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1.因子（Factors or divisors）
定义：A number is a factor,or divisor,of another number if it can be divided evenly into that number.
例： What are the factors of 60？
解： 60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10，
所以60有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60一共12个因子。
2.质因子（Prime factors）
定义：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是某个数的质因数，也称质因子。
例：60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10，
60有12个因子，因子中2，3，5是质数，那么60的质因子便是2，3，5。
3.分解质因数
定义：把一个合数用质因子相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
例如：把60分解质因数。
60=2 2 ×3×5，其中2、3、5是60的质因子。
任何一个大于1的正整数，无论是质数还是合数都可以表示成质数因子相乘的形式。
例如：2=2 1 ，9=3 2 ，363=3×11 2 。
4.求任意一个自然数的因子个数
如何求任意一个自然数的因子个数呢？绝不是我们想象的那样硬着头皮去数，而是有公式可寻：
第一步：把该自然数分解质因数，即写成质数因子相乘的形式；
第二步：质因数分解式中每个质因子的指数加1相乘，这个连乘积便是所求因子数。
例： 120的因子个数是多少？
解： 120=2 3 ×3 1 ×5 1
那么120的因子的个数是(3+1)×(1+1)×(1+1)=16。
Example 1:
How many positive integers n are there such that 30n is a divisor of (2 3 )·(3)·(5 3 )?
（A）8
（B）6
（C）18
（D）9
（E）None
解： (2 3 )·(3)·(5 3 )=30×2 2 ×5 2
要使30n是(2 3 )×(3)×(5 3 )的因子，那么n就必须是2 2 ×5 2 的因子，2 2 ×5 2 有多少个不同的因子呢？利用因子个数的求法，共有(2+1)×(2+1)=9个，所以（D）是正确答案。
Example 2:
What is the smallest positive integer k for which 784 is a factor of 14 k ?
（A）6
（B）8
（C）4
（D）5
（E）10
解： 784=2 4 ×7 2 ，14 k =2 k ×7 k
要使784是14 k 的一个因子，那么14 k 就至少需要有4个质因子2，2个质因子7，因此k最少需要为4，选择（C）。
5.完全平方数的因子
定义：如果一个整数开平方之后还是整数，则这个数称之为完全平方数（perfect square）。
我们来观察一下，把一个完全平方数分解质因数后各质因子的指数有什么特征呢？
9=3 2
36=2 2 ×3 2
144=3 2 ×2 4
1600=2 6 ×5 2
275625=3 2 ×5 4 ×7 2
从上面我们可以看出，一个完全平方数分解质因数后，各质因子的指数均是偶数。我们可以从因子个数的计算公式中得到：
①一个完全平方数的因子个数必然为奇数。
②反之，任何一个自然数若它有奇数个因子，这个自然数必为完全平方数，若它有偶数个因子，则此自然数一定不是完全平方数。
例： 9=3 2 ，有2+1=3个因子，9是完全平方数。
30=2×3×5有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个因子，30不是完全平方数。
Example 3:
The product of a positive integer a and 1080 is a square number.What is the least value of a?
（A）4
（B）50
（C）60
（D）20
（E）30
解： 因为a与1080的乘积是一个完全平方数，那么乘积分解质因数后，各质因子的指数必然全部是偶数，1080×a=2 3 ×3 3 ×5×a，现在质因子2，3，5的个数都是奇数，那么a中必然含有质因子2、3、5，因此a最小为2×3×5=30，选择（E）。
Example 4:
Which of the following integers does NOT have a factor greater than 1 that is the square of an integer?
（A）100
（B）128
（C）72
（D）54
（E）42
解： 把选项中的数分解质因数后，如果每个质因子的指数都小于2，那么这个数便是答案。
100=2 2 ×5 2 ，128=8 2 ×2，72=2×6 2 ，前三个选项都有能够表达为完全平方数的因子。许多考生在第四个选项上犯了错误，认为54=2×3 3 ，没有因子能够表达为完全平方数。其实不然，54=2×3 3 ，那么32必然也是54的因子。这一点在GMAT的数据充分性题目中也曾经出现过，希望引起考生注意。选项（E）42=6×7，显然没有因子能够表达为完全平方数，所以选择（E）。
Example 5:
Is the positive integer m equal to the cube of an integer?
（1）For every prime number q,if q is a factor of m,then q 3 is also a divisor of m.
（2）
is an integer.
解： 单独（1），q，q 3 是m的因子，m不一定是完全立方数，比如m=q 4 同样能满足q，q 3 是m的因子。
单独（2），
是整数，满足完全立方数的定义，所以选择（B）。
性质1
只有2个因子的自然数都是质数。
性质2
若自然数n不是完全平方数，则n的因子中小于
的因子占一半，大于
的因子也占一半。
例：
60有多少个小于
的因子？
解： 60=2 2 ×3×5，那么60共有12个因子。
根据性质2，12/2=6，则60有6个小于
的因子。
性质3
若自然数n是完全平方数，并且
也是n的一个因子，那么在n的所有因子中除去
之外，小于
的因子占余下的一半，大于
的因子也占余下的一半。
例：
64有多少小于
的因子？
解：
64=2
6
，6+1=7，所以64有7个因子，由于
=8，也是64的一个因子，
所以小于
的因子为
；大于
的因子，同理也为
。
性质4
如果自然数n有m个因子，m为大于2的质数，那么n必为某一质数的（m-1）次方。
其实必然如此，自然数的因子个数为质因子的指数加1相乘，现在有m个因子，而m为大于2的质数，写成（指数+1）相乘的形式只能够为（m+1）。比如说5，5写成指数加1相乘的形式只能为（4+1），这也就说明了这个自然数的质因子个数只可能为1，质因子的指数为4。
例： 16=2 4 ，有4+1=5个因子，5为大于2的质数，16为质数2的(5-1)=4次方。
81=3 4 ，有4+1=5个因子，5为大于2的质数，81为质数3的(5-1)=4次方。
Example 1:
如果某一自然数除了1之外只有2个因子，则这个自然数必为：
（A）奇数
（B）偶数
（C）4的倍数
（D）某一质数的平方
（E）质数
解： 既然这个数除了1之外只有2个因子，则这个数一共有3个因子（把因子1加上），而3是一个大于2的质数，根据性质4得到它必然是某一质数的3-12次方，所以（D）为正确答案。
许多同学做这道题目时代入数字进行排除也能够很快做出来，不能说不对，但是知道了一些性质，在数字大的时候就好办多了。
Example 2:
k and s are two positive integers such that k>s，if k×s=132，what is the total number of possible values of k？
（A）4
（B）6
（C）7
（D）8
（E）10
解：
k×s=132，那么k，s必然是132的因子，由于k和s满足k>s，因此k必然是大于
的因子，s必然是小于
的因子。这道题目转化为132有多少个因子大于
，132=2
2
×3×11，共有3×2×212个因子，利用性质2得到有12/2=6个因子大于
，所以（B）是正确答案。