柏拉图多面体

现在我们将话题从平面转到立体图形，为了寻找最大规则性（maximal regularity）我们可以从多方面推广正多边形。柏拉图多面体便成了自然之选，事实证明这个选择也极其富有成效。如果我们寻找这样的多面体，每个面都是相同的正多边形，每个顶点汇聚相同数目的面，我们满以为会有无数的解法，结果却发现答案竟然只有五个！ ^[1]

如下为这五种柏拉图多面体：

*四面体由四个三角形的面组成，共有四个顶点，每个顶点聚有三个面。

*八面体由八个三角形组成，共有六个顶点，每个顶点聚有四个面。

*二十面体由二十个三角形组成，共有十二个顶点，每个顶点聚有五个面。

*立方体由六个正方形组成，共有八个顶点，每个顶点聚有三个面。

*十二面体由十二个五边形组成，共有二十个顶点，每个顶点聚有三个面。

我们在生活中很容易理解这五种立体确实存在，可以毫不费力地把它们想象出来并构建它们的模型。可为什么恰恰只有五种呢？（为什么形状的种类不能多也不能少呢？）

不妨让我们围绕这个问题动脑筋想想，然后我们就会发现四面体、八面体和二十面体的顶点分别聚合有三个、四个和五个三角形。那么，我们不禁要问：一个顶点有六个面该是什么样子？这时我们注意到，当六个等边三角形交汇在同一个顶点的时候，三角形就立不住了，它们全都躺在平面里了。在这个平面里无论再添加多少个面都不可能获得一个有体积的有限形状。与之相反，如图6所示，它会形成一个被剖分的无限平面：

柏拉图的“浪子”（Platonic Prodigals）

如果把四个正方形或三个六边形交汇在同一顶点时我们看到同样的结果发生了，平面被这三种形状无限剖分。因此我们称这些多余的正多边形为柏拉图多面体传统家族的亲戚——它们属于漂泊在外、无家可归的浪子。

如果我们非要把超过六个的等边三角形、超过四个的正方形或者超过三个的、比上述两种形状边数更多的任意正多边形交汇在同一顶点上，那样空间就被用光了——原因很简单：我们不可能聚集那么多的角度，空间容不下了。因此，柏拉图多面体是仅有的五种正多面体。

还有一件事情值得注意，那就是数字5——一个明确的有限数字——这个数字是在思考了几何规则性和对称性之后推导出来的。规则和对称都是自然而又美丽的事物，值得我们思考，但它们和具体的某一个数字之间并没有明显又直接的联系。柏拉图对于这个意味深长的数字做出的解释极富想象力。我们下面听听他是怎么说的。

|史前时代|

出了名的人常常把别人的功劳据为己有。这就是社会学家罗伯特·莫顿（Robert Merton）提出的“马太效应” ，《马太福音》就涉及了这个观察：

凡有的，还要加倍给他，叫他有余。凡没有的，连他所有的，也要夺去。

这句话用在柏拉图多面体上也很恰当。

在牛津大学的阿斯莫林博物馆里陈列着五块经过雕琢的石头 ，这些石头的来历据说可以追溯到公元前两千年的苏格兰，它们看上去就像是柏拉图多面体（尽管一些学者对这样的说法存有争议）。它们极可能是某种掷骰子游戏里用的骰子。我们可以想象，那个时期的人类居住在洞穴里，挤在篝火周围，全神贯注地玩着古石器时代的“龙洞迷宫探宝”。也许是和柏拉图同时代的特埃特图斯（公元前417—前369） 第一次用数学证明了那五种固体形态是唯一可能的正多面体。目前尚不清楚柏拉图到底多大程度地影响了特埃特图斯，抑或他受到了特埃特图斯的影响，还是他们都共同呼吸的空气里有什么灵气？因为他们都生活在雅典。不管怎么说，柏拉图多面体用了柏拉图的名字命名，因为柏拉图创造性地运用它们为实体世界提出了一个远见卓识的理论，他真是一个富有想象力的天才！

当我们往更久远的远古回溯就会发现生物圈中有一些最简单的生物，其中包括病毒和硅藻类植物（一种海藻，它们的外骨骼都是柏拉图多面体的形状）。它们早在人类在这个地球直立行走以前不但“发现”而且“活现”了柏拉图多面体，这绝非偶然。能引发乙肝的疱疹病毒、艾滋病毒以及其他许多危险的病毒的形状很像正二十面体或正十二面体。它们的形状取决于蛋白质外骨骼，其中包裹着其遗传物质——脱氧核糖核酸（DNA）或核糖核酸（RNA），详见 彩图D 。外骨骼有很多不同的色彩，每一种颜色代表一种构件。立刻跳入眼帘的是十二面体的标志性特征，会聚于一点的三个五边形。如果我们将蓝色区域的中心点以直线连接就会出现一个二十面体。

