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一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母
d
表示.用递推公式表示为
. 通项公式为
a
n
=
a
1
+（
n
-1）
d.
等差数列的前
n
项求和公式为
S
n
=
.
如果
a
、
A
、
b
成等差数列，那么
A
叫作
a
与
b
的等差中项，即
a
、
A
、
b
成等差数列⇔
A
=
.
设数列{ a n }是等差数列，且公差为 d ， m 、 n 、 p 、 q ∈ N *，若 m + n= p +q ，则 a m + a n =a p + a q .
在量制中，约定地被认为是相互独立的量称为基本量.在等差数列中，第一项 a 1 和公差 d 是两个基本量.在解题过程中，利用 a 1 和 d 表示已知条件，并利用方程思想进行求解，获得基本量 a 1 和 d ，进而解决问题的方法称为基本量法.
例1 已知等差数列{ a n }满足 a 2 =0， a 6 + a 8 =-10，求 a 2 014 .
点拨 根据等差数列的通项公式的概念，将已知条件中的两个等式表示为 a 1 和 d 这两个基本量的方程，并求解方程.
解答 解法一：设等差数列{ a n }的公差为 d.
由已知条件，得
.解得
.
∴ a n =- n +2.∴ a 2 014 =-2 012.
解法二：设等差数列{ a n }的公差为 d.
由 a 6 + a 8 =-10，可得2 a 7 =-10，∴ a 7 =-5.
∴
d
=
=-1.∴
a
n
=-
a
2
+（
n
2）
d
=-
n
+2.
∴ a 2 014 =-2 012.
反思 等差数列的两个基本量为 a 1 和 d ，一旦基本量确定，在已知项数的情况下，整个数列中的每一项都可以相应确定.
例2 设 S 2 为等差数列{ a n }的前 n 项和，若 S 3 =3， S 6 =24，求 a 9 .
点拨 根据等差数列的前 n 项和的概念和公式，将已知条件中的两个等式表示为 a 1 和 d 这两个基本量的方程，并求解方程.
解答
由题意，得
∴
∴
a
9
=
a
1
+8
d
=15.
反思 等差数列的两个基本量为 a 1 和 d ，一旦基本量确定，在已知项数的情况下，整个数列中的每一项都可以相应确定.
所谓定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的.定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念.
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点.简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题，是最直接的方法.
例3
已知数列满足{
a
n
}
a
1
=
，且对任意
n
∈
N
*，都有
.
（1）求证数列:
为等差数列；
（2）试问：数列中 a k a n +1 （ k ∈ N *）是否仍是数列{ a n }中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由.
点拨
第（1）题中证明数列
为等差数列，只需根据定义，证明
-
为定值，所以要对已知的等式进行变形，构造出
.
第（2）题则可以利用数列{ a n }的通项公式的定义，来进行验证.
解答 （1）证明：由已知，得 a n a n +1 +2 a n =4 a n a n +1 +2 a n +1 .
则2
a
n
-2
a
n
+1
=3
a
n
a
n
+1
，所以
-
=
.
所以数列
是以
为首项，公差为
的等差数列.
（2）由（1）可得数列
的通项公式为
=
，所以
a
n
=
.
因为
=
k
2
+3
k
+1+
，
当
k
∈
N
*时，
一定是正整数，所以
是正整数.
所以
a
n
a
n
+1
是数列{
a
n
}中的项，是第
项.
反思 明确等差数列的定义以及等差数列通项公式，并且进行合理运用，可以帮助我们解决此类问题.
例
4等差数列{}{
a
n
、
b
n
}的前项和分别为
S
n
、
a
n
，且
=
，求使得
为整数的正整数
n
的值.
点拨
根据等差数列前项和的定义得到
n
，可以
S
2
n
-1
=
=（2
n
-1）·
a
n
.
解答
∵
=
，∴
=
.
又
=
=
=
，∴
=7+
.∴-=
n
21，3，11，33.∴
n
=3，5，13，35.
反思 等差数列中，若 m 、 n 、 p 、 q ∈ N *，则 m + n = p + q ⇒ a m + a n = a p + a q ，可以得到 a n 与 S 2 n -1 的关系.
方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题.
要善用方程和方程组观点来观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.
例5 在等差数列{ a n }中， a 2 + a 3 + a 4 =-12， a 1 a 3 a 5 =80，求通项 a n .
点拨 利用等差数列的性质，将两个等式转化为关于 a 1 、 a 5 的方程，并利用方程求解来解决问题.
解答 ∵ a 2 + a 3 + a 4 =3 a 3 =-12，∴ a 3 =-4.
∵
a
1
a
3
a
5
=80，∴
∴
∴
a
1
、
a
5
是方程
x
2
+8
x
-20=0的两根.
解得
或
∴
或
.
∴ a n =3 n -13或 a n =-3 n +5.
反思 等差数列的基本量始终是 a 1 和 d ，将这两个基本量作为未知数，构建方程进行求解是数列问题中经常使用的技巧.
在求解过程中，合理运用已知的条件和求解过程中产生的结论，分析所求的内容与已知结论之间的内在联系，可以使得求解的过程得到简化.
例6 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n = n 2 -12 n ，若 T n =| a 1 |+| a 2 |+| a 3 |+…+| a n |，求 T n .
点拨 T n 是{| a n |}的前 n 项和，而 S n 是{ a n }前 n 项和， a n 的正负影响到了 T n 与 S n 的关系，所以必须先对 a n 进行讨论.
解答 当 n =1时， a 1 = S 1 =-11.
当 n ≥2时，
a n = S n - S n -1 = n 2 -12 n -（ n -1） 2 +12（ n -1）=-12 n +2 n -1+12 n -12=2 n -13.
检验 n =1时， a 1 =-11.∴ a n =2 n -13.
当 n ≤6， n ∈ N *时， a n ＜0； n ≥7， n ∈ N *时， a n ＞0.
∴当
n
≤6∈，
n
N
*时，
T
n
=-（
a
1
+
a
2
+…+
a
n
）-=
=-
n
2
+12
n.
当 n ≥7， n ∈ N *时，
T
n
=-（
a
1
+
a
2
+…+
a
6
）+（
a
7
+
a
8
+…+
a
n
）=36+
=
n
2
-12
n
+72.
∴
T
n
=
.
反思 研究 a n 的正负，并尝试用已知条件 S n 来表示 T n 是此类问题比较理想的求解方式.
所谓知识迁移法就是利用新旧知识间的联系，启发学生进行新旧知识对照，由旧知识去思考、领会新知识，学会学习的方法.数学的各个组成部分不是孤立存在，而是互相联系，互为因果的.学生的思维过程就是揭示和建立新旧知识联系的过程.任何自主探索都必须有起点，有依托，不能切断知识之间的内在联系.通过引思、回顾、概括、归纳旧知，形成程序性知识，建立良好的知识网络结构，从而使自主探索成为可能.
例7 设数列{ a n }为等差数列，其前 n 项和为 S n ， a 1 + a 4 + a 7 =99， a 2 + a 5 + a 8 =93，若对任意 n ∈ N *，都有 S n ≤ S k 成立，求 k 的值.
点拨 由于等差数列的前 n 项和 S n 可以看成定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，…， n }的二次函数，所以只需求出 S n 的表达式，再利用二次函数求最值的方法进行研究即可.
解答 对任意 n ∈ N *，都有 S n ≤ S k 成立，则 S k 是 S n 的最大值.
由等差数列的性质，有 a 1 + a 7 =2 a 4 ， a 2 + a 8 =2 a 5 ，
代入已知条件，得 a 4 =33， a 5 =31.
所以 d = a 5 - a 4 =-2， a 1 =33-3 d =39.
解法一:
S
n
=39
n
+
×（-2）=-
n
2
+40=
n
-（
n
-20）
2
+400.
当 n =20时， S n 有最大值，故 k 的值为20.
解法二: a n =39-2（ n -1）=41-2 n.
由
即
解得
∴当 n =20时， S n 取得最大值，故 k = n =20.
反思 本题除了从 S n 出发研究问题，也可以利用 S n 和 a n 的关系来研究问题.
判断必要性时要注意其中的特例.
例 8设{ a n }是等差数列， m 、 n 、 p 、 q ∈ N *，则 m + n = p + q 是 a m + a n = a p + a q 的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解答 充分性成立：
当 m + n = p + q 时， a m + a n =2 a 1 +（ m + n -2） d =2 a 1 +（ p + q -2） d = a p + a q 成立.
必要性不成立：
反例：当{ a n }为常数列时，例如 a n =1，则任取 m 、 n 、 p 、 q ∈ N *，都有 a m + a n = a p + a q .
综上所述，故选A.
反思 解题中需注意特殊情况，比如本题中常数列也是等差数列，同时非零的常数列也是等比数列.
分类讨论时要明确分类对象和分类标准.
例9 已知等差数列{ a n }的通项公式为 a n =2 n -14（ n ∈ N *）， S n 是数列{ a n }的前 n 项和，则当 n =_____时， S n 取最小值.
解答 令 a n ≤0，即2 n -14≤0，解得 n ≤7.
则当1≤ n ≤6时， a n ＜0；当 n =7时， a n =0；当 n ≥8时， a n ＞0.
所以 n =6或7.
反思 解题时需注意考虑完整，讨论不重复不遗漏，才能确保求出所有的结果.
1.在等差数列{ a n }中， a 2 =2， a 3 =4，则 a 10 =_____.
2.等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 2 + a 6 + a 7 =18，则 S 9 的值是_____.
3.设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ，若1≤ a 5 ≤4，2≤ a 6 ≤3，则 S 6 的取值范围是_____.
4.已知等差数列{ a n }的公差为 d （ d ≠0），且 a 3 + a 6 + a 10 + a 13 =32，若 a m =8，则 m 为（ ）.
A.12
B.8
C.6
D.4
5.已知方程（
x
2
-2
x
+
m
）（
x
2
-2
x
+
n
）=0的四个根组成一个首项为
的等差数列，则|
m
-
n
|=（ ）.
A.1
B .
C.
D .
6.设数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
=1，
S
n
=
·
a
n
，求证：数列{
a
n
}为等差数列.
7.已知在等差数列{ a n }中， a 1 =31， S n 是它的前 n 项和， S 10 = S 22 .
（1）求 S n ；
（2）这个数列的前多少项的和最大？求出这个最大值.
8.已知等差数列{ a n }单调递减且满足: a 2 a 10 =-48， a 5 + a 7 =-8，{ a n }的前 n 项和为 S n .
（1）求| a n |的表达式；
（2）求数列{| a n |}的前 n 项和 T n .