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1.已知 a n = n 的各项排列成如图所示的三角形状，记 A （ m ， n ）表示第 m 行的第 n 个数，则 A （21，12）=_____.
第1题图
2.设函数
y
=
f
（
x
）的定义域为
R
，其图象关于点
成中心对称，令
a
k
=
f
（
n
为常数且
n
≥2，
n
∈
N
*），
k
=1，2，3，…，（
n
-1），…则数列｛
a
k
｝的前2
n
-1项的和为_____.
3.已知正项等比数列{
a
n
}满足:
a
2 012
=
a
2011
+2a
2010
，且
=4
a
1
，则6
的最小值为_____.
4.如图是见证魔术师“论证”64=65飞神奇.对这个乍看起来颇为神秘的现象，我们运用数学知识不难发现其中的谬误.另外，我们可以更换图中的数据，就能构造出许多更加直观与“令人信服”的“论证”.
第4题图
请你用数列知识归纳：（1）这些图中的数所构成的数列：____；（2）写出与这个魔术关联的一个数列递推关系式:_____.
5.互不相同的点 A 1 ， A 2 ，… A n ，和 B 1 ， B 2 ，…， B n ，…分别在角O的两条边 OA 和 OB 上，所有 A n B n 相互平行，且所有梯形 A n B n B n+1 A n+1 的面积均相等，设 OA n = a n ，若 a 1 =1， a 2 =2， 则数列 {an}的通项公式是_____.
6.对于数列{ a n }，规定{Δ a n }为数列{ a n }的一阶差分数列其中，Δ 1 a n = a n +1 - a n （ n ∈ N *）.对于正整数 k ，规定{Δ n a n }为{ a n }的 k 阶差分数列，其中Δ k a n =Δ k -1 a k +1 -Δ k -1 a n .若数列{ a n }的通项 a n =3 n -1 ，则Δ 2 a 1 +Δ 2 a 2 +…+Δ 2 a n =_____.
7. 在数列{
a
n
}中，对任意
n
∈
N
*，都有
=
k
（
k
为常数），则称{
a
n
}为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断：
① k 不可能为0；
②等差数列一定是等差比数列；
③等比数列一定是等差比数列；
④通项公式为 a n = ab n + c （ a ≠0， b ≠0，1）的数列一定是等差比数列.
其中正确的判断为（ ）.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
8.已知数列{ a n }，{ b n }满足 a 1 =1，+= a n a n +1 b n ，且 a n ， a n +1 是函数 f （ x ）= x 2 - b n x +2 n 的两个零点，则 b 10 等于（ ）.
A.24
B.32
C.48
D.64
9
.已知数列{
a
n
}满足
a
1
=1，
a
n
+1
=-
（
n
∈
N
*），若
b
n
+1
=（
nλ
）
（
n
∈
N
*），
b
1
=-
λ
，且数列{
b
n
}是单调递增数列，则实数
λ
的取值范围为（ ）.
A. λ ＞2
B. λ ＜2
C. λ ＞3
D. λ ＜3
10.已知数列{ a n }的通项 a n =2 n cos（ n π），则 a 1 + a 2 +…+ a 99 + a 100 =（ ）.
A.0
B.
C.2-2 101
D
.
（2
100
-1）
11.设一个正整数 n 可以表示为 n = a 0 2 k + a 1 2 k -1 +…+ a k 2 0 （ k ∈ N ），其中 a 0 =1， a i =0或1（1≤ i ≤ k 且 i ∈ N ）， a i 中为1的总个数记为 f （ n ），例如 f （1）=1， f （2）=1， f （3）=2， f （4）=1，则2 f （1） +2 f （2） +2 f （3） +…+2 f （31） =（ ）.
A.121
B.243
C.728
D.729
12. 设两数列{
a
n
}和{
b
n
}，
a
n
=
，
b
n
=
+
+…+
，则数列｛
｝的前
n
项的和为（ ）.
A.
C.
B.
D.
13.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 a n 万元.
（1）用 d 表示 a 1 、 a 2 ，并写出 a n +1 与 a n 的关系式；
（2）若公司希望经过 m （ m ≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值（用 m 表示）.
