什么再留一年是有好处的。院长让我申请保洁奖学金，并暗示说我能得到（2000美元）。我说国王学院可能更希望我能回去，又说了一些模棱两可的承诺。我在这里认识的人都会离开，而且我也不想在这个国家度过漫长的夏天。我想知道你有什么想法，我更倾向于回英国。

艾森哈特院长是一个守旧的人，他甚至会在讲座上因为使用了现代的抽象群而道歉，但他是个很善良的人。他和他的夫人，在茶会上总是周到地招待学生。艾伦收到了菲利浦·霍尔寄来的一个通知，说剑桥的讲师席位有一个空缺名额，这是艾伦非常想要的。讲师席位意位着剑桥会成为他永远的家，这是解决他自身问题的唯一方法，也是对他做出的成绩的肯定。4月4日，艾伦在给他的回信中写道：

我正在争取，但是成功的可能性不大。

他还写信给母亲，这时她正动身去巴勒斯坦朝圣：

我和莫瑞斯都在争取这个职务，但是我觉得我们可能都得不到。我想趁早争取一下这些东西，获得一些存在感也是个好事。我以前忽略了这些问题，莫瑞斯可能更清楚什么东西对职业生涯有用，他总是努力地与那些数学权威交往。

和艾伦想的一样，他没有获得剑桥的教席。英哈姆从国王学院写信给他，鼓励他在普林斯顿再留一年，这让他做了决定。5月19号，他写信说：

我已经决定了，在这里再留一年，但我必须按照之前的计划，夏天回英国避暑。感谢你对我的资助，我想我可能并不需要了，如果照院长说的，我能得到保洁奖学奖，那我将会很宽裕，否则的话，我就应该回剑桥。如果再以这样的方式留在这里，那就有点太奢侈了……

我将于6月23日启程，出发前我会在这里旅游一下，这个季节不太适合工作。我也有可能不旅游，我不想为了旅游而旅游。

很遗憾莫瑞斯明年就走了，他是一个很好的伙伴。

很高兴王室坚持对抗内阁，维持爱德华八世的婚姻。

因为艾伦还要继续留在这里，所以他决定要争取一个博士学位，就像莫瑞斯那样。在讲座上，丘奇提出了一个论文课题，关于哥德尔定理的意义。艾伦在3月时写完了，他想从逻辑学中找到一些新想法，《可计算数》并不完美，但是很有希望。

至于保洁奖学金，他确实得到了。因为剑桥的校监收到了一些推荐信，其中一封是这样写的：

先生：

A.M.图灵先生告诉我，他正在申请一个1937～1938学年剑桥访问普林斯顿的保洁奖学金。在1935年的最后一个学期我前往剑桥访问时，还有1936～1937整个学年图灵先生在普林斯顿时，我一直有机会关注他的研究工作。我很支持他的申请，并且希望你知道，图灵先生在过去的一年中，表现非常出色。他在数学领域的发展非常成功，令我很有兴趣，特别是他在概周期函数论和连续群论方面的工作。

我认为他是最值得获得保洁奖学金的人，如果你能将此授予给他，我会非常高兴。

约翰·冯·诺依曼敬致
1937年6月1号

艾伦请冯·诺依曼写这封推荐信，是因为他的名气很大，但不知道为什么，这封信中没有提到《可计算数》，这可比信中那些重要多了。难道艾伦在论文印刷好，并寄给很多人以后，还是没有让冯·诺依曼知道吗？如果艾伦得到了冯·诺依曼的欣赏，他的第一件事就应该是让冯·诺依曼关注《可计算数》。如果这是因为艾伦害羞，耻于把他的研究“推销”给数学权威，那么这就是艾伦缺乏世俗感的典型例子。

然后艾伦的预感只对了一半，也许另一半会让他懊恼：莫瑞斯·普利斯获得了剑桥大学的讲师席位，此外还有上一年度的保洁奖学金获得者雷·力托顿。艾伦花了一些时间去旅游，因为莫瑞斯把他的车卖给了艾伦，是一辆1931年的福特V8，去年夏天他曾经开着这辆车，逛遍了几乎整个州。莫瑞斯教艾伦开车，这可不是个好差事，艾伦笨手笨脚，不太擅长操作机器。有一次艾伦开车掉进了卡耐基湖，差点把他们都淹死。6月10号，他们一起去拜访一位图灵家的亲戚，这想必是图灵夫人劝艾伦去的。这位亲戚名叫杰克·克劳福德，年近古稀，以前是罗得岛州威克费德的教区长，现在已经退休了。

这次拜访不像艾伦想象的那么冷淡乏味，他与杰克·克劳福德很聊得来。杰克年轻的时候，曾在都柏林的皇家科学学院学习：

我很喜欢在杰克家的日子。他是一个精力充沛、成熟稳重的人。他自己建了一个小型观测台，有一架望远镜，他还给我讲怎么打磨镜子……玛丽很小，似乎可以把她抱起来放在口袋里，她很调皮，很喜欢杰克。

他们都是很传统的人，艾伦觉得这里比普林斯顿更像一个家。他们并没有多虑，很自然地让艾伦和莫瑞斯睡在一张双人床上。

于是，友谊的铁链骤然崩断，莫瑞斯大惊失色，因为他毫无戒备。艾伦赶忙道歉，然后撤出，他没有一丝害羞，只是充满了愤怒。他愤怒地讲述，他的父母去印度待了那么久，把他留在寄宿学校。《青春织机》里面说过：

接着杰弗里疯狂地宣泄，他大声咆哮道：不公平吗？对，就是不公平，这就是不公平！是谁把我变成这个样子，难道不是弗赫斯特吗？……他把我变成了这样，然后转身对我说，我不配成为这个伟大学校的一员，然后我不得不滚蛋……

这令人尴尬的时刻，使艾伦觉得自己很可怜，否则他永远不会将此表露出来，也不会思考该如何解脱。现在他应该向前看了，而不是一直纠结，可是前面是什么？如何向前？莫瑞斯接受了他的解释，并且再也没有提起此事。艾伦在25岁生日那天，登上皇后玛丽号，并于6月28日在南安普顿上岸。他错过了6月4日的研究生垒球比赛。

1937年的平静的夏天，艾伦回到了剑桥，他手上有三个主要的项目。首先是对《可计算数》进行一些整理。苏黎世的博纳斯，在他的证明中发现了一些错误，他必须在伦敦数学学会会刊上发表一个更正。他还要补充一个形式证明，表明他的“可计算”和丘奇的“有效过程”是等价的。现在有一个相同的定义是“递归函数”，这是一个非常巧妙的方式，可以用一些基本的函数来描述另外一个函数。哥德尔提出了这个想法，而且被克林采用，这个想法在哥德尔对不完备性的证明中起到了关键作用，并产生了“递归函数”的定义。现在可以证明，一般化的递归函数和可计算函数是等价的，所以丘奇的λ算子和哥德尔的方法，都是与图灵机等价的。而图灵机模型，是这些当中最接近机械过程的。这三种关于机械过程的不同想法，分别被独立提出，最终又殊途同归，在当时这是一件明显而惊人的事。

第二个项目，关于博士论文中的“逻辑学的新想法”，总体上就是看看有没有什么办法，能够逃脱哥德尔的力量。这其实并不是一个新问题，因为罗瑟（现在在康奈尔大学）已经在1937年3月写了一篇关于这个问题的论文。但艾伦打算在这个问题上发动一场更猛烈的进攻。

