下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
定义：
Consecutive integers（连续整数）： 3，4，5，6我们称为4个连续整数。n，n+1，n+2，…，n+k称为k+1个连续整数。
Consecutive even integers（连续偶数）： 2，4，6，8我们称为4个连续的偶数，2n，2n+2，2n+4，…，2n+2k称为k+1个连续偶数。
Consecutive odd integers（连续奇数）： 1，3，5，7我们称为4个连续的奇数，2n+1，2n+3，…，2n+(2k-1)称为k个连续奇数。
连续数主要考查它们相加、相减、相乘的一些性质。我们首先来看几条简单的性质：
性质1
如果n个连续整数或者连续偶数相加等于零（n为大于1的自然数），则n必为奇数，注意要把0算上。
例如：
性质2
若n个连续奇数相加等于零（n为大于1的自然数），则n必为偶数。
例如：
，奇数关于0对称。
性质3
奇数个连续整数的算术平均值等于这奇数个数中中间那个数的值。
例如：
，3为1，2，3，4，5中间的那个数。
性质4
偶数个连续整数的算术平均值等于这偶数个数中中间两个数的算术平均值。
例如：
，3和4为1，2，3，4，5，6中间的两个数。
Example 1:
What is the sum of the first 8 odd integers that are greater than zero?
（A）80
（B）25
（C）64
（D）70
（E）36
解：
有些同学一定会问，这不是一道数列题吗？连续的奇数或者连续的偶数都是公差为2的等差数列。从1开始连续n个奇数的和为：
。那么连续8个从1开始的奇数的和当然为8
2
=64，所以（C）选项为正确答案。
我们从上题中要记住一点：
前n个大于0的奇数的和为n 2
Example 2:
如果n个连续整数的和为0，下面哪一些能够正确？
（A）n is an even number.
（B）The product of the n integers is an even.
（C）n is an odd number.
（D）The standard deviation of the n integers is 0.
（E）The average of the n integers is 0.
解： n个连续整数的和为0，那么一定要把零算上，这样n为奇数，n个数的乘积为0，乘积当然是偶数；n个数的算术平均值为0；根据方差定义，这n个数的标准方差不可能为0；所以在五个选项中（B）、（C）、（E）是正确的。
性质5
任何两个连续整数中，一定是一奇一偶，它们的乘积必定为偶数。
例：3×4=12，10×11=110。
性质6
任何三个连续整数中，恰好有一个数是3的倍数，并且这三个连续整数之积能够被6整除。
例：(-1)×(-2)×(-3)=-6；2×3×4=24，这是考试中考查次数较多的一个性质。
性质7
若三个连续的自然数的算术平均值为奇数，则这三个自然数的乘积必为8的倍数。
例如：
，则4×5×6=120=15×8。
我们来证明一下这条性质，这样考生能够更好地把握：
假设中间一个数为n，那么其他两个数分别为n+1，n-1，它们的算术平均值为：
。
题目中三个数的平均值为奇数，那么n为奇数，（n-1），（n+1）就成为两个连续的正偶数，两个连续的正偶数相乘必然为8的倍数。
性质8
若三个连续的自然数的算术平均值为奇数，则这三个自然数的乘积必为24的倍数。
其实这一条性质是综合了性质6和性质7，三个连续自然数中必有一个为3的倍数，而性质7中证明了它们的乘积是8的倍数，那么必然也是3×8=24的倍数。
Example 3:
Which of the following CANNOT be expressed as the product of exactly 3 consecutive positive integers?
（A）6
（B）60
（C）2 4 ×3×7
（D）2 3 ×3×5×7×11
（E）2 2 ×5×11×13
解： 由于三个连续正整数的乘积必然为6的倍数，选项（E）中没有因子3，因此（E）必然不能够表示为三个连续正整数的乘积。