分蛋糕的学问

在梅尔·布鲁克斯（Mel Brooks）的电影《制片人》（ The Producers ） 中，马克斯·比亚里斯托克（Max Bialystock）和利奥·布卢姆（Leo Bloom）炮制了百老汇音乐剧《希特勒的春天》（ Springtime for Hitler ），并合谋套取25,000％的利润。（“安然事件” ^[1] 是这部片子的现实版。）在剧中，两位主角曾有过片刻的反省，一方问道：“一部音乐剧杂七杂八加在一起，可以卖掉百分之多少？”另一方轻轻地回答：“任何东西，你只能卖出它的百分之百。”直到后来，我终于领悟了这种说法。

一个数学家、一个政治学家和一个经济学家共聚在酒吧。等等，不对，应该是一个数学家、一个政治学家和一个经济学家合写了一篇论文。别吃惊，这是真的。他们指出，在特定情况下，两个人在分完某样东西以后，都会觉得自己得到的那份比较多。当然，这可不是魔术师用镜子和烟雾制造出来的幻象。

这篇论文刊登在《美国数学学会通报》（ Notices of the American Mathematical Society ）2006年12月刊上，标题是《切蛋糕的更好方法》（ Better Ways to Cut a Cake ）。它论及的绝不是研习磨刀技术。实际上它真正论及的是，在分割物品时，最大限度地满足各方需求的理论与方法——对于一场生日聚会而言，各方就是分享蛋糕的那些人。“我们用蛋糕来比喻各类可以分割的物品，不同的人对它有着不同的偏好。”美国蒙特克莱州立大学（Montclair State University）的数学家迈克尔·琼斯（Michael Jones）这样解释道。这块蛋糕是一种象征，它可以是一块既有树林又有海滩的土地，也可以是一套公寓——小房间可以观景，而大房间则没有窗户，还可以是一只鸡——既有鸡胸肉，又有鸡腿肉。

不过，这块蛋糕却无法代表馅饼（pie）。事实上，对于蛋糕切分理论，数学家有着悠久的研究历史（虽然仍显不足和陈腐），这种理论研究如何一刀划分整个空间。有一篇关于馅饼切分理论的文献写道，馅饼的切法是从中心开始下刀，然后呈放射状地往外切。所以，完全切开一块馅饼需要两刀。不过，琼斯指出，从数学的角度上说，“你可以把蛋糕看作一块已经切了一刀的馅饼”。听上去，这像是隐居在山顶的智者会对贝蒂·克罗克（Betty Crocker） 说的话。

不管怎样，还是回到费伯学院 ^[2] 的返校日聚会上来。现在的任务就是要切蛋糕。如果两个人用传统的手段切分蛋糕，那么方法相当简单，而且历史比玛丽·安托瓦内特（Marie Antoinette） 提议民众吃蛋糕的年代还要久远。这个方法就是：一人切，另一人选。如此一来，切蛋糕的人会力求切分均匀，因为他知道，如果稍有不公，自己必定会得到较小的那块。

但是这种切分方式对某些蛋糕来说就行不通了。琼斯说道：“举例来说，如果一个蛋糕一半是巧克力口味，一半是香草口味，而一方更喜欢巧克力口味，另一方却没有偏好，那么就存在某种切法，可以令他们在感觉上都得到了大半个蛋糕。”欢迎你在家中一边喝咖啡、品尝丹麦甜点，一边好好温习一下切分过程涉及的公式。尤其是当两个以上的人分享蛋糕时，这个过程会变得相当复杂。但是，在两个人分享巧克力香草蛋糕的例子中，你就能明白这个道理：如果喜欢巧克力口味的人得到了巧克力部分的80％（尽管只占了整块蛋糕的40％），他就会感觉占了便宜。而他那位没有偏好的伙伴，在得到剩下60％的蛋糕时，自然也会心满意足。可见，蛋糕制作商把蛋糕做得越来越复杂，把价格标得越来越高，其实是有经济动因的。

这个蛋糕切分理论可以应用于诸多场合，例如土地分割谈判等。它也间接地阐明了安然公司图谋的不完备之处。因为，虽然这个理论证明你真的可以感觉到拥有多于百分之百的蛋糕，但是至少你得先有一个蛋糕。 （翻译　姬十三）

注释

[1] 安然公司曾经是叱咤风云的“能源帝国”，2000年总销售收入高达1,000亿美元，名列《财富》（ Fortune ）“美国500强”的第7位。2001年10月，安然公司第三季度财务报表公布，公司亏损6.18亿美元，随后该公司的财务造假被揭露出来。两个月后，安然公司申请破产保护，成为美国历史上最大的破产企业。

[2] 费伯学院，1978年拍摄的美国喜剧《动物屋》（ Animal House ）中的学院。《动物屋》被评为史上50部最伟大的喜剧电影之一，曾经风靡美国校园。 Z6Ib74gu55LcxPu3WQ0FKM9QvISoqw26UVCzzegunYa2lxCdVz96hKxLNRmoX4yg