1.在△ ABC 中，若 a =2 b cos C ，则△ ABC 是（　　）.

A.等腰三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.等腰或直角三角形

2.若 A 为△ ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（　　）.

A.sin A

B.cos A

C.tan A

D .

3.在△ ABC 中，角 A 、 B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ ABC 的形状是（　　）.

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

4.等腰三角形一腰上的高是 ，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为（　　）.

A.2

B.

C.3

D.2

5.在△ ABC 中，若 b =2 a sin B ，则 A 等于（　　）.

A.30°或60°

B.45°或60°

C.120°或60°

D.30°或150°

6.在Rt△ ABC 中，∠ C =90°，则sin A sin B 的最大值是_____.

7. 在△ ABC 中，∠ A =60°， b =1， S _{△ ABC} = ，则 =____.

8.若 A 、 B 是锐角三角形的两内角，则tan A tan B _____（填“＞”或“＜”）.

9.在△ ABC 中，若 a =9， b =10， c =12，则△ ABC 的形状是_____.

10.在△ ABC 中，若 a = ，= b ，= c ，则 A =_____.

11.某观察站 C 在 A 城的南偏西20°方向，由 A 城出发有一条公路，走向是南偏东40°，距离 C 处31 km的公路上的 B 处有一人正沿公路向 A 城走去，走了20 km后到达 D 处，此时 C 、 D 距离为21 km，问此人还需走多少千米才能到达 A 城？

12.在△ ABC 中，若（ a + b + c ）（ a - b + c ）=3 ac ，且tan A +tan C =3+ ， AB 边上的高为4 ，求角 A 、 B 、 C 的大小与边 a 、 b 、 c 的长.

13.如图所示，在海岸 A 处，发现北偏西75°的方向，与 A 相距2海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏东45°方向，与 A 相距 （ -1） 海里的 C 处的缉私船奉命以10 海里/小时的速度追截走私船.此时，走私船正以10海里/小时的速度从 B 处向北偏西30°方向逃窜，缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

14.如图所示，在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， A = ，sin B = ， D 为 BC 边中点， AD =1.

（1）求 的值；

（2）求△ ABC 的面积.

15.如图所示， a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上一点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点 B 、 C 分别在 A 的正东方20 km和54 km处.某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8 s后监测点 A ，20 s 后监测点 C 相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中传播速度是1.5 km/s.

（1）设 A 到 P 的距离为 x km，用 x 表示 B 、 C 到 P 的距离，并求 x 的值；

（2）求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离.

16.如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β. 已知铁塔 BC 部分的高为 h ，求山高 CD.

17.△ ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰 AC 的长为300 m，底 AB 的长为400 m.现决定在空地内筑一条笔直的小路 EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为 S ₁ 和 S ₂ .

（1）若小路一端 E 为 AC 的中点，求此时小路的长度；

（2）若小路的端点 E 、 F 两点分别在两腰上，求 的最小值.

18.如图所示，摄影爱好者在某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为 m（将眼睛 S 距地面的距离 SA 按 m处理）.

（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离 AB 和立柱的高度 OB.

（2）立柱的顶端有一长为2 m的彩杆 MN ，且 MN 绕其中点 O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆 MN 的视角∠ MSN （设为 θ ）是否存在最大值？若存在，请求出∠ MSN 取最大值时cos θ 的值；若不存在，请说明理由.

19.我国南宋时期的数学家秦九韶发现的求三角形面积的“三斜求积”公式

S _{△ ABC} = ，

与古希腊数学家海伦给出的三角形面积公式

S _{△ ABC} = ，其中 p = （ a + b + c ）是一致的.

请你利用三角形面积公式 S _{△ ABC} = ab sin C 和余弦定理另一种形式cos C = ，证明“三斜求积”公式和海伦公式. moAihfMWU2wYaAl2K+2I7rOrgvPASbwSjk5d8rlFzo2gVYA87EMnyhoh4OORCA1l