第四节
欧几里得

欧几里得在古代数学史上享有无与伦比的大名，以至到现在数学都被分成两大部分：欧氏几何与非欧几何。所谓欧氏几何也就是欧几里得的几何，非欧几何当然就是非欧几里得的几何了。

为什么欧几里得如此有名？所谓欧氏几何真是他发明的吗？不是！实际上由他亲自发现的理论并不多，他与其说是一个伟大的发现者，不如说是一位伟大的收藏家：他大量搜集别人发现的几何学理论，加以理解、融会贯通，然后分门别类地整理，使之明确化、系统化。

欧几里得这种系统化的结果就是《几何原本》，它是整个古希腊数学的总结，也是几千年后几何学甚至整个数学的范本。虽然他如此有名，但我们现在对于他的生平知之甚少。

首先，我们不知道欧几里得是什么地方人，只知道他大概是希腊人，因为他早年曾求学于雅典。其次，我们也不知道他生活的精确年代，只可以大致推测他的活动时期是公元前300年左右。在这个时期，他生活在埃及的亚历山大，职业是一名数学教师，主要教授几何学。

除了这些，我们知道的就是有关欧几里得的几则趣闻轶事了。一则是有次托勒密王问欧几里得，除了《几何原本》之外，还有没有其他学习几何学的捷径。欧几里得回答说：“几何无王者之道。”意思就是，在几何学里没有一条专供国王学习与轻松掌握之道，要学好几何学，唯一的途径就是像大家一样努力。这句话后来以“求知无坦途”的形式流传下来，成为西方的千古箴言。

另一则是某次欧几里得的一个才入门的学生问老师学了几何学有什么好处。欧几里得立即叫人给他三个钱币，说：“他想从学习中获取实利呢！”这句话的意思就是追求知识的目的不应该是获取钱财之类的实利，而应当是追求知识本身。

与欧几里得朦胧的人生形成鲜明对比的是他在《原本》里表达的理论体系的明确清晰。《几何原本》共分13卷，第一卷又分为两节，第一节中首先给出了23个定义，例如什么是点与直线，什么是平面、直角、垂直、锐角、钝角等等，这是几何学的最基本元素，对于这些元素，欧几里得没有用到任何公理与公设，因为它们甚至是比公理与公设更为基本的东西，只是一些直观的描述，连推理也没有，也不能有。

欧几里得给出的几个基本定义是：点是没有部分的东西，没有体积也没有面积或者长度等，总之，是一个抽象的点。线则是单纯的长度，没有宽度，它是由无数点无曲折地排列而成的。

给出定义之后，欧几里得提出了他著名的五个公设。什么是公设呢？它与公理有什么不同？这是一个问题。一般认为，所谓公理是自然之理，它不仅存在于数学之中，也存在于不懂数学的普通人所具备的常识之中，而公设则只存在于所要分析的学科之中，例如几何学的公设只存在于几何学之中，物理学的公设则只存在于物理学之中。

欧几里得共为几何学提出了五个公设：

1．给定两点，可连接一线段。

2．线段可无限延长。

3．给定中心和圆上一点，可做一个圆。

4．所有直角彼此相等。

5．如一直线与两直线相交，且在同侧所交的两个内角之和小于两个直角，则这两直线无限延长后必定在该侧相交。

这里要注意的是第二条公设，那里的线段实际上是我们所讲的直线。五条公设里最不平凡的是第五条，它后来被称为平行公设或第五公设，有各种各样的表达形式，总之是说明什么情况下两直线平行与不平行。其最简明的表达法是：经过直线外一点，只能作一条直线与已知直线平行。

看得出来，这第五公设与前面四条公设比起来复杂不少，欧几里得在这里也没有证明，也许是他认为无须证明，也许是他不能证明。后来人们觉得这个公设应该证明，于是力图用前面的四条公设来证明第五公设，但都归于失败。于是有人干脆否定了它，其结果就是非欧几何了。

在五条公设之后欧几里得又提出了五个公理：

1．与同一个东西相等东西，彼此相等。

2．等量加等量，总量仍相等。

3．等量减等量，余量仍相等。

4．彼此重合的东西相等。

5．整体大于部分。

看得出来，这是比前面的五条公设更为简单的东西，是真正放之天下而皆准的“公理”。

在五条公理之后，欧几里得开始进一步提出命题，在第一卷里他共提出了48个命题。

例如第4个命题是：如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。第5个命题则是：等腰三角形两底角相等，两底角的外角也相等。

第一卷第二节中，欧几里得提出了与平行四边形、三角形等的面积、相等等相关的各命题。其中第47个命题就是著名的勾股定理。第一卷是整部《几何原本》的基础，此后的诸卷就是以之为基础来论证的。

第二卷比较短，只有14个命题。讲的是长方形的部分，实际上则是用几何的方式来讲代数，是“几何代数学”。例如一个数就用一条有长度的线段来表示，两个数的乘积就说是长方形的面积，其两边分别是这两个数。如此等等。

第三卷和第四卷主要是与圆有关的内容，第三卷包括圆、弦、圆的切线与割线、圆心角与圆周角，第四卷讨论了给定一个圆之后，如何只用直尺和圆规作它的内接和外切正多边形的问题。这些内容，尤其是第三卷，就是我们在中学平面几何中所要学习的内容。

第五卷是有名的精彩一卷，在这里欧几里得对欧多克索斯的比例理论做了十分精彩的解释与论证，被视为西方数学史上罕有的杰作。关于它还有一个故事：一个名叫布尔查诺的牧师兼业余数学家在布拉格治病。在浑身难受之时，他顺手抄起了正在手边的一本《几何原本》，正好翻到第五卷，读了欧几里得对欧多克索斯比例理论精彩解说后，他不由大感痛快，病一下子好了！后来，他一生病就读这个第五卷，书到病除，屡试不爽。

第六卷也与第五卷相关，主要是应用欧多克索斯的比例理论来讲各种相似的几何图形及其面积。

第七、八、九三卷讨论的都是同一类问题，即数论，共有约100个命题。

第十卷是最难懂、篇幅也最大的一卷，约占全书篇幅的1／4，包含的命题多达115个，它里面已经包括了无穷小的概念，这个无限之小里头已经隐隐约约有了微积分中的极限概念。

《几何原本》的最后三卷，即第十一、十二、十三卷都是有关立体几何的。分析了空间中的平面、直线、垂直、平行、相交等关系，还有对“穷竭法”的具体运用，以计算圆等特殊图形的面积，最后一卷分析了有关正多面体的问题。经过这些分析，欧几里得建立了一座美丽的几何学大厦，而他则是伟大的建筑师。 b+ey/x+J1xRKpt/Y03ff+V2cT20RliX3OE1jvPs9rnoAGwcgZxDjUPAHfCCrenRY