方法简述

1.转化法

解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，是我们熟悉和已解决的问题或容易解决的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为转化法.

例1 如图所示，在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ ，沿 BE 方向前进30 m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为2 θ ，再继续前进10 m至 D 点，测得顶端 A 的仰角为4 θ ，求 θ 的大小和建筑物 AE 的高.

点拨 本题可转化为解三角形的问题，利用正弦定理求解；也可转化为方程问题求解；还能借助二倍角公式解决.

解答 解法一：（用正弦定理求解）

由已知，可得

在△ ACD 中， AC = BC =30， AD = DC =10 ，∠ ADC =180°-4θ.

∴ = .

∵sin 4 θ =2sin 2 θ cos 2 θ ，∴cos 2 θ = .解得2 θ =30°，∴ θ =15°.

∴在Rt△ ADE 中， AE = AD sin 60°=15（m）.

答：所求角 θ 为15°，建筑物高度为15 m.

解法二：（设方程求解）

设 DE = x ， AE = h.

在Rt△ ACE 中，（10 + x ） ² + h ² =30 ² .

在Rt△ ADE 中， x ² + h ² =（10 ） ² .

两式相减，得 x =5 ， h =15.

在Rt△ ACE 中，tan 2 θ = = ，∴2 θ =30°=°， θ 15.

答：所求角 θ 为15°，建筑物高度为15 m.

解法三：（用倍角公式求解）

设建筑物高为 AE = x.

由题意，得∠ BAC = θ ，∠ CAD =2 θ ，

AC = BC =30， AD = CD =10 .

在Rt△ ACE 中，sin 2 θ = . ①

在Rt△ ADE 中，sin 4 θ = . ②

②÷①，得cos 2 θ = .

则2 θ =30°， θ =15°， AE = AD sin 60°=15（m）.

答：所求角 θ 为15°，建筑物高度为15 m.

反思 将复杂的问题转化为简单问题，通过求解简单问题达到解决复杂问题的目的.本题有多种转化方式，是一题多解的典型问题.

2. 基本不等式法

基本不等式是解决最值问题的一种常用方法.在运用基本不等式 ≥ （ a ＞0， b ＞0）解题时，一定要注意其成立的条件“一正、二定、三相等”，即“正数是前提，定值是基础，相等是保证”，三者缺一不可.

例2 已知 A 、 B 、 C 是△ ABC 的三个内角， y =cot A + .

（1）若任意交换两个角的位置， y 的值是否变化?试证明你的结论.

（2）求 y 的最小值.

点拨 第一问要将原式转化为 y =cot A +cot B +cot C ；第二问的最值问题可利用基本不等式求解.

解答

∴任意交换两个角的位置， y 的值不变化.

故当 A = B = C = 时， y _min = .

反思 本题的第（1）问是一道结论开放型题， y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ ABC 中，求证:cot A +cot B +cot C ≥ .

易错解读

易错点 没有进行分类讨论导致错误.

分类讨论思想，就是按照一定的标准，把有关问题转化为几个部分或几种情况，从而使问题明朗化，然后逐个加以解决，最后予以总结得出结论的思想.

例3 如图所示，有两条相交成60°角的直路 EF 、 MN ，交点是 O. 起初，阿福在 OE 上距 O 点3 km的点 A 处；阿田在 OM 上距 O 点1 km的点 B 处.现在他们同时以4 km/h的速度行走，阿福沿 EF 的方向，阿田沿 NM 的方向.

（1）求起初两人的距离；

（2）用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离；

（3）什么时候他们两人的距离最短？

解答 （1）∵ AB ² = OA ² + OB ² -2 OA · OB cos 60°=7， ∴ AB = （km）.

∴起初他们两人的距离是 km.

（2）设他们 t 小时后的位置分别是 P 、 Q ，则 AP =4 t ， BQ =4 t.

下面分两种情况讨论：

当0≤≤ t 时， PQ ² =（3-4） t ² +（1+4° t ） ² -2（3-4 t ）（1+4 t ）cos 60. ①

当 t ＞ 时， PQ ² =（3-4 t ） ² +（1+4 t ） ² -2（4 t -3）（1+4 t ）cos 120°. ②

由①②，得 PQ ² =48 t ² -24 t +7，即 PQ = .

（3）∵ PQ ² =48 t ² -24 t +7= +4，

∴当 t = 时，即在第15分钟时他们两人的距离最短.

反思 本题第（2）小题中，阿福的位置在 O 点的右侧还是左侧是需要进行讨论的.本题还可以转化为坐标运算，从而避免分类讨论.提示：以 O 为坐标原点， OE 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 t 时刻， P （3-4 t ，0）， .

经典训练

1.某人要利用无人机测量河流的宽度，如图所示，从无人机 A 处测得正前方河流的两岸 B 、 C 的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60 m，则河流的宽度 BC 等于（　　）.

A.240 m

B.180（ -1）m

C.120（ -1）m

D.30（ +1）m

2.如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为25 m的建筑物 CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 θ ，在山坡的 A 处测得∠ DAC =15°，沿山坡前进50 m到达 B 处，又测得∠ DBC =45°，根据以上数据得cos θ =_____.

3.一艘海警船从港口 A 出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达 B 处，这时候接到从 C 处发出的一求救信号已知， C 在 B 的北偏东65°，港口 A 的东偏南20°处，那么 B 、 C 两点的距离是_____海里.（1海里=1.852千米）

4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台 E 点和看台的坡脚 A 点，测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚 A 点到 E 点在水平线上的射影 B 点的距离为10 cm，则旗杆 CD 的高是_____m.

5.一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 α （0°＜ α ＜45°），在海面上向山顶的方向行进 m m后，测得山顶 C 的仰角为90°- α ，则该山的高度为_____m.（结果化简）

6.某老师在校阅试题时发现一道题目：“从60°角的顶点开始，在一边上截取9 cm的线段，在另一边截取 a cm的线段，求所得两个端点之间的距离.”其中 a cm在排版时比原稿上多了1，虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍符合，则 a =_____cm.

7.某人站在60 m高的楼顶 A 处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶 C 的仰角为30°，塔底 B 的俯角为15°，已知楼底部 D 和电视塔的底部 B 在同一水平面上，则电视塔的高为_____m.

8.为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1 km的两个观察点 C 、 D ，在某时刻观察到该航船在 A 处，此时测得∠ ADC =30°，3 min后该船行驶至 B 处，此时测得∠ ACB =60°，∠ BCD =45°，∠ ADB =60°，则船速为 km/min.

9.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 km，速度为180 km/h，飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420 s后又看到山顶的俯角为45°，如图所示.求山顶的海拔高度（取 =1.4， =1.7）.

10.如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道 AC ，小王和小李不打算坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知∠ ABC =120°，∠ ADC =150°， BD =1 km， AC =3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时 1 200 m，则两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰.（即从 B 点出发到达 C 点）

11.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A 、 B ，观察对岸的点 C ，测得∠ CAB =75°，∠ CBA =45°，且 AB =100 m.

（1）求sin 75°；

（2）求该河段的宽度.