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本节简述不等式的传递性、加法性质及乘法性质，这些性质是解不等式及不等式应用的主要依据，其解题思想方法如下.
所谓性质法是指灵活运用不等式的基本性质去解决具体不等式问题，在运用不等式的基本性质时，一定要注意不等式的方向，还要注意所运用不等式性质自身成立的条件.
例1
设-2＜
x
＜4，6＜
y
＜8，分别求
x
-
y
，
（
x
≠0）的取值范围.
点拨 通过运用不等式的加法、乘法性质，结合题目所提供的结构信息，仔细分析条件-2＜ x ＜4，6＜ y ＜8，可推出结论.
解答 由6＜ y ＜8，得-8＜- y ＜-6，所以-10＜ x - y ＜-2.
当-2＜
x
＜0时，
＜-
；当0＜
x
＜4时，
＞
.
所以
的取值范围是
＜-
或
＞
.
反思 本题主要通过运用不等式的基本性质来解决.在运用不等式的基本性质解决有关问题时，必须充分注意这些性质成立的条件，例如同向的两个不等式才能相加；同向且都是正数的两个不等式才能相乘等.
例2
已知
p
、
q
∈
R
，则“
q
＜
p
＜0”是“
＜1”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
点拨
首先根据不等式性质研究，
的取值范围，再与
＜1进行比较，研究充分性和必要性.
解
答
q
＜
p
＜0，∴1＞
＞0.
由0＜
＜1⇒
＜1，可知“
q
＜
p
＜0”是“
＜1”的充分不必要条件.
故选A.
反思 通过不等式的性质，将题目中的已知条件进行等价转化，再结合充分条件和必要条件的知识来研究问题.
通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出答案的一种方法.
例3 已知 a ＞ b ＞ c ，则下列不等式中正确的是（ ）.
A. ac ＞ bc
B. ac 2 ＞ bc 2
C. b （ a - b ）＞ c （ a - b ）
D.| ac |＞| bc |
点拨 分别取一些满足已知条件的特殊值代入进行验算，从而否定一些假命题，然后再运用不等式的性质去证明用特值法没有解决的命题.
解答 A. a =2， b =1， c =-1，满足 a ＞ b ＞ c ，而 ac ＜ bc ，所以命题A为假命题；
B.取 a =2， b =1， c =0，满足 a ＞ b ＞ c ，而 ac 2 = bc 2 ，所以命题B为假命题；
D.取 a =2， b =1， c =0，满足 a ＞ b ＞ c ，而| ac |=| bc |，所以命题D为假命题.
故选C.
反思 与不等式性质有关的选择题、填空题，考查的知识点较多，若逐个证明显得很麻烦，可通过特值法进行筛选，进行归纳和猜想，然后再去判断或证明，这样一来可达事半功倍之效，问题也就变得简单多了.
例4 设 a 、 b ∈ R ，且 ab ＜0，则（ ）.
A.| a + b |＜| a - b |
B.| a + b |＞| a - b |
C.| a - b |＜| a |-| b |
D.| a - b |＜| a |+| b |
点拨 分别取符合要求的实数，代入 a 、 b 进行研究，从而否定假命题，通过排除法得到正确的结论.
解答 取 a =2， b =-1，
则| a + b |=1，| a - b |=3，| a |+| b |=3，| a |-| b |=1.
所以B、C、D都错误，故选A.
反思 与不等式有关的选择题，可以通过代入特值的方法，排除错误答案，缩小选择范围，从而减轻解题压力，提高效率.
例5 解关于 x 的不等式: m （ x +3）＜ x + m.
点拨 将不等式整理后，注意 x 的系数，根据不等式的性质对问题进行分类讨论.
解答 整理原不等式，得（ m -1） x ＜-2 m.
①当
m
＞1时，
x
＜
②当 m =1时， x 无解；
③当
m
＜1时，
x
＞
反思 不等式两边同时乘（或除以）一个数时，要关注这个数的符号.
比较法是最基本的方法，常用于不等式证明，具体可分为作差和作商两种方法.（1）作差法:
a
≥
b
⇔
a
-
b
≥0；（2）作商法:
a
≥
b
（
b
＞0）⇔
≥1（
b
＞0）.其步骤是作差（商）―变形―判断符号.
例6 比较 a 2 -2 a +7与2 a +1的大小.
点拨 本题通过作“差”，并对“差”式进行恒等变形，再判断“差”式的符号，可达到比较大小的目的.