第三个项目是很有野心的，艾伦想在数论的核心问题上施展一番拳脚。这并不是个新兴趣，早在1933年，艾伦就在读英哈姆关于该领域的文献。在1937年，英哈姆给他寄了一些新的论文，他看了之后，便打算再挑战一下自己。说这个项目很有野心，是因为艾伦选择的问题，长久以来吸引并套牢了许多伟大的数学家。

素数是个很平常的东西，但却产生了一系列莫名其妙的问题。很早以前，其中一个问题被解决了，也就是欧几里得证明了素数有无限多个。所以，虽然在1937年人们已知的最大素数是2 ¹²⁷ -1=170141183460469231731687303715884105727，但是人们知道永远还有更大的。然而，素数还有另一个性质，虽然很容易看出来，但却很难证明，那就是它的分布越来越稀疏。一开始几乎每个数都是素数，100以内则只有1/4的数是素数，1000以内只有1/7，而到了10000000000以内，就只有1/23了。人们需要知道这是为什么。

大约在1793年，15岁的高斯注意到，这个稀释的过程是有规律的。n以内的素数的间距，与n的大小有关，准确地说，它与n的自然对数成正比。高斯在他的余生中，只要有空就去验证这个猜想，他很喜欢做这样的事。他检查了3000000以内的所有素数，死而后已。

直到1859年，这个问题一直没有新的进展。直到这一年，黎曼提出了一个新想法，他发现可以引入复数 作为桥梁，连接离散的素数，与平滑的连续函数，比如对数函数。黎曼由此得到了一个素数密度的公式，对高斯发现的对数规律做了一些改进。但是这个公式仍然不准确，而且也无法证明。

黎曼的公式，忽略了某些无法估算的误差。在1896年，人们认为这种误差太小，不会影响主要结果，但现在要找的是素数的分布规律，这是一个精确的规律——光有观察是不够的，还要证明它永远有效。但是，故事并未结束，从素数列表来看，其分布规律与对数函数惊人地吻合，总体来说，误差不仅很小，而且是非常非常小。但问题是，对于整个无限的范围来说，总能保持这样小吗？如果是，那么这是为什么？

黎曼的研究工作，把这个问题带入了一个完全不同的形式。他定义了一个复函数，叫作“ζ函数”，误差始终能保持这样小，基本上就等价于这个命题：黎曼ζ函数的零点全都分布在平面的某条直线上。这个命题被称为黎曼猜想。黎曼本人，以及其他很多人，都认为这个猜想是成立的，但却没有人能够给出证明。1900年，希尔伯特把它列为20世纪的第四个数学难题，有的时候还说它是数学中最重要的问题。哈代被这个问题困扰了30年，仍未获得成功。

这是数论的核心问题，并引出了一系列相关问题，艾伦选择了其中一个，作为自己的研究方向。如果不考虑黎曼的改进，只考虑那个原始命题，即素数的稀释与对数函数成比，那么在特定的范围内，它总是会高估素数的数量。对几百万个数值进行归纳，随着范围越来越大，可以看出这个现象似乎总是成立的。但是在1914年，哈代的合作者J.E.列托伍德将此推翻，他认为会存在某些转折点，使这个公式转而低估素数的数量。随后在1933年，剑桥的一位数学家S.斯奇乌斯表明，如果黎曼猜想是成立的，那么就会在

之前找到一个转折点。哈代评论说，这个数可能是有用的数学研究中出现过的最大的数 ^[1] 。人们现在要问，这个巨大的范围是否有可能缩小，或者说，是否有可能不依赖于黎曼猜想的正确性而找到一个范围。这就是艾伦现在要研究的问题。

艾伦在剑桥的另一个收获，是认识了哲学家路德维希·维特根斯坦。他以前也许在道德科学俱乐部见过维特根斯坦，维特根斯坦（他喜欢伯特兰·罗素）已经读过了《可计算数》。1937年夏天，国王学院的研究员艾力斯特·沃特森为他们引见，他们时常会在植物园见面。沃特森围绕图灵机的概念，给道德科学俱乐部写了一篇关于数学基础的论文。维特根斯坦是工程师出身，他很喜欢实践，他想要通过一种实体的构建，来证明艾伦的想法。有趣的是，希尔伯特计划的失败，终结了维特根斯坦前期的信念，在他的《逻辑哲学论》中，他认为所有表述清楚的问题都是可解的。

在假期中，艾伦有时会去划船，还去伦敦与维克托一起待了一阵子。尽管维克托的父亲原则上拥护女权运动和利润平分这样的自由思想，但是他的公司却以严格的独裁模式运作，还包括他的家庭。维克托的弟弟吉拉德在帝国理工学院学习物理学，他把时间都用来研究飞机模型，他的父亲却很生气，并要阻止他的这些研究。艾伦听到这件事很愤怒，他认为吉拉德这样做同样是在探索科学，艾伦很敬重别特尔先生，所以他感到格外失望。他非常赞同吉拉德对父亲所说的，他只会遵守合理的规则，无论是在家族企业还是科学研究方面。

还是在伦敦，艾伦在周末去见了詹姆斯。他们住在罗素广场附近的一个脏乎乎的民居里，同去看了一两场电影，还有爱尔默·赖斯的《审判日》。尽管艾伦觉得，詹姆斯的肉体没有什么吸引力，但他也觉得，和一个不会拒绝他的性要求的人待在一起很自在。这个周末之后的12年中，詹姆斯几乎没有更深一步的经验，而艾伦却有不断的新探索，这就是后话了。

9月22日，艾伦在南安普顿见到了普林斯顿的美国朋友威尔·琼斯。他们约定好一起回美国，乘坐德国公司的欧罗巴号客轮。威尔·琼斯在牛津度过了这个夏天，他选择德国船，只是因为它很快。假如艾伦是个坚定的反法西斯主义者，他就不应该乘坐德国船，但如果他是个传统的人，那就不应该在航行途中读着一本画着镰刀锤子的书来学俄语。他们到达美国时，艾伦写道：

很高兴与威尔·琼斯同行。船上似乎没有任何有趣的人，所以我和威尔讨论哲学来消磨时间，还花了半个下午的时间来计算船的航行速度。

回到普林斯顿后，艾伦和威尔·琼斯在一起聊了很长时间。威尔·琼斯来自密西西比州，在牛津大学学过哲学。他对科学很有兴趣，对艺术也有研究，同时还是一位哲学家。他目前正在写学位论文，关于康德提出的，即使人的行为像天体运转一样确定，也仍然存在着道德的判断。他与艾伦讨论量子力学是否会在这个问题中产生影响，这个问题已经困扰艾伦五年多了。现在来看，他似乎同意罗素的观点，在某种层面上讲，世界确实是以确定的方式发展的。他现在不太有兴趣在哲学角度上讨论自由意识，也许是因为，这会与他强烈的唯物主义信仰产生冲突。值得一提的是，默卡夫人在1932年送给他的钢笔，在这次航行中被他弄丢了。

艾伦还给威尔·琼斯讲了一些数论，他很喜欢艾伦讲解的方式，从最简单的公理出发，精确地推导出其他东西，不是像学校里面的那种死记硬背的数学。艾伦没有和威尔谈论他的感情问题，但他可能从更广泛的交谈中得到了安慰，因为威尔也很赞同G.E.摩尔和凯恩斯的道德观。