还有更为复杂的微生物也体现了柏拉图多面体，其中就有放射虫；恩斯特·海克尔 创作了一部精彩绝伦的科普书，书名叫《大自然的艺术形式》（ Art Forms in Nature ），他在书中将放射虫画得特别可爱。在图8里我们所看到的是这些单细胞生物复杂的硅基外骨骼。放射虫是一个非常古老的物种，我们在一些古化石上能够看到它们的踪迹；直到今天在浩瀚的海洋里它们仍然兴旺地繁衍着。柏拉图多面体的每一种形状都被一定种类的放射虫逼真地呈现，有些种类的英文名字甚至以柏拉图多面体的某个形状命名好让人们铭记多面体的神灵，如六角八门孔虫、球形放射虫和十二门放射虫。

｜欧几里得的启示｜

欧几里得的《几何原本》无疑是最伟大的教科书，至今经久不衰。这部书使几何学变得严谨和系统化。从长远来看，这部书为几何在思想领域建立了“分析与综合”的方法。

“分析与综合”是伊萨克·牛顿首创的，也是我们对“还原论”的叫法。牛顿的原话是这样说的：

我们说的分析便是从复合物中找出它们的成分，从运动中追索其动力。总的来说，就是从结果中找到原因，从某些特定的原因推导出更加普遍的原因，直到这场论证达到最广的适用范围；以上就是“分析”的方法。“综合”的过程包括接受已经找到了的原因并且将其设立为原理，从这些原理出发解释已知的现象并且证明这种解释是合理的。

牛顿的这个方法在策略上和欧几里得研究几何的方法很相似，即从简单直观又不言自明的公理中推导出丰富而又惊人的结论。牛顿不朽的著作《原理》 奠定了现代数学物理的基础。这部书的写作手法也沿袭了欧几里得的阐述文风，按照逻辑结构逐步地从公理推导出主要结论。

有必要强调一下，所谓公理（或者称为物理学定律）并不会告诉你们该利用它们做什么。如果将它们漫无目的地串联在一起很容易得出一大堆正确的结论，但它们没有价值而且很快就被遗忘了——就像一场不知所云的闹剧或者一段背景音乐一样，产生不了什么影响。有些人试图采用人工智能进行富有创造性的数学推导，结果发现为推导设定目标才是他们面临的最大挑战。倘若心中有一个值得付诸努力的目标，那么寻找实现目标的具体手段也就会简单很多。在中餐馆子里饭后掰福饼的环节是我最喜欢的 ，里面的字条写得真精辟：

工作本身就是你最好的老师。（The work will teach you how to do it.）

当然，作为一种写作技巧，设立一个看得见而且鼓舞人心的目标更容易吸引学生以及未来的读者，也便于他们加深印象从而付诸行动去实现目标，因为他们从一开始便可以预见到这将是一段奇特的旅程，他们将迈着势不可当的步伐，从显而易见的道理出发前往那些不可预知的结论。

那么欧几里得撰写《几何原本》的目的何在？在此书的第十三卷也即全书的最后一卷里，欧几里得构造了柏拉图多面体并证明了它们确实只有五种。一想到欧几里得尚在起草这部书的时候脑子里就有了这个结论，我就心悦诚服。不管怎么说，这是一个恰如其分又令人满意的结论。

|柏拉图的原子|

古希腊人认为物质世界包含着四种基本成分，或者叫作四种元素：水、火、土和空气。你们也许注意到了，元素的数量4很接近5这个数字，而正多面体又只有五种形状。柏拉图肯定也注意到了这一点！在他那部影响广泛、富有远见却又高深莫测的《蒂迈欧篇》（ Timaeus ）中我们不难找到那个基于这五种多面体的元素理论，不得不说他是个有远见的人。书里大致写道：

每种元素均由不同种类的原子构成而原子都呈柏拉图多面体的形状。火的原子是四面体，水的原子是二十面体，土的原子为立方体，空气的原子为八面体。

如此对应不乏一定的合理性，也确实有些说服力。火原子的顶点处很尖利，所以人接触到火的时候都会感到刺痛。水原子最圆滑，所以它们可以环绕着彼此顺畅地流动。土原子可以紧密地聚集，它们可以把空间填满而不留缝隙。空气既有温度又有湿度，其原子的性质介于水火之间。

说到这里，4虽然接近5却不等于5，因此元素和作为原子的正多面体之间还没有形成完美的匹配。如果柏拉图仅仅是一位有才华的思想家，他或许会在这些困难面前止步。可柏拉图才不会气馁呢，他这样的天才是百折不挠的，他把这样的困难看成机会，也把它当作挑战。剩下的正多面体是十二面体，他提出造物主的创世构想中并非忽略了十二面体，但十二面体并不是原子。十二面体不能仅仅就是个原子——它是整个宇宙的形状。