解答 ∵（ a 2 -2 a +7）-（2 a +1）= a 2 -4 a +6=（ a -2） 2 +2＞0，
∴ a 2 -2 a +7＞2 a +1.
反思 比较两个代数式大小的关键是作“差”后的“变形”，本题是通过配方法来实现“变形”的，用配方法将它们的“差”式，写成几个非负数或非正数的和的形式，就可以判断其符号是正数、负数还是零，从而得出结论.
例7 设 a ＞b ＞0，比较 a a b b 与 a b b a 的大小.
点拨 由于要比较的式子都是正的，且都是积或幂的形式，可选用作“商”法.
解答
∵
=
，又
a
＞
b
＞0，则
a
-
b
＞0且
＞1，
∴
＞1， 即
＞1.又
a
b
b
a
＞0∴，
a
a
b
b
＞a
b
b
a
.
反思 作“商”比较法的变形主要是利用指数的运算及不等式的基本性质，对不等式两边同乘或同除以代数式后，其不等式的方向是否改变，要看所乘或除以的式子的符号，这一点要特别注意.
例8
a
、
b
、
c
∈
R
，且
=1，则有（ ）.
A. b 2 -4 ac ≥0
B. b 2 -4 ac ＞0
C. b 2 -4 ac ≤0
D. b 2 -4 ac ＜0
点拨 根据选项中提示，联想到二次方程的根的判别式.
解答
由已知
=1去分母，得5
a
-
b
+
c
=0.可令
x
=
，
则有
ax
2
-
bx
+
c
=0，此方程至少有一个实根为
，所以Δ=
b
2
-4
ac
≥0.
故选A.
反思 本题是根据题目中的条件判断 b 2 -4 ac 是正、负还是零的问题，联想到一元二次方程根的判别式，为此想到尽量转化为以 a 、 b 、 c 为系数的一元二次方程，再运用判别式去分离变量，获得正确结果.
利用不等式性质求范围时，减法转化为加法，除法转化为乘法求解.
例9
已知2＜
a
≤3，-2≤
b
≤-1，求
a
+
ba
、-
b
、
的范围.
某同学的解法如下：
由2＜
a
≤3，-2≤
b
≤-1，得0≤
a
+
b
＜2，4≤
a
-
b
≤4，-1≤
≤-3.以上解是否正确？请说明理由.
解答 上述解法不正确，忽视了不等式性质成立的必要条件.
∵2＜ a ≤3，-2≤ b ≤-1，∴0＜ a + b ≤2.
又1≤- b ≤2，故3＜ a - b ≤5.
又-1≤
≤-
，∴-2＜
≤-
.
反思
在运用不等式的基本性质时，分清哪些条件是充分条件，哪些条件是必要条件，是非常重要的.例如由
，这个结论是错误的；又如比较
与
的大小时，要搞清楚
a
、
b
的符号；若
＜
，则不是说
x
＞3；等等.
1.若 x ＜ y ＜0，则| x |与- y 的大小关系是_____.
2.若
a
＞
b
，
c
＞
d
，则
＞
，这个命题是真命题，应补充条件是_____.
3.若 x ∈ R ，则 x 2 +3与2 x 的大小关系为_____.
4.命题：若
a
＞
b
，则
＞
，是假命题的原因为_____.
5.已知
a
、
b
∈
R
，则
a
＞
b
和
＞
同时成立时，则
a
、
b
应满足的条件是（ ）.
A.- b ＞0＞- a
B. a ＞ b ＞0
C. a ＜ b ＜0
D.- a ＞0＞- b
6.若 m 、 n ∈ N *，则 m + n ＞ mn 成立的充要条件是（ ）.
A. m 、 n 都等于1
B. m 、 n 都不等于2
C. m 、 n 都大于1
D. m 、 n 至少有一个等于1
7.若
a
+
b
=1，
a
、
b
∈
R
，判断
a
2
+
b
2
与
的大小关系.
8.某商品计划两次提价，有甲、乙两种方案（ p ＞ q ＞0），经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？
9.已知
a
、
b
、
c
、
d
∈
R
，有三个不等式:
ab
＞0，
bc
-
ad
＞0，
＞
＞0，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，那么写出所有组成的真命题.
10.已知
a
＞0，
a
≠1，研究
a
3
+
与
a
4
+
的大小，并将你研究的结论推广.（不需证明）