艾伦和威尔去年就已经认识了，在他们的朋友圈中，还有一个人也回到了普林斯顿。这就是麦卡姆·麦克菲尔，他参与了艾伦的一项副业：

大概是在1937年的秋天，图灵首先警觉，德国可能会引发一场战争。那时，他除了埋头工作于他著名的论文之外，还发挥他的智力，抽时间研究密码学。在这方面，我们讨论了很多。他想到，通过一个约定的密码手册，可以把单词转化成数，这样就可以把一条信息转化成一串二进制数。为了让敌人即使掌握了密码手册也不能破解信息，就要把这个代表特定信息的数，乘以一个非常大的密钥数，然后传输它们的乘积。这个密钥数的长度，可以根据需要来设定，应该保证在一个德国人每天用台式计算器工作8小时的情况下，需要花费100年才能算出这个密钥。

实际上，图灵还设计了一个电动乘法机，并且制造了前三个或四个模块，来试验它是否能工作。为了实现这个计划，他需要一种继电器开关，当时在市场上买不到，于是他要自己制作。普林斯顿的物理系有一个很小、但是很不错的机械加工间，供研究生使用。我对这个计划的小贡献就是，把我的钥匙借给了图灵，这可能是违反规定的。我还教他使用车床，钻机，冲压等，我告诉他怎么操作才不会切断手指。他最终成功地做出了继电器，他的乘法机很好用，我们很高兴。

从数学的角度看，这个项目并不高级，因为它只能计算乘法。但是，尽管它没有应用什么高级理论，但它体现出来的某些基础数学的应用价值，是1937年的人们没有发现的。

首先，用二进制形式进行实际计算，这看起来很新奇。艾伦在《可计算数》中已经使用了二进制，以便只用0和1就能表示所有的可计算数。在实际的乘法机中，二进制的优势更加明显，它使乘法简化为：

二进制的乘法表是非常简洁的，乘法机要做的只是移动和相加。

这项计划的第二点是关于逻辑，对0和1进行的算术运算，可以看做是逻辑运算，比如前面的乘法表，可以看成等价于逻辑上的“与”运算。也就是说，如果有命题p和q，则p与q的真值表可以表示为：

这是同样的运算，只是解释不同。艾伦对这些东西非常熟悉，任何一本逻辑教材的第一页都会讲这些运算。1854年，乔治·布尔将他所说的思考规则形式化，从那以后，这些运算有时也被称为布尔代数。所有的二进制运算都可以用与，或，非来表示成布尔代数。艾伦在设计乘法机时，就通过布尔代数来减少需要的基本操作的数量。

这个方法，也同样可以用来制造图灵机。但是，要想用一台实际工作的机器来表现这些，还需要一些方法来控制机器的物理状态。要解决这个问题，就要用到开关，开关的功能就是在两种状态中进行切换，开或关，0或1，真或假。艾伦使用的开关，是由继电器来控制的，这样一来，电流就可以将他的逻辑想法，变成实际的物理工作。电磁继电器并不新鲜，美国物理学家亨利在几百年前就已经把它发明出来了，它的物理原理和电动机是一样的，电流通过线圈，使磁头发生移动。总之，继电器的用途和开关是一样的，就是用来接通或断开一个电路。人们叫它继电器，是因为它最早是用于电报系统，一个较弱的信号通过继电器，就可以触发一个清楚的信号。

在1937年，人们并不清楚可以用二进制或布尔代数来表示组合开关的逻辑功能，但对于逻辑学家来说，这是很简单的。艾伦的任务就是，用一系列继电器开关的组合，来实现图灵机的逻辑功能。他的想法是，由一个输入终端，用电流形式将数字表达给机器，继电器通过开关的方式，让电流经过，并体现在输出端，就像把编码后的数字写出来。这并不使用实际的纸带，但从逻辑上来看，它们是完全一样的。图灵机即将来到这个世界了，它的初级阶段就是那个乘法机，现在它已经实际运转起来了。艾伦走进了机械加工间，这是他的一小步，但却是一个重要的标志，这意味着他越过了数学与工程、逻辑与物理之间的界线，他开始面对这个实体的世界了。

然后对于一个密码机来说，艾伦的想法完全不靠谱。他应该注意到，德国人可以计算多个密文的最大公约数，然后就能得到那个作为密钥的乘数了。尽管艾伦后来做了一些改进，弥补了这个漏洞，但仍然还有其他严重的问题，比如，在传输过程中如果有一位数字发生了错误，那么整个密文都将无法解密。

这一点是他没有认真想过的，于是他干脆放弃了这个二进制乘法机的计划。他每周都会收到从英国寄来的《新政客》 ，其中会有一些恐怖的关于德国内外政策的文章。尽管对艾伦来说，做一些军事工作只是为了有趣，并不是为了什么责任感，但纳粹的种种行为已经使他相信，参与这种工作，不再需要有道德上的不安。

艾伦还思考着其他机器，但与德国没什么关系，这是一个完全不同的想法，他想要计算黎曼的ζ函数。他认为黎曼猜想很可能是错误的，因为这么多大量的努力都不能证明它。说它是错误的也就是说，ζ函数的某些零点并不在那条特定的直线上。这可以通过大量计算来验证，只要计算出足够多的ζ函数的值。

这个计划已经启动了，黎曼亲自计算了最初的一些零点，并认定它们确实都排在一条线上。1935～1936年，牛津大学的数学家E.C.蒂施马奇用天文预测中使用的打孔卡片设备，证明了ζ函数的前104个零点都在一条线上。艾伦的想法是，要检验接下来的几千个零点，希望能找到一个不在线上的。

这里面存在两个问题。首先，黎曼的ζ函数的定义，是一个无限项的和式，尽管可以表示成一些其他的形式，但这些变形都要涉及估算的问题。对数学家来说，需要找到一个好的估算方法，并证明它是好的，也就是误差足够小。这个工作并不涉及算术，而是涉及与复变函数有关的技术。蒂施马奇使用的估算方法，是从黎曼70年前在哥廷根的论文中挖掘出来的。但是，要想计算几千个新的零点，就需要新的估算方法。艾伦现在就要开始去寻找并证明。

第二个问题与此不同，这是一个实际计算中的基本问题。他需要把数值代入一套近似公式，然后计算几千个不同的项，这个公式的形式是一系列不同频率的周期函数的总和，类似于计算天体位置。这就是为什么蒂施马奇要采用天文学中的打孔卡片，来做加法、乘法、查询余弦表这些重复而繁琐的工作。在艾伦眼中，这个问题更像一个更大规模的问题——潮汐预测。潮汐可以看成是大量不同周期的波浪的总和。在利物浦，有一台机器能自动地执行这样的求和，它产生特定频率的周期运动，并把它们叠加起来。这是一个简单的模拟机，它为需要计算的数学函数构造一个物理的模拟。这是和图灵机很不一样的想法，图灵机是基于一套有限的、离散的符号集，而这个潮汐预测机则像是一把计算尺，它与符号无关，只依赖于长度的测量。艾伦意识到，这样的机器就可以用于ζ函数的计算，从而避免那些繁琐的工作，比如乘法和查余弦表。

艾伦一定是把这个想法告诉了蒂施马奇，因为有一封1937年12月1日来自蒂施马奇的信，赞同了这项计划，并且提到：“我在利物浦也见过那台潮汐预测机，但我没想到可以用在这里。”

这时还有一些插曲。艾伦仍然在玩曲棍球，他们的队伍已经溃不成军了，因为缺少了弗兰西斯·普利斯和肖恩·怀利。感恩节的时候，艾伦第二次开车去北方，拜访杰克和玛丽·克劳福德，他的驾驶技术已经很有进步了。圣诞节前，艾伦接受维纳博·马丁的邀请，前去和他一起度假。马丁住在南卡罗来纳的一个小镇上。

两天后我们开车南下，在那里待了两三天，然后回到弗吉尼亚，拜访了威尔伯尼夫人。这是我去过的最南的地方，大约是北纬34度。虽然内战已经过去很久，但那里的人们似乎仍然很穷。

威尔伯尼夫人，用艾伦的话说，是一个弗吉尼亚州的神秘女人。她的爱好之一，就是在圣诞节的时候，邀请一些英国研究生前来度假。艾伦和威尔·琼斯又组织了一次寻宝活动，但已经不像去年那么热闹了。4月时，艾伦和威尔一起去旅游，他们去了安那波里斯的圣约翰大学，还去了华盛顿。

我们还去听了一会参议会，看起来很不正规，只有六七个人出席。

他们从旁听席往下看，看到了罗斯福的党主席吉姆·法利。但对于艾伦来说，这都是另一个世界的人。

艾伦这一年的主要任务，是完成他的博士论文，主题是关于是否有办法逃脱哥德尔定理。基本的想法就是在系统中加入更多的公理，使不可证明的命题变成可证明的。添加一条公理是很容易的，可以使一条命题变得可证明，但问题是，哥德尔定理同样适用于扩大后的公理集，所以又会产生新的不可证明的命题。因此，加入有限多个公理是不够的，必须要讨论另一种情形，那就是加入无限多个公理。

这仅仅是个开始，数学家们都知道，有很多方法可以处理无限问题。康托尔在研究整数的次序时，就考虑到了这一点。他假设说，如果把整数这样排列：首先是所有的偶数，按升序排列，然后是所有的奇数。从直觉上来说，这样排成的序列，应该是正常顺序的两倍长，同理还可以排成三倍长，甚至可以是无限倍长。总之，这个序列的长度是无限的。同理，也可以用这种方法，把一个无限长的算术公理表，扩展成两倍，甚至无限多倍的无限列表，也是无限的。现在的问题是，是否存在一个这样的列表，使哥德尔定理不适用。

康托尔用序数来描述他的这些整数序列，而艾伦则把扩展算术公理系统称为序数逻辑。某种意义上讲，很明显，从希尔伯特的角度来看，这些序数逻辑都是不完备的。因为如果有无限多个的公理，我们就无法把它们全写出来，所以必须要有一组有限的公理来生成它们。这样一来，这个公理系统还是基于有限的规则，所以哥德尔定理仍然适用，也就是说，其中仍然存在无法证明的命题。

然而，还有一个更加难以捉摸的问题。在艾伦的序数逻辑中，一个产生公理的规则，是把一个序数公式代入一个特定的表达式，这是一个机械的过程。但是，判断一个公式是不是序数公式，并不是一个机械过程。艾伦的问题是，能否把算术系统中所有的不完备性集中起来，集中到一个不能解决的问题上，这个问题就是判定哪些公式是序数公式。如果这一步能成功，可能就会得到一个完备的系统，其中的任何命题都是可证明的，只是没有一个机械的过程来描述这个公理系统是什么。

艾伦把判定一个公式是否是序数公式的这项工作，比作是一种直觉。在一个完备的序数逻辑中，任何算术定理都能够通过机械过程配合这种直觉来证明。艾伦希望通过这种方式，使哥德尔定理的力量得到一定的控制。但是很遗憾，他的结论是消极的。完备的逻辑确实存在，但是有一个问题，人们无法知道在证明一个定理的过程中，有多少个步骤要依靠直觉。用艾伦的话说：“我们无法衡量一个定理有多‘深’，也说不清楚这个系统在做什么。”

在这个问题上，艾伦有个想法，他想到一种算卦式的图灵机，这种机器对应着一个不可解的问题（比如判定一个序数公式），这就引入了“相对可计算性”的观点，或者说相对不可计算性，于是开创了一个数理逻辑的新领域。艾伦也许想到了《千岁人》中的超智能，他们替萧伯纳回答了政客们的那些不可解的麻烦事，答案就是：滚回家去吧，你个傻瓜！

在艾伦的论文中，有一点没有说清楚，那就是这种直觉可以达到什么程度，是只能判定一个不可证明的命题，还是能够解决人类的所有问题。他是这样写的：

数学可以看成是这两种过程的组合，我们可以称之为直觉和推导（在此我们假设数学家的作用只是判定一个命题的真伪）。直觉活动包括做出一些无意识的、自然形成的判断……

艾伦还说，序数逻辑就是对这种组合的形式化。但是，即使引入了直觉，这仍然对有限定义的形式系统的不完备性起不到什么作用。人们在1931年才知道不完备性，但直觉却早就已经有了。在《可计算数》中也有类似的模糊，即在机械的过程中，做了一些并不机械的事情。这对探索人类的思维是否有意义？在这个时期，艾伦自己也搞不清楚。

关于未来，他的打算是回到国王学院，希望能在1938年3月，三年的研究员职位到期时延长任期。而另一方面，他的父亲则写信建议他在美国找份工作（看起来他不太爱国）。不知道是什么原因，国王学院拖了很久才通知他，他的研究员职位已经延长了。3月30日，艾伦写信给菲利浦·霍尔：

我正在写博士论文，非常难写，我总是反复地重写其中的一部分……

我更担心的是，我不知道我的研究员职位能不能延长。我怕他们说今年不推选，那就彻底没办法了。希望你能从侧面帮我打听一下，非常感激。

但愿在我回去之前，希特勒不要进攻英国。

自3月13日德国与奥地利结盟之后，每个人都开始严肃地看待这个问题了。同时，艾伦也找到艾森哈特，向他咨询是否有可能在美国找份工作。艾伦回复父亲：“我并不想留在这里，除非英国真的会在7月之前陷入战争。他也不知道现在有没有空缺职位，他说会帮我留意。”随后，这里真的有了一个工作机会，冯·诺依曼要在高级研究院招一个研究助理。

与冯·诺依曼的研究兴趣相同的人，无疑会比较优先。当时他在做数学与量子力学或其他物理理论的交叉研究，并不包括逻辑学或者数论。但是从另一角度来说，如果能与冯·诺依曼一起工作，将会是在美国的学术生涯的一个理想开端，艾伦的父亲的想法是很明智的。这里的竞争很激烈，而且市场不晴朗，到处都是从欧洲跑过来的人。如果跟冯·诺依曼一起合作过，无疑会增加很大的竞争力。

从职业生涯的角度看，这是一件大事。4月26日，艾伦给菲利浦·霍尔写信说“这里出现了一个工作机会”，但是在5月17日，他写信给图灵夫人说：“这里有份工作，给冯·诺依曼当助理，每年1500美元，但是我不想做。”这是因为，他已经发电报给国王学院，确认他的研究员职位延长了，所以他很果断地做出了决定。

现在的艾伦，已经在这片绿野仙踪里小有名气了，他已经不需要再为没人听他的讲座而苦恼了。现在冯·诺依曼也知道了《可计算数》，一年前他还不知道。1938年夏天，冯·诺依曼和乌拉姆一起去欧洲旅行时，曾提议玩一个游戏，在一张纸上写下一个尽可能大的数，然后用图灵的模型来定义它 。可是，无论这里现在有什么样的诱惑、奖赏、赞美，艾伦的脑子里都只有一个简单的想法——他想回家，回国王学院。

