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我们首先来看一道题目，了解一下为什么许多考生在乘方的考查中失分。
Example 1:
Which of the following is equal to an integer raised to the third power?
（A）2×8×3
（B）3×8×64
（C）8×25
（D）7 3 ×8×9 3
（E）20×5×5
解： 这道题目翻译成中文问的是“下面哪一个数是一个立方数”，当然选择（D）；只不过考生可能不明白什么叫raised to the third power罢了。
我们都知道：乘方是求n个相同因数的积的运算，乘方的结果也叫作幂。a n 读作a的n次作，但这句话在英文中这么说：a n means the nth power of a,比如3 3 =27 is the third power of 3。
同理，根在英文中是这么定义的：an nth root of a number a is a number that,when raised to the nth power,is equal to a.比如说3 4 =81，那么3 is a 4th root of 81.
注意：平方根往往用square roots来表示，立方根通常用cube roots来表示。
定义：
如果一个整数开平方之后还是整数，那么这个数称之为完全平方数（perfect square）。
比如：1，4，9，16，…都为完全平方数。
如果一个整数开三次方之后还是整数，那么这个数称为完全立方数（perfect cube）。
比如：-27，-8，0，8，27，…都为完全立方数。
Example 2:
How many integers between 1 and 2,000 will be the square of an integer and also be the cube of an integer?
（A）8
（B）4
（C）6
（D）9
（E）3
题意为：在1～2,000中有多少个数既是一个数的平方，又是一个数的立方？
解： 我们首先来看一下哪个数的立方小于2,000，这样能把数的范围确定下来。10的3次方是1,000，13 3 稍微大于2,000，因此从1到12这12个数的立方小于2,000。题目条件是这个数既是一个数的平方，又是一个数的立方，也就是：x 3 =y 2 <2,000，（x，y都是正整数）。
由此我们得
，既然y是正整数，那么x就必然是完全平方数，在1到12这12个数中只有1，4，9是完全平方数，所以在1～2,000中只有3个数既是一个数的平方，又是一个数的立方。它们分别是：1=1
3
=1
2
，64=4
3
=8
2
，729=9
3
=27
2
，选择（E）。
Example 3:
How many positive integers less than 100 are NOT equal to squares of integers?
（A）9
（B）45
（C）91
（D）90
（E）10
解： 小于100的正整数一共有99个，在小于100的数中最大的平方数是9 2 =81，因此在100以内共有9个数是完全平方数，它们分别是数字1～9的平方，那么不是平方数的数一共有99-9=90，所以（D）为正确答案。
一个自然数n次幂的尾数循环是有规律可循的。如下图所示：
从上面的表格可以看出，尾数从0到9的n次幂，最多每4次幂尾数就会循环一次。
Example 4:
Which one is greater between the units digit of 7 123 and the units digit of 3 321 ?
（A）if the quantity in Quantity A is greater.
（B）if the quantity in Quantity B is greater.
（C）if the two quantities are equal.
（D）if the relationship can not be determined from the information given.
解： 既然尾数每4次循环一次，那么把幂指数除以4，根据余数就可求得尾数大小。
7 123 的幂指数123除以4余3，因而7 123 的个位和7 3 个位是一样的；7 3 的个位为3，因此7 123 的个位为3；同理：3 321 幂指数321除以4余1，因此3 321 的个位和3 1 个位是一样的，而3 1 的个位为3，因而3 321 的个位为3，所以7 123 和3 321 个位相同。正确答案为（C）。
Example 5:
余数为0时怎么考虑
Which one is greater between the units digit of 7 123 and the units digit of 3 320 ?
解： 如上例7 123 个位为3。
3 320 幂指数320除以4余0（幂指数被4除余数为0，应该取几次方呢？有些人认为应该取1次方，这是绝对错误的。若幂指数被4除余数为0应取4次方，因为4除以4也是余0）。
既然3 320 与3 4 个位相同，而3 4 个位为1，因而3 320 个位为1，所以7 123 比3 320 个位大。
Example 6:
What was the units digit of 17 13 -17?
（A）0
（B）4
（C）6
（D）2
（E）1
解： 13=4×3+1，所以17 13 的个位数字和7 1 相同，所以17 13 -17的个位数是0，答案选（A）。
Example 7:
如果n是正整数，并且n2的个位数是4，(n+1) 22 的个位数是1，那么(n+5) 3 的个位数是多少？
（A）2
（B）7
（C）6
（D）1
（E）9
解： n 2 的个位数是4，那么n的个位数可能为2或者8；
(n+1) 22 的个位数是1，22除以4余数为2，那么(n+1) 2 的个位数也为1；
如果n的个位数为2，那么n+1的个位数是3，(n+1) 2 的个位数就是9；
如果n的个位数为8，那么n+1的个位数是9，(n+1) 2 的个位数恰好是1，
所以n的个位数为8，那么n+5的个位数是3，(n+5) 3 的个位数必然为7。（B）为正确答案。