14.已知点列 A n （ x n ，0）（ n ∈ N *），其中 x 1 =0， x 2 = a （ a ＞0）， A 3 是线段 A 1 A 2 的中点， A 4 是线段 A 2 A 3 的中点，……， A n 是线段 A n -2 A n -1 的中点，……
（1）写出 x n 与 x n -1 、 x n -2 之间的关系式（ n ≥3）；
（2）设 a n = x n +1 - x n ，计算 a 1 、 a 2 、 a 3 ，由此推测数列{ a n }的通项公式，并加以证明.
15.在直角坐标平面上有一点列
P
1
（
x
1
，
y
1），
P
2
（
x
2
，
y
2），…，
P
n
（
x
n
，
y
n
），…对于每个正整数
n
，点
P
n
均位于一次函数
y
=
x
+
的图象上，且
P
n
的横坐标构成以-
为首项，-1为公差的等差数列｛
x
n
｝.
（1）求点 P n 的坐标；
（2）设二次函数
f
n
（
x
）的图象
c
n
以
P
n
为顶点，且过点
D
n
（0，
n
2
+1），若过
D
n
且斜率为
k
n
的直线
l
n
与
c
n
只有一个公共点，求
T
n
=
+
+…+
的表达式；
（3）设 S =｛ x | x =2 x n ， n ∈ N *｝， T =｛ y | y =12 y n ， n ∈ N *｝，等差数列{ a n }中的任一项 a n ∈ S ∩ T ，且 a 1 是 S ∩ T 中最大的数，-225＜ a 10 ＜-115，求数列{ a n }的通项公式.
16. 在数列{
a
n
}中，如果对任意
n
∈
N
*都有
=
p
（
p
为非零常数），则称数列{
a
n
}为“等差比数列”，
p
叫数列{
a
n
}的“公差比”.
（1）已知数列{ a n }满足 a n =-3·2 n +5（ n ∈ N *），判断该数列是否为等差比数列；
（2）已知数列{ b n }（ n ∈ N *）是等差比数列，且 b 1 =2， b 2 =4，公差比 p =2，求数列{ b n }的通项公式 b n ；
（3）记 S n 为（2）中数列{ b n }的前 n 项的和，证明数列｛ S n ｝（ n ∈ N *）也是等差比数列，并求出公差比 p 的值.
17.定义的
x
1
，
x
2
，…，
x
n
“倒平均数”为
（
n
∈
N
*）.已知数列{
a
n
}前
n
项的“倒平均数”为
，记
c
n
=
（
n
∈
N
*）.
（1）比较 c n 与 c n +1 的大小.
（2）设函数 f （ x ）=- x 2 +4 x ，对（1）中的数列｛ c n ｝，是否存在实数 λ ，使得当 x ≤ λ 时， f （ x ）≤ c n 对任意 n ∈ N *恒成立？若存在，求出最大的实数 λ ；若不存在，说明理由.
（3）设数列{
b
n
}满足
b
1
=1，
b
2
=
b
（
b
∈
R
且
b
≠0），
b
n
=
b
n
-1
-
b
n
-2
（
n
∈
N
*且
n
≥3），且{
b
n
}是周期为3的周期数列，设
T
n
为{
b
n
}前
n
项的“倒平均数”，求
T
n
.
18.我们把一系列向量
n
（
i
=1，2，…，
n
，…）排成一列，称为向量列，记作｛
n
｝.又设
n
=（
x
n
，
y
n
），假设向量列
满足:
=（
，
），
=
（
）（
n
≥2）.
（1）求证：数列{|
n
|}是等比数列；
（2）设
θ
n
表示向量
（
n
∈
N
*）间的夹角，若
b
n
=sin（2
nθ
n
），记{
b
n
}的前
n
项和为
S
n
，求
S
3
m
；
（3）设
f
（
x
）是
R
上不恒为零的函数，且对任意的
a
、
b
∈
R
，都有
f
（=
a
·
b
）
af
（
b
）+
bf
（
a
），若
f
（2）=2，
（
n
∈
N
*），求数列｛
u
n
｝的前
n
项和
T
n
.
19.设10， a 2 ，…， a n 是各项均不为零的 n （ n ≥4）项等差数列，且公差 d ≠0.
（1）若
d
=-
，且该数列前
n
项和
S
n
最大，求
n
的值；
（2）若 n =4，且将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求 d 的值；
（3）若该数列中有一项是10+
，则数列10，
a
2
，…，
a
n
中是否存在不同三项（按原来的顺序）为等比数列？请说明理由.