在10月时，艾伦曾经希望能在圣诞节之前完成博士论文，但实际上他没有完成。按他的说法，丘奇提了很多建议，结果把论文的长度搞到了很糟糕的程度。艾伦是个打字机的专家，但他的实际操作水平却很差，最后反而搞得一团糟。5月17日，他的论文终于提交了。5月31日有一个口头考评，评委是丘奇、莱夫谢茨和H.F.波布拉斯特，他们的评价是，该候选人非常优秀地通过了考评，不仅是在数理逻辑领域，而且还在其他领域有所造诣。此外还有一个科学法语和德语的测验。用这些方式来考核艾伦，实际上有点荒唐，因为与此同时，艾伦还作为评委，为一位剑桥候选人的博士论文审稿。那篇论文后来被艾伦驳回了。6月21日，艾伦获得了博士学位，但他并不在乎这个头衔，这在剑桥几乎毫无用处。

艾伦从这片绿野仙踪走出去时，与故事中的情节不太一样。这里的大巫师并不是骗子，而且还希望他留下来。桃乐丝解决掉了邪恶的西方女巫，但艾伦的情况却与之不同。虽然普林斯顿有别于美国的传统社会，但仍然使艾伦不得安宁。他的问题一直没能解决。他的内心很自信，但是就像他3月看的《教堂里的谋杀》一样，他虽然活着，但却是分裂地活着。

但是在某一点上，他有点像桃乐丝。他始终有事可做，并从容地等待机会到来。7月18号，艾伦乘坐诺曼底号邮轮，在南安普顿上岸。他随身带着用面包板制作的乘法机，外面裹着很厚的牛皮纸。他写信给菲利浦·霍尔说，7月中旬见。他并没有多说什么，还有很多谨慎的准备工作，需要他自己做。

艾伦的想法是对的，女王政府确实很关心编码与密码问题 ，有一个部门专门负责这项技术工作。1938年时，这个部门是第一次世界大战时遗留的、由海军设立的第40室。

1914年，苏联人打捞到了德国的密码本，并转呈英国海军，随后，英国从大学和其他学校招募了大量人员，来破译各种各样的无线或有线的信号。这项工作的负责人，是海军的霍尔上将，这个人非常乐于把玩外交信息（比如著名的齐默尔曼电报）。霍尔对政治权术很在行，正是他曝光了凯斯门日记。停战后，这个组织保留了下来，但在1922年，外交部成功地接手了它。当时把它改名叫政府编码密码学校，而且主张学习外国势力所使用的密码技术，来促进英国编码与密码技术的提高。现在它表面上对外交大臣负责，实际上由秘密情报部门直接领导 。

政府编码密码学校的负责人，是海军的阿拉斯泰尔·丹尼斯顿中校，经过财务部的批准，他雇用了30个助理作为高级人员，另外还有大约50个工作人员和打字员。在助理中，分为15个资深助理和15个初级助理。资深助理都在第40室供职，也许只有费特莱恩除外，他是从苏联逃亡而来，因此担任对俄部门的领导。这里还有奥利文·斯传奇，他是林顿·斯传奇的兄弟、著名女权主义者瑞·斯传奇的丈夫。还有迪尔威·诺克斯，第一次世界大战前的国王学院研究员。斯传奇和诺克斯都是凯恩斯圈子的成员。初级助理是在20世纪20年代部门扩张时招募的，最近加入的是A.M.肯德里克，在1932年加入。

政府编码密码学校（以下简称“政密学校”）的工作，在20世纪20年代的英国政局中扮演了重要的角色。他们截获并公开的苏联情报，造成了1924年工党政府的倒台。但是为了防止英国变成第二个德国，编码密码学校并不是非常活跃。在截获意大利和日本的通信的工作中，他们获得了许多成功，但是官方历史认为他们很不幸，因为他们在1936年之后所做的大量军事工作，几乎没有关于德国的。

一个基本的原因是经费问题。丹尼斯顿申请增加人手，以便在地中海地区进行军事工作。1935年秋天，财政部允许他增加13个职务，但只是为期6个月的临时工。1937年1月，从丹尼斯顿对财务部的一次典型的通信中，可以看到：

西班牙方面的情况……自从埃塞俄比亚危机之后，通信量确实增加了……下面是1934，1935和1936年最后三个月掌握的通信量：

1934　10638

1935　12696

1936　13990

在过去的一个月中，现有员工只能通过加班，来应对通信量的增长。

1937年间，财务部同意了增加长期员工，但是这仍然不能解决这种情况：

德国的无线通信量……增长了。要想在英国的工作站截获它们，仍然存在很大难度。1939年，我们缺少设备和人员，无法截获德国所有的通信，截获的通信也无法进行彻底研究。一直到1937年和1938年，政府编码密码学校没有增加任何人员，而且因为在截获德国情报方面始终处于劣势，所以我们招募的8个研究生，也都改去应对同样增长的日本和意大利的通信量了。

然而，问题还不仅仅是人员和预算。这个老部门在20世纪30年代末的机械化革命中并不成功。第一次世界大战之后，现代密码破译技术进入了黄金发展时期。现在德国已经把一个超出他们想象的困难，摆在了他们面前——谜机。

在1937年，与日本和意大利不同，德国的陆军、海军，也许包括空军，还有一些其他组织比如纳粹党卫军，使用了一种完全不同的通信系统——谜机。这种机器在20世纪20年代就已经推向市场了，德国人通过不断的修改，使它更加安全。1937年，政府编码密码学校已经破解了修改之前的原型，它被德国、意大利、西班牙等一些势力使用。但是现在的新型谜机，我们无法破解，而且它似乎能继续坚持下去。

在1938年，这个谜机就是英国情报问题的核心。但是他们认为，这个问题是无法解决的。以他们目前的人员来看，也许确实是这样的。在这个古典主义者的部门中，甚至一位数学家都没有。

1938年，仍然没有增加长期员工来弥补这个缺陷。他们计划，为了应对战争局势，需要雇佣60名密码专家。艾伦·图灵正是因此而走进了这个故事，他就是这些新兵中的一员。他也许是从1936年起，就已经和政府有了联系，又或许是在乘诺曼底号邮轮回来之后，通过某种渠道演示了他的乘法机。但更有可能的是，他是由某位在第一次世界大战期间供职于第40室的老教师引荐给丹尼斯顿的。这里的艾德考克教授，自1911年来就是国王学院的研究员，艾伦曾在国王学院的高级餐桌上谈过关于密码的问题，他的积极性可能由此传到了政密学校。总之，他被雇用了，在1938年夏天他回来后，参加了政密学校的一些培训课程。

艾伦和他的朋友们都意识到，战争很可能就要爆发了，当务之急，是要想些明智的办法来担任一些靠谱的职务，以免到时候被拉到前线，作为炮灰去冲锋。这种想法，实际上是贪生怕死，但政府的一些保护知识分子的政策，打消了他们的负罪感。于是，艾伦·图灵做了一个重大的决定，开始与英国政府进行长期的合作。他对女王政府怀有种种质疑，现在能够进入它的内部去看看，无疑让他很兴奋。但是，他已承诺愿为政府保守一切秘密，这就意味着，他内心中的一部分已经投降了。

就像白皇后把爱丽斯带入旅途一般，艾伦加入这个严肃而艰难的政府部门时，它正以一种混乱的状态，在安全码与字符串的海洋中苦苦挣扎。1938年9月，全世界都看到了，它在与谜机的较量中失败了。在那之前，英国人民仍然相信，在现有情况下，仍有合理的方案来应对德国的野心。但在那之后，关于正义和自主的道德辩论，最终在力量的现实面前停止了。为了避免国王学院研究员弗兰克·卢卡斯所说的“恐怖的明天”，剑桥大学的人们进行了重组，正如白皇后在刺痛之前的尖叫。伦敦的孩子们聚集在纽汉姆学院，男生们都感觉自己即将要被拉去充军了。现在情况很不明朗，但是有一些可怕的事情就要发生了。政府似乎一心只顾制造轰炸机，激进派到处强调现代化空战的毁灭性力量。

旧世界的一切将要结束了，但有一些东西，流入了对新世界的幻想。10月，《白雪公主和七个小矮人》来到剑桥，艾伦和大卫·晨佩侬一起去观看。艾伦最喜欢的场面，是那个邪恶的巫婆把一个苹果放进沸腾的毒汤：

让苹果浸满这汤，

渗入沉睡与死亡。

艾伦一遍又一遍地反复吟唱这个不祥的征兆。

在宴会上，艾伦邀请了牛津的肖恩·怀利。肖恩·怀利和大卫·晨佩侬现在都是温彻斯特的研究员。艾伦把乘法密码机告诉了晨佩侬，还告诉肖恩他被征募和暑期培训的事，普林斯顿的寻宝游戏，现在产生了一个严肃的结果。艾伦还说到他在研究概率论时，喜欢抛硬币做实验，虽然他在国王学院已经不需要注意形象问题了，但如果有人看见，仍然会觉得他有点弱智。莫瑞斯·普利斯现在当讲师已经两年了，他和艾伦谈了一个关于铀核裂变的想法，莫瑞斯想出了一个方程式来计算链式反应需要的条件 。

根据推测，艾伦可能再次申请了讲师席位，如果真的是这样，那他就是再次失望了。不过，他还申请了在春季学期讲授一门关于基础数学的课程（纽曼今年不讲了），这个申请被批准了，并象征性地支付给他10英镑，因为这并不是一门正式的第三部分课程。他还参与评估弗兰里奇·韦斯曼，这是一位维也纳派的哲学家，流亡到英国来，想开一门算术基础课。总之，艾伦在剑桥找到了一小块自留地。

1938年11月13日，张伯伦来到大学教堂参加停战协议日的活动，一位主教欣喜地称赞，说他在与希特勒的谈判中表现出来的勇气和洞察力拯救了欧洲的和平。但是，剑桥的观点更加注重眼前的现实，在国王学院，克莱芬教授根据政府在德国11月的暴力行动后的政策，主持了一个犹太避难者安置委员会。这对于艾伦的朋友弗雷德·克雷顿来说，是一个意义重大的事情，他在1935～1937年间，曾长期在维也纳和德莱斯顿做研究，这是与在普林斯顿玩曲棍球完全不同的经历。

这意味着两件非常困难和危险的事。一方面，他深刻地体会到了纳粹政权代表着什么，另一方面，涉及两个男孩。一个是维也纳的一个犹太寡妇的儿子，弗雷德在维也纳时曾与他同住。另一个是他在德莱斯顿教书时在学校里遇到的。1938年11月的事件，使维也纳的那一家陷入了危急的境地，弗雷德希望能把这个孩子救到英国。圣诞节之前，贵格会的救济行动把这两个孩子救过来了。他们住在哈维奇海岸的一个难民营里，写信给弗雷德，弗雷德马上动身前往。他看到在潮湿冰冷的、像奴隶市场一样的气氛中，年轻的逃亡者们唱着歌，一些德国或英国的歌。

艾伦听到这个故事时，也深受震撼。1939年2月，在一个阴暗的星期日，他和弗雷德一起前往哈维奇营地。他有一个想法，想资助一个想上学的孩子。大部分孩子对不用上学感到高兴，但罗伯特·奥根菲德是个例外，他来到英国后，改名叫作鲍勃。他从十岁起就梦想成为一名化学家。他来自一个相当不错的维也纳家庭，他的父亲在第一次世界大战时是一名随从参谋，坚定地一直送他去接受教育。在英国，没有人出钱资助他，于是艾伦想要资助他。这个想法有些不切实际，因为艾伦的研究员薪水不够让他这样做，尽管他还积蓄了一点保洁奖学金。艾伦的父亲写信问他：“你这样做明智吗？人们不会误解吗？”这个说法让艾伦非常懊恼，但是大卫·晨佩侬也认为他父亲的想法不无道理。

但这个问题很快就解决了。在兰卡郡的海边，有一所拉索尔公学，他们主动提出，要免费录取一些难民。他们打算安排鲍勃过去。鲍勃北上参加了面试，并且被拉索尔录取了，但有一个限制条件：他首先要在语言学校学英语。在路上，有些曼彻斯特的朋友照顾他，并把他托付给一个富有的磨坊主家庭。这为他的未来铺就了道路，虽然艾伦只是给他一些礼物和学习用品，但鲍勃非常感激他的恩情。艾伦的冲动是正义的，鲍勃就像艾伦一样坚强，在失去了自己的一切之后，仍然坚持为未来而奋斗。

与此同时，艾伦更加密切地关注政密学校，圣诞节期间还有另一场培训，艾伦前去参加，和帕特里克·威尔金森一起住在圣詹姆斯广场的酒店里。帕特里克·威尔金森是国王学院的资深研究员，也加入了密码学校。之后，艾伦每两三个星期就会过来，帮助进行一些工作。他发现自己与迪尔威·诺克斯和年轻的彼得·吐温很合得来。迪尔威·诺克斯是一位资深助理，彼得·吐温是牛津大学的物理学研究生，当2月份公布有空缺时，他作为一个新的长期人员加入了。艾伦获得许可，可以把一些谜机的研究工作带回国王学院，因为他承诺在研究时会把门锁上。丹尼斯顿很明智地在真正开战之前，就让他的后备力量投入到研究当中。但他们也无能为力，以现在对谜机的认识程度，完全没办法破解它。

如果图灵夫人知道她的小儿子现在肩负国家机密，一定会感到十分惊讶。艾伦现在已经学会了如何巧妙地处理家庭关系，特别是对他母亲。他们都认为他已经两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书了。艾伦在他母亲心中的形象，就是智商很高，但心智不健全。她要为艾伦打理外表形象之类的事，比如每年给他买新衣服（但他从来也不穿）、买圣诞礼物、带他给姑姑过生日，还有理发。特别地，她会敏感地指出并批评艾伦那些有失身份的中下阶级举止。艾伦在家里就用他天才少年的形象来应对这些。他会尽量避免对抗，到了复活节，他会一边工作一边唱赞美歌，用僵硬的语气歌颂“我们的主啊”。他并不是要撒谎，他只是靠这些来避免受到伤害。他不会对其他人做这种事，对于他来说，也是对于大部分人来说，家庭是最后一个可以说谎的地方。

不过，图灵夫人也感觉到，他的儿子肯定做了什么难以理解的大事，因为有很多外国人对他感兴趣，她有一次收到了一封来自日本的信，还有斯科尔斯在德国《数学与密码学》中提到了艾伦的工作。她只能通过这些外界的声音，来了解他的儿子究竟在做什么，她需要依靠这些官方反应，来觉察到底发生了什么事。艾伦在美国时，她帮他邮寄《可计算数》的复印件，艾伦也曾努力地给她解释过数理逻辑和复数，但这完全以失败告终了。

1939年春天，艾伦第一次在剑桥开课了，他的班上有14名第三阶段的学生，但他给家里写信说，到课的人数肯定会越来越少。但他至少要留住一个学生，这样他才能为6月的课程考试出题。其中的一道题，就是关于可计算数的证明。能把这个问题作为试题，是很令人愉快的，仅仅在4年前，纽曼还认为这个问题是无法解决的呢。

与此同时，艾伦还参加了维特根斯坦的数学基础课程。虽然这与艾伦的课程名称相同，但它们的内容完全不一样。图灵的课，是一场数学逻辑的游戏，由最初的公理，推导出整洁而严密的定理，按照精密的规则系统，发展出数学体系，并发现这个过程中的局限性。而维特根斯坦讲的是数学哲学，他的问题是，数学到底是什么东西。

维特根斯坦的课非常与众不同。一方面，他要求所有学生不准缺席。艾伦违反了这个纪律，结果遭到了批评：他缺席了第七节课。这很可能是因为，2月13日那天他去了钟屋，参加克里斯朵夫去世九周年的纪念仪式，整个教区都在纪念他。这门课共有31个学时，每周两次，持续两个学期。班上大约有15个人，包括艾力斯特·沃特森。每名学生都要先去维特根斯坦在三一学院的简朴房间接受他的单独面试。他的面试是出名的漫长而尖锐，因为维特根斯坦比艾伦更加反感礼节性的谈话。艾伦在普林斯顿时就对维纳德·马丁说，维特根斯坦是一个非常古怪的人，因为他们谈了一些逻辑问题之后，维特根斯坦突然说他要回房间去思考一下刚才说了些什么。

他们有着同样的粗鲁、随便、简单、不羁的外表，要说有什么区别，也就是艾伦喜欢运动夹克，而那位哲学家喜欢皮夹克。在对待问题的痴迷和严肃方面，他们也非常相像。维特根斯坦当时50岁，接替G.E.摩尔担任哲学教授。他们两个人都不能用世俗的标准来衡量，他们都是独特的人，活在自己创造的精神世界中。他们都只对最根本的问题感兴趣，尽管他们研究的方向不一样。维特根斯坦是一个更加戏剧化的人物，他生在一个巨富的奥地利家庭，但却放弃了家财，在一个农村教了几年书，还在一间挪威的小屋子里孤独地待了一年。尽管艾伦是大英帝国的儿子，但他的出身完全无法与维特根斯坦相提并论。

维特根斯坦关心的问题，是数学与日常语言的关系。比如说，纯数学的证明过程，与“里维的犯罪证据就是他在犯罪现场而且手里拿着枪”这个证明过程有什么关系呢？《数学原理》只是把这个问题推到了另一个问题上：它需要人们直接接受什么是“一个证明”，它需要人们直接接受计数，识别以及符号的意义。哈代说，317就是一个素数，这是什么意思呢？这是否意味着人们总是接受那些他们能算对的东西？他们怎么知道什么规则是“正确的”？维特根斯坦的问题，把证明、无限、数学、规则这样的词语引入日常生活中，然后表明它们很可能是讲不通的。作为一个专业数学家，艾伦倾向于支持数学家们的工作，他尽力地维护纯数学的抽象性，抵抗维特根斯坦的这种引入。

特别是，他们俩进行了一场关于整个数理逻辑体系的争论。维特根斯坦认为，创造一个严密的、确定的逻辑系统，对于追求真理而言，是没有用的。他紧紧抓住这一点：完备逻辑系统的矛盾特性，会使得任何命题都能被证明。

维特根斯坦：……我们来看说谎者悖论，所有的人都在困惑这个问题，这根本就不正常，太不正常了……一个人说“我在说谎”，我们如果假设他说的是实话，于是他就是在说谎。好吧，那又能怎么样呢？你如果要把自己绕进去，那就会把脸给憋紫……但这只是个没用的文字游戏，有什么可较劲的呢？

图灵：因为人们通常认为矛盾意味着错误，遇到矛盾就说明我们把什么东西搞错了，但在这个问题中，我们却看不出有什么错误。

维特根斯坦：是的，本来就没有错误……那它有什么不好？

图灵：这样看起来没什么不好，但如果把一个矛盾的原理用于实践，那就会出问题。

维特根斯坦：……问题是，为什么人们要害怕矛盾？人们害怕数学之外的矛盾，比如顺序的矛盾，描述的矛盾，这是很容易理解的。但问题是，为什么人们要害怕数学内部的矛盾？如果实践当中出了问题，错误并不在于原理中有矛盾，而是在于你使用了不该使用的原理……

图灵：如果你不能确定微积分是没有矛盾的，那么你就没有信心在实践中使用它。

维特根斯坦：我认为这完全没道理……假如那个说谎者说：“我在说谎，所以我说的是真的，所以我既说谎又没说谎，所以产生了一个矛盾，所以2×2=369。”这又能怎么样呢，你别真用这个结论去做乘法，不就行了么？……

图灵：但是，如果对矛盾放任不管，总会在什么地方出问题。

维特根斯坦：我看不出会有什么问题……

艾伦对此并不信服。任何一个纯数学家都要维护这个学科的美好，努力使它相容、自洽。这就是美好的对数学的爱，要让世界变得安全，不要让任何东西出错。但1939年的世界，显然并不是这样。

艾伦没有完成关于斯奇乌斯数的研究，他留下了一个漏洞百出的手稿，而且没有继续研究它。但他仍在继续追求那个更加核心的问题，就是检验黎曼ζ函数的零点。3月初，他完成了理论的部分，提出并评估了一种计算ζ函数的方法，并提交给了出版社。剩下的就是计算部分的工作，这方面也已经有进展了。麦卡姆·麦克菲尔给他写信，提到乘法机的事情：

你在那边有没有蓄电池和车床这些东西，来制造你的机器？希望你不会遇到太大的困难，以至于进行不下去。顺便说一句，如果你有时间做这个项目，你可以去找我弟弟帮忙。我已经跟他说过这个机器了。他对你绘制电路图的方法很感兴趣，你知道那些死板的工程师是怎么画这些图的吧？

他的弟弟唐纳德·麦克菲尔是国王学院的研究生，正在研究机械工程。乘法机没有什么进展，但唐纳德·麦克菲尔现在加入了艾伦的另一个项目，那就是计算ζ函数的机器。

在1939年，不是只有艾伦一个人在思考能够自动计算的机器。电子工业的发展，产生了很多新的想法和方案。在美国，游戏已经开始了。其中一个是美国工程师范内瓦·布什1930年在麻省理工学院设计的差分机，它可以为某些方程式建立物理的模拟。曼彻斯特大学的英国物理学家D.R.哈特里也制造了一个类似的机器。紧接着，剑桥也建造了一个差分机，1937年，数学系还批准了一个新的实验室用来安置它，并安排应用数学家M.V.威尔克斯来负责这台机器。

但是，这些机器对ζ函数问题是没有用的。差分机只能模拟一种特定的问题，而且还有很多限制。与此类似，图灵的ζ函数机也只能处理一类特定的问题。这与通用图灵机完全不同，它很难推广到其他问题。3月24日，艾伦向皇家学会申请拨款，以便制造这种机器，他在申请上写道：

该机器并不是万能的，它用于在更大的范围内进行计算 ，并用于其他一些与ζ函数有关的研究。对于与ζ函数无关的问题，该机器并无用处。

负责审批这个申请的，是哈代和蒂施马奇。艾伦得到了他申请的40英镑经费。艾伦的想法是，虽然这台机器不能进行精确的计算，但可以用它来锁定零点的范围，然后人工进行精确计算，他认为这会减少50%的工作量。还有一个重要的原因是，这将会很有趣。

利物浦的潮汐预测机，是用皮带和滑轮构造的一个系统，来模拟一系列波动的叠加。皮带绕在滑轮上，通过测量它的长度来得到计算的结果。艾伦起初在ζ函数问题上，也借鉴了这个想法，但后来他就改变了主意。他想通过一个齿轮组的转动，来模拟需要周期函数，计算的结果并不体现在长度上，而是重量。他们要叠加30个周期函数，每一个都用一个齿轮组的转动来模拟。30个齿轮会分别挂上不同重量的物体，距圆心有一定的距离，随着齿轮的转动，这些物体的力矩会发生周期性的变化。整个系统的力矩叠加在一起，再用一个单独的重物来把它配平，这个单独的重物就是计算的结果。

这30个周期函数的频率，分别是30个整数的对数。它们必须用分数进行近似，因为无法用齿轮来表示无理数。因此，比如说一个频率是3的对数 ^[2] ，那么表现在齿轮上，就是34×31/57×35。这就需要四个齿轮，分别有34，31，57和35个齿，它们组合起来，作为一个波形发生器。其中有些齿轮可以共用，所以一共需要大约80个齿轮，而不是120个。这些齿轮精密地组合在一起，只要转动一个大把手，就可以让它们同步转动。要想制造这台机器，必须有非常精密的齿轮制造工艺。

唐纳德·麦克菲尔绘制了设计图纸，日期是1939年7月17日。但是艾伦并没有把制造工作交给他。实际上，在1939年夏天，艾伦自己的房间变成了一个齿轮迷阵。现在已是研究员的肯尼斯·哈里森有一次被他邀请去喝酒，并看到了这些。艾伦给他解释了，但是没有说清这些到底是什么，很难说清这些无言的齿轮，要如何揭示几亿亿直至无穷的素数规律。艾伦开始制造齿轮，他用帆布背包把原料运到工程系，而且拒绝了一位研究生的帮助。晨佩侬也帮他磨了一些齿轮，这些都放在艾伦的房间。8月时鲍勃前来拜访，见到这些，大为惊讶。

肯尼斯·哈里森也感到非常吃惊，因为他经常与艾伦交谈，他非常了解，这位纯数学家是在符号世界中工作的，而不是与物理实体打交道。从这个意义上讲，这台机器本身就是一个矛盾。这在英国是尤其奇怪的，因为这里不存在学术工程师的说法，不像法国、德国或美国（比如范内瓦·布什）。这种向实体世界的跨越，对学术界而言简直是胡闹。但在艾伦·图灵看来，机器可以解决某些单靠数学无法解决的问题。他在经典数论的核心问题上已经有了进展，但这并不能满足他。图灵机和序数逻辑、维特根斯坦的想法、电子乘法机，还有眼前这一堆齿轮，这一切都表明了抽象和实体之间的某些联系。这并不是科学，也不是应用数学，但可以看做一种应用逻辑，一种没有名字的东西。

现在，他在剑桥已经有了更大的立足之地，1940年春天，他再次受邀讲授数学基础，而且这次得到了全额薪水50英镑。如果他是一个普通人，可能此时就会希望成为专职讲师，永远留在剑桥，做一名纯粹的逻辑和数论专家。但对于艾伦·图灵来说，这不是他想要的结果。

这也不是历史结果，因为已经没有课可讲了。3月，德国控制了整个捷克斯洛伐克。3月31日，英国政府向波兰承诺捍卫东欧边界，并疏远了世界第二工业强国苏联。这只是为了遏制德国的手段，而不是真的援助波兰，英国无法给予它的同盟什么实质帮助。

波兰看起来也无法帮助英国什么，但实际上却是可以的。1938年，波兰情报部门表示，他们掌握了一些关于谜机的信息。迪尔威·诺克斯前去交涉，但却空手而归。英法同盟的形势现在已经不同了。7月24日，英法两国代表出席华沙会议，这次他们得到了他们想要的。

一个月后，一切又变了，英波联盟更加岌岌可危。明眼人都能看出，英国人捞不到什么好处。他们现在在圣奥尔本建了一个新的无线电侦听站，不再依靠警察趴在树丛里来做这项工作了，但是政密学校自1932年以来就一直强调说，无线侦听器存在极严重的缺陷。但是这一次，他们意外地钓到了大鱼，波兰人拱手把鱼放在银盘上，交了出来。

当报纸上铺天盖地报道《苏德互不侵犯条约》时，艾伦已经离开剑桥，去享受为期一周的假期了。他和弗雷德·克莱顿一起去划船，同去的还有来英国避难的孩子。他们去了他常去的博山，在那租了一条船。平静的表面之下，暗藏着些许不安。那些没玩过划船的孩子们，十分怀疑这两个人能不能行，他们调动手表，以使他们能够按时回来。鲍勃说，这简直像是瘸子带瞎子。但弗雷德担心的是另一个问题。艾伦经常开玩笑说，在拉索尔待了几个学期的男孩们不会有性经历 。

有一天他们航行经过海岭岛，上岸去看飞机场上排成一排的皇家空军飞机。男孩们对此并未留下深刻的印象。夕阳西下，潮水上来，船陷到了泥中。他们只好把船扔下，涉水过岛，然后搭公交车回去，脚上带着厚厚的黑泥。

艾伦1940年的课程无法进行了，他从此再也没能回到纯数学的安全世界。唐纳德·麦克菲尔的设计没能实现，黄铜磨制的齿轮只能永远尘封在箱子里。因为现在有更强大的东西转起来了：谜机的转轮，还有坦克的履带。战争已是箭在弦上，一切阻碍都是徒劳。希特勒没有想到，英国这次真的遵守了诺言，对德国宣战了。

这正如《千岁人》在1920年所预言的：

巨炮瞄准每一个城市和海港，铁鸟冲上云霄向每个人投下炸弹。一位绅士在无助中站起，对一样无助的我们说：哦，又打起来了。

不过，他们并没有看起来那么无助。9月3日11点，艾伦回到剑桥，和鲍勃一起坐在房间里，这时从收音机里传出了张伯伦的声音。艾伦已经准备好了，即将投入到一个逻辑而机密的事业中，他将扼住世界的命运，进入一个最狂野的梦境。

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[1] 10 ³⁴ 就是10000000000000000000000000000000000，这个数大约是组成一个大型建筑的原子的数量。 是一个更大的数，它是1后面跟着10 ³⁴ 个0，这可能需要海量的纸才能在十进制下把它写出来，你可以想象这是人类有史以来制造的所有物体的总数。斯奇乌斯数则是一个更大的数，1后面跟着 个0！事实上，数学家们肯定也想到过比这还大的数，因为这里只不过进行了3层指数运算，我们可以轻易地进行10层，10 ¹⁰ 层， 层，甚至把这些作为一个增长的步骤，然后定义一种超级增长，然后超级超级增长，然后……这种定义，实际上就用到了递归函数，这是等价于图灵机的另外一种研究机械过程的工具。无论如何，在我们一般的角度看来，斯奇乌斯数已经大得惊人了。

[2] 艾伦使用的是以8为底的对数，在这个例子中就是log ₈ 3。 T2K9ni03tYQMNRzzv4DcFXTug+VJtA/jnZLzdwt4COAJehd9ujFE/mVQAcXxwFjd