第一
数的概念

一、实数

上一部分题型介绍中已经明确说明在GRE和GMAT数学中，考查的数都是实数（real numbers），因此我们所有关于数的讨论都限定在实数范围内，我们首先来看一下实数的定义：

所有的实数都对应数轴上的点，所有数轴上的点也对应着相应的实数。也就是说，数轴上的点和实数一一对应。例如：0.32，-5，2/3， 。

Example 1:

x，w是坐标轴上的两个点

Quantity A

x

Quantity B

w

（A）Quantity A is greater.

（B）Quantity B is greater.

（C）The two quantities are equal.

（D）The relationship cannot be determined from the information given.

解： 许多中国考生会对本题产生误解，认为题中的数轴两边都有箭头，无法判断大小。注意：数轴上面的所有数字一定是由左至右逐渐增大。只不过我们习惯只有一个向右箭头的数轴，而国外考试中往往把数轴画为双箭头模式。本题中，显然是w>x，因此（B）为正确答案。

在实数中要注意三点：

①实数有正负之分，所有的实数除0之外要么是正数，要么是负数。

正数（positive numbers），例如：2， ，1.1。

负数（negative numbers），例如：-2， ，-1.1。

②绝对值（absolute value），某数在数轴上与零点之间的距离称为该数的绝对值|-1.1|=1.1，|5|=5。

注意：|x+y|≤|x|+|y|

③正是因为数轴与实数的定义密不可分，数轴便在考试中经常出现。如下两个出题点大家需要关注。

Example 2:

数轴上数的范围

The number n is between 2 and 8,inclusive,on the number line means which of the following?

（A）n≤2

（B）n≤8

（C）n≥8

（D）n≥2 and n≤8

（E）n≥8 or n≤2

解： n is between 2 and 8，inclusive，意味着n在2和8之间，即n≥2 and n≤8；that is，2≤n≤8，所以（D）为正确答案。实际考试中的题目要比这个难得多，由于数轴上数的范围基本上都是用不等式来表示，我们将在讲完不等式后再做详细介绍。

Example 3:

数轴上两点间距离的表示

On a certain number line，if 8 is distance of 18 from n，and 17 is he distance of 9 from n，then which of the following could be n？

（A）-10

（B）8

（C）18

（D）-18

（E）26

解： 本题中我们首先需要注意8 is a distance of 18 from n，and 17 is the distance of 9 from n两句话的意思区别。

8 is a distance of 18 from n，这句话中使用的是不定冠词a，表达的是8和n之间的距离是18，而不是18和n之间的距离是8；

17 is the distance of 9 from n，这句话中使用的是定冠词the，就一个词的区别，表达完全不同的意思，即17是9和n之间的距离。根据题意得到：

|n-8|=18，得到n=-10 or n=26

|n-9|=17，得到n=-8 or n=26

所以n=26，（E）为正确答案。

二、整数

整数有两个英文表达integers和whole numbers，许多同学只知道第一个表达，不知道第二个表达。整数的定义如下：

Integer is an infinite set consisting all the counting numbers.

For example:{…-3,-2,-1,0,1,2,3…}

整数属于实数范畴，数学考试中涉及最多的就是整数，比如考查整数的奇偶性、质数合数之分、数的整除、数的乘方和开方、连续整数的性质等，由于这里面的内容较多，我们将在下面的章节中详细探讨。这里先介绍一下整数的数位表达。我想许多同学在初学的过程中一定遇到过这样的题目：

Example 1:

数位表达

What is the units digit of（26 35 -17 81 ）?

（A）5

（B）3

（C）9

（D）7

（E）无法计算

解： 有些人一看数字这么大，赶紧拿出一个计算器来按，但是你想一下这么大的数计算器能显示出来吗？早就越界了，再说了，考试时也不允许带计算器呀！这道题不是问这两个数的差是多少，而是问这两个数差的个位数。units digit在英文中表示个位数。17 81 的个位数是7，26 35 的个位数是6，所以（C）正确，如果这一点不明白可以参考本章第四节。

Digits

数学中一共有10个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

所有的整数都是由数字组成。比如：231中有三个数字2，3，1，231是一个三位数；40572是一个五位数。整数中每个数位都可以用不同的名字来表达。

个位数字可以用ones或units来表示，十位数用tens，百位数用hundreds，千位数字用thousands来表示，看出其中的规律了吗？整数位往往用相应的（基数词+s）来表示。

三、小数

Ⅰ.小数数位表达和四舍五入

对于小数（decimal）来说，首要的也是要了解小数中的十分位、百分位、千分位等数位在英文中是如何表达的。下图列出了各个数位的表示方法。

小数数位表达也有规律可循：

小数点后面的小数位（十分位、百分位、千分位等）用相应的（序数词+s）来表示。

而上面的整数位表达是（基数词+s）；注意没有“个分位”一说。

了解了数位表达我们才能谈“四舍五入”，我们来看一下下面这句话是什么意思：

“round to the nearest hundredths”

这是英文中“四舍五入到百分位”的说法。同样道理，“四舍五入到千分位”应该这样说：

“round to the nearest thousandths”

Example 2:

四舍五入

If d=123.4546,and d 1 is the number obtained by rounding d to the nearest hundredths,then d 1 =

（A）123.45

（B）123.46

（C）123.455

（D）123.5

（E）123.454

解： 答案为（A）123.45，有些同学认为是（B）123.46，我们来看一下他们是怎么计算的：他们首先把万分位的6进到千分位的4变为5，然后千份位的5再进到百分位的5变为6，这种做法是绝对错误的。四舍五入到百分位只能看千分位如何，千分位大于等于5就进1，千分位小于5就舍掉，千分位后面如何一概不管。

Negligible

与四舍五入相混淆的是“negligible”，negligible是可以忽略的意思，如果告诉你某位数后面可以negligible，你根本就不需要管这位数后面是大于等于5还是小于5，要不要进1，全部扔掉，这一点和四舍五入是不一样的。例如小数123.4596，如果百分位后面可以negligible，那么小数就变为123.45，而如果是round off to the nearest hundredth，那么结果应该是123.46。

Ⅱ.科学计数法（scientific notation）

Sometimes decimals are expressed as the product of a number with only one digit to the left of the decimal point and a power of 10.This is called scientific notation.For example,

1024可以表示为：1.024×10 3

0.01024可以表示为：1.024×10 -2

When a number is expressed in scientific notation,the exponent of the 10 indicates the number of places that the decimal point is to be moved in the number that is to be multiplied by a power of 10 in order to obtain the product.The decimal point is moved to the right if the exponent is positive and to the left if the exponent is negative.For example,

20.13×10 3 is equal to 20,130

1.91×10 -4 is equal to 0.000191

Example 3:

What is the least number of digits（including repetitions）needed to express 1.23456789×10 200 in decimal notation?

（A）10

（B）3

（C）201

（D）210

（E）2,001

题意为：以十进制计数来表达1.23456789×10 200 需要最少用多少数字（包括重复的数字）？

解： 本题的关键点在于许多考生无法正确理解题意，decimal有两个意思：十进制的，小数的。题目中的decimal notation指十进制计数，即通常使用的计数方式如123，1000等。而题目中给出的数字其实是以科学计数法来表达的。所以这道题目考查科学计数法和十进制计数法之间的转换。

以十进制计数来表达1.23456789×10 200 需要最少用多少数字呢？10 1 =10需要2个数字，2×10 2 =200需要3个数字，3.345×10 3 =3,345需要4个数字，依次类推10 200 需要201个数字，对于1.23456789×10 200 来说，1到9共九个数字已经变为整数位上的数字，所以共需要201个数字来表示，（C）为正确答案。

四、分数

Ⅰ.分数的写法

在分数（fraction）a/b中，a是分子（numerator），b是分母（denominator），b不能够为0。分子分母同时乘以一个大于1的整数，在英文中叫作raised to higher terms，同样道理，分子分母同时除以一个大于1的整数，在英文中叫作raised to lower terms。不过不管是乘也好还是除也好，最后所得的结果和原来的分数是相等的，比如4/14=2/7，它们是等值分数。这些性质和术语大家可要记住，要不然你连下面的题目都读不懂。

Example 1:

If the numerator of a certain fraction is doubled and the denominator is decreased by 5,the new fraction is equivalent to 2/3.If the original fraction is equivalent to 2/7,What is the sum of the numerator and denominator of this fraction?

（A）9

（B）27

（C）45

（D）54

（E）36

解： 一个分数等于2/7，并不是说这个分数就是2/7，因为分子分母同时乘以一个倍数会变为另外一个分数，这个分数仍然等于2/7，现在假设分子分母同时乘以n，那么根据题意得到：

解这个等式得到：n=5

所以分子分母之和等于5×(7+2)=45，（C）为正确答案。

Example 2:

What is the least common denominator of 2/7,1/5 and 2/3?

解： 这道题目纯粹问的就是the least common denominator是什么意思？如果不知道是最小公分母，那就完了。如果知道非常简单，为3×5×7=105。

Ⅱ.分数的形式

前面我们遇到的分数都是真分数，分数中还有繁分数和假分数，且看它们的定义。

Proper fractions：真分数（分子小于分母的分数），例：2/3

Improper fraction：假分数（分子大于分母的分数），例：5/3

Mixed number：繁分数（即一个数由一个整数和一个分数构成），例

Ⅲ.分数的英文表达

一个分数写出来，大家都能够明白，但如果是用英文表达出来，你还知道它是多少吗？

例如：thirds of eight和eight thirds分别表示多少呢？

两者表示的都是8/3。

怎么记忆呢？记住一点，分数中：

分子一定是用基数词表示（cardinal）

分母一定是用序数词表示（ordinal）

比如1/3可以表示为one third，a third；当分子大于1时，分母需要加“s”，比如分数4/3，在英文中可以表示为：four thirds，thirds of four，或four over three。

基数词和序数词的应用：

从上面我们可以看到，基数词和序数词在数位表达、分数表达中都发挥了重要作用，还有第三个作用是序数词经常用来表达等分概念。

Example 3:

有一棵树，高为10米，现在在其五等分（fifths）和三等分（thirds）处被做标记，如果这棵树要在标记处被截断，下面哪一个给出了所有不同的被截后树的长度？

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）

解： 本题由于段数少，可以画出图来用枚举法求解。我们在这里继续介绍一个经验求解法，以后遇到这样的题目可以直接套用。假设树木被以n等分和m等分处做标记（n<m），然后在标记处被截断，那么截得树的长度分别为（假设为单位1的情况下）：

乘以小于n的整数倍

本题中：n=3，m=5，所求长度为1/5， 乘以小于3的整数倍，得到所有长度为1/5×10,2/15×10 and 4/15×10，因此选择（D）。

五、有理数和无理数

有理数（rational numbers）：能够写成两个整数相除形式的数。

例如：5，2/3，45/100。

无理数（irrational numbers）：不能够写成两个整数相除形式的数。

例如：

Example 1:

n是奇数吗？

（1）n 4 -2是偶数

（2） 是整数

解： 单独（1）：n 4 -2是偶数，偶数-偶数偶数，所以n 4 为偶数。许多同学便认为n是偶数，可以否定回答问题，n不是奇数。殊不料忽视了n可以为无理数，比如， ；

单独（2）， 是整数，那么n一定是整数，但是奇是偶，不得而知。

把（1）+（2）结合起来，得到n是整数，但一定不是奇数。 CUYgGUPYIGWIcq1gyEejvQdecISxy6id5gny2WjDXK0qntGo4jFBvyao1gSGj1Rv