亚里士多德一辈子都想胜柏拉图一筹，他修改了这个理论，让它变得保守理性也更一致。这位富有影响力的哲学家提出过很多伟大的思想，其中有两条重要的观点就是：月亮、地球和恒星都存在于天界，形成这个天界的物质和我们在世俗世界所看到的物质截然不同。由于“自然界讨厌真空”，因此这个天界不可能空空如也，那么天界必须被一种物质填充，也就必须存在第五元素；它非土非水非火也不是空气却充斥在整个天界。这样，十二面体作为第五元素的原子终于占据了一席之地；这个第五元素也叫以太。

当然，无论是柏拉图的概念还是亚里士多德的观点，这些理论的细节让当今的我们很难苟同。在科学研究上，我们尚未发现用这四种（或五种）元素来分析世界构成的实用性；现代概念下的原子连坚硬的固体都不是，更不会是柏拉图多面体。今天看来，柏拉图的元素理论相当幼稚，每一个观点都差点儿把我们带进沟里。

｜对称中的结构｜

然而，即使柏拉图的想法不能被称为科学的理论，但他的洞察力却不失预见性。我敢说，那真是一种富有智慧的思维艺术。为了欣赏这个艺术的“大美”，我们就要着眼于大局，规避细节，而不能纠结于“小美”。实体世界必须在根本上体现美的概念，这是柏拉图对于实体世界最深刻也是最核心的洞察。所谓的“美”只能是一种极其特殊的美，它是由数学规律和完美对称产生的美感。柏拉图视这种直觉的洞察如同信仰，它是一种渴望，同时也是指导自己的方针。毕达哥拉斯也是如此，他们二人都想证明物质是最纯粹的精神产物以谋求物质与精神的和谐统一。

这里有必要强调一下，柏拉图硬是把自己的一些观念提升，超越了一般的哲学范畴，对“物为何物”做出了具体的说明。他的一些具体想法虽然并不正确，却还不至于沦落到“甚至连错误都谈不上”的悲惨境地。我们也看到了，柏拉图做了些初步的尝试，为我们指了一条路，让我们朝着那个方向将他的理论和现实做比较，诸如火让人感到刺痛因为四面体有尖角、水流涓涓因为二十面体可以彼此顺畅地滑过，等等。在《蒂迈欧篇》的对话中他把自己的观点讲得很详细，你会发现他为我们现在称之为化学反应和复合（比如，非基本的）材料的属性给出一些稀奇古怪的解释，这些解释的根据则是原子的几何结构。但是这些粗浅的泛泛之谈不足以让我们把它当作严肃的科学理论从而考虑进行实验测试，更不会仔细研究它以发掘它的实际用途。

然而，在很多方面柏拉图的远见里蕴含了现代科学思维最前沿的诸多想法。

虽然柏拉图提出的物质构成和我们今天的认知不同，但他的想法——物质只由少数几种元素构成，同种元素完全相同——至今仍具有最根本的重要性。

柏拉图的远见不只是模糊的启示，还有一个千古流芳的更具体的方略，即从对称推导出结构。沿着这条思路我们用纯数学的思考——基于对称的思考——得出了少量的特殊结构并呈现给大自然，为她所创作的艺术作品提供设计元素。柏拉图构建他的元素时援引的数学对称性不可能和我们今天所使用的对称同日而语，但“对称乃自然之根本所在”这一理念却开始主宰了我们对物理实相的认知。当面对未曾探索的未知时，我们的指路星辰便是有些牵强的理念，对称决定结构：人们利用数学完美地苛求对所有的可能性进行挑拣并汇集成一个短短的列表，这个列表便是构建世界模型的手册。这个想法简直是一种胆大妄为的亵渎，因为它声称我们可以将自然巧匠的手法解码并确切地知道他（她）如何创造世界。然而，我们将会看到这个想法原来竟然如此地深刻而又正确。

我们都知道，柏拉图为物质世界的创造者冠以“造物主”的称号，我们则称之为“巧匠”。虽然这个字眼显得太普通了，但却是精心挑选的。它反映出柏拉图的一种信念；他相信实体世界并非终极实相，一定存在着一个永恒的、不受时间局限的理想世界，而这个世界势必在实体世界出现之前就独立地存在。实体世界不过是理想世界具象化的载体，因此它肯定不够完美。这位不知疲倦却极有艺术才华的“巧匠”将自己的思想造成“形”，再把这些“形”当作模板复制了更多的“形”，创造了现在的世界。

解读《蒂迈欧篇》并非易事，这部书常常将读者引入歧途，误将晦涩当作深奥。即便如此，本人仍觉这部书富有趣味而且鼓舞人心。因为柏拉图并没有止步于柏拉图多面体，他反而开始思考更简单的三角形如何构建出那些形状的原子，即那些有形的物体。当然，书中的细节“甚至连错误都谈不上”。但是，严肃对待模型，用其自身的语言解读并不断设立新的极限——这些追索的本能却是完全正确的。原子可能含有亚成分这个想法预