第六
数的除法和整除问题

一、除法和余数

x和y都是整数，并且x≠0，当y被x除，如果商（quotient）为q，余数（remainder）为r，那么我们可以表示成：

y=x×q+r

其中y为被除数（dividend），x为除数（divisor）。在英文中，上面的除法是这么来表达的：

When y is divided by integer x,the quotient is q and the remainder is r.

考生一定要注意这个表达，不要考试时连谁除以谁都发生混淆。例如：

When 15 is divided by integer 6,the quotient is 2 and the remainder is 3.那么可以写成：15=6×2+3。

带余数的除法是考试中常见的题目，求解时要求考生细心地把题目意思描述成上面的表达式。

Example 1:

If the integer k has remainder 7 when divided by 8,what is the remainder when 3k is divided by 4?

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

（E）4

解： k除以8余数为7，那么可以表示为k=8n+7，n is an integer.

3k=3×(8n+7)=24n+21，现在要求3k除以4的余数，24n是4的倍数，只要考虑21除以4的余数为几？21=4×5+1，所以选择（B）。

二、整除定义

在上面y=x×q+r的表达式中，当r=0时就意味着整除，在考试中整除一般以下面几种方式来表达。

y is divisible by x.　（y能够被x整除）

y divides by x.　（y能够被x整除）

y is a multiple of x.　（y是x的倍数）

x divides y.　（x能整除y）

x divides into y without remainder evenly.

一个数y要想能够被另一个数x整除，y就必须具备x所具有的所有质数因子。

Example 2:

If an integer n is divisible by both 12 and 15,it must also be divisible by which of the following?

（A）25

（B）16

（C）30

（D）40

（E）70

解： 12=2 2 ×3，15=3×5，而n能够被12和15整除，那么n就至少具有因子2 2 ，3 1 ，5 1 ，选项中哪个数能够由上面因子中的一个或者几个相乘得到，那么这个数就一定能够整除n；25具有两个因子5，不行；16具有4个因子2，也不行；30=2×3×5，2，3，5全部可以为n的因子，因此30一定能够整除n，选择（C）。

Example 3:

What is the least positive integer that is divisible by each of the integers 1 through 10,inclusive?

（A）3,628,800

（B）5,040

（C）840

（D）2,520

（E）1,260

解： 这是一道较难的题目，当然没有人直接把1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800作为答案，因为求的是最小值，而10=2×5，可以由另外两个因子相乘得到，那么把10计算进去就已经不是最小值了。同理，9=3 2 ，具有因子3，把3算进去也不是最小值。这道题目的求解是有规律的：

首先找出区间内所有的质数，然后确定各个质数的指数。

1到10共有质数2，3，5，7；

因子2的指数是多少呢？2 k <10，求k的最大值，为3，2 3 =8。

因子3的指数是多少呢？3 k <10，求k的最大值，为2，3 2 =9。

同理：因子5的指数是1，因子7的指数也为1，

这样，n至少为2 3 ×3 2 ×5×7=2520，选择（D）。

分数是否为整数的判断

正是由于整除的存在，经常有一些题目要求考生判断某个分数是否可以表示为一个整数。

Example 4:

If k is an even integer and p and r are odd integers,which of the following CANNOT be all integer?

（A）r/k

（B）k/p

（C）p/r

（D）kp/r

（E）kr/p

解： 这道题目只有一个一个选项去排除。对于选项（A），分母是偶数，分子是奇数，那么分子不可能整除分母，所以这个数必然不是整数，选择（A）。

Example 5:

If x,y and z are positive integers such that x is a factor of y,and x is a multiple of z,which of the following is NOT necessarily an integer?

（A）

（B）

（C）

（D）xy/z

（E）yz/x

解： 问选项中的分式是不是一个整数，和上面的例题一样只要看分子是否能够整除分母。题目中告诉我们x是y的一个因子，而x是z的倍数，那么必然y也是z的倍数。

对于选项（A），分母是z，结果为x是z的几倍+1，必然是整数。

对于选项（B），分母是x，y/x是整数，但是z/x却不一定是整数，所以选择（B）。

三、被2到11等数字除的特征

1.一个数被2除

判断一个数被2除余几？只要看这个数的最后一位也就是个位数被2除余几。

个位数字如果是0、2、4、6、8，那么这个数必然被2整除。

例1：1,246，最后一位为6，那么1,246被2整除。

例2：125被2除余几呢？最后一位数字为5，除以2余1，那么125除以2余数也为1。

2.一个数被4除

判断一个数被4除余几？只要看这个数的最后两位数被4除余几。最后两位数如果能够被4整除，那么这个数就也能够被4整除。

例1：1,246被4除余数为多少？

最后两位数是46，46除以4余2，那么1246除以4也余2。

例2：11,224能够被4整除吗？

最后两位数是24，24除以4等于6，那么11,224能够被4整除。

3.一个数被8除

判断一个数被8除余几？只要看这个数的最后三位数被8除余几。最后三位数如果能够被8整除，那么这个数就也能够被8整除。

例如：1,234,248能够被8整除吗？

最后三位数是248。除以8商为31，能够整除，那么1,234,248能够被8整除。

同理：一个数是否能够被2 n 整除，只要看这个数的最后n位数是否能够被2 n 整除。

4.一个数被3或9除

看一个数被3或9除余几？只要看各个数位的和被3或9除余数为几。如果余数为0，那么这个数就能够被3或9整除。

例： 18,645,678是否能够被3整除？

解： 18,645,678各个数位相加：1+8+6+4+5+6+7+8=45，那么只要看45是否能够被3整除，有些同学此时就开始用45除以3了。其实无需这样做，应该学会活学活用，45能否被3整除，只要看4+5=9能否被3整除，9当然能够被3整除，所以18,645,678能够被3整除。

5.能被5整除的数的特征：个位是0或5

6.能被6整除的数的特征

这个数既能够被2整除又能够被3整除，所以只要看被2、3整除的数的特征。

例： 如果M和N被6除得到的余数分别为3和5，那么下面哪一个不可能为M+N的值？

（A）152

（B）1,082

（C）32

（D）18

（E）14

解： 假设M=6k+3，N=6p+5，其中k，p都是整数，那么M+N=6(k+p)+8=6(k+p+1)+2。

6和2都是2的倍数，所以M+N能够被2整除，

6是3的倍数，2除以3余数为2，那么M+N被3除余数为2；

因此五个选项中哪个选项能够满足被2整除，被3除余2，则这个数就有可能为M+N。

五个选项个位数都是偶数，说明都能被2整除，只要看它们被3除是否余2，

对于选项（A），1+5+2=8，8被3除余2；选项（B），1+8+2=11，11被3除余2；

对于选项（C），2+3=5，5被3除余2；选项（D），1+8=9，9被3整除，因此18不可能是M+N，选项（D）正确。

7.能被11整除的数的特征

如果这个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，那么这个数就能够被11整除。

例： 123,456,789这个九位数能否被11整除？

解： 这个数的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶位上的数字之和是8+6+4+2=20。而25-20=5，5不能被11整除，所以123,456,789也不能被11整除。

例： 13,574是否是11的倍数？

解： 这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是(4+5+1)-(7+3)=0，因为0是任何整数的倍数，所以13,574是11的倍数。

8.综合例题

Example 1:

Which of the following could be the remainder when 287 is devided by 3?

（A）0

（B）1

（C）2

（D）4

（E）5

解： 2+8+7=17，1+7=8，8除以3余数为2，那么287除以3余数也为2，（C）为正确答案。

Example 2:

Which of the following numbers is NOT the sum of three consecutive odd integers?

（A）15

（B）75

（C）123

（D）297

（E）313

解： 三个连续奇数的平均数必然是中间那个数，因此三个连续奇数的和必然能够被3整除，利用一个数能够被3整除的特性，只有（E）313的各位数之和不能够被3整除，所以选择（E）。

Example 3:

下面哪一个不可能为多少天的小时数目？

（A）1,200

（B）22,500

（C）21,000

（D）1,072

（E）288

解： 因为一天有24小时，我们需要判定选项是否是24的倍数，24=3×2 3 ，因此判断方法是利用被2，3，4，8等数字整除的特征。对于选项（D）来说，1+7+2=10，因此1,072不可能被3整除，所以1,072不可能为多少天的小时数。正确答案为（D）。

四、区间内整数的整除

区间[a,b]内的连续整数中有多少个能够被自然数n整除是考试中的一个重点。

Example 1:

计算公式介绍

What is the total number of integers between 100 and 200 that are divisible by 3?

（A）33

（B）32

（C）31

（D）30

（E）29

解： 这种题目该如何求解呢？当然不能够去硬着头皮数。这里有一个经验公式能够帮助我们：

对于区间[a,b]中有多少个数能够被数n整除，计算方法如下：

第一步：把b往小里凑，找到最近的n的倍数，记为r；

比如例题中b为200，那么往小里凑，找到最近的3的倍数为198。

第二步：把a往大里凑，找到最近的n的倍数，记为s；

比如例题中a为100，那么往大里凑，找到最近的3的倍数为102。

第三步：区间[a,b]中有能够被数n整除的个数即为 。

比如例题中能够被3整除的个数为：(198-102)/3+1=33。

正确答案为（A）。

Example 1:

a，b是n的倍数的情况

What is the total number of integers between 100 and 300 that are divisible by 3?

（A）66

（B）67

（C）68

（D）65

（E）64

解： 这道题目中你发现300刚好是3的倍数，那还往小里凑吗？当然不用了；同理如果a恰好是n的倍数，也不需要把a往大里凑；因此这道题的计算方法为：

正确答案为（B）。

五、整除相关性质

Ⅰ.两位数的reverse

如果两个数a和b都是两位自然数，并且a和b有下面的性质：a的个位等于b的十位，a的十位等于b的个位，也就是说a和b仅仅数位倒置，那么这样的数必然有：

（a+b）是11的倍数，并且这个倍数数a的个位+数a的十位；

（a-b）是9的倍数，并且这个倍数数a的十位-数a的个位。

例： 28和82

(28+82)=110，因为(8+2)=10，所以(28+82)为11的10倍。

(82-28)=54，因为(8-2)=6，所以(82-28)为9的6倍。

Ⅱ.多位数字的reflection

多位数的数位倒置往往称为映像（reflection），比如12345678，reflection后变为87654321。

例： 一个正整数的映像可由颠倒其数字得到，比如321的映像是123，那么一个五位数字和其映像的差一定能够被下面哪一个整除？

（A）4

（B）10

（C）9

（D）12

（E）8

解： 假设这个五位数为abcde，那么这个数可以表示为10000a+1000b+100c+10d+e，它的reflection可以表示为：10000e+1000d+100c+10b+a。

两者相减得到：9999a+990b-990d-9999e，显然这个差一定能够被9整除，所以（C）为正确答案。 BTbFLuudvE8Sp86boDyB+ngV6+W5MpHAb3qnExAfgWeU8bLTmd7rnkTuxq33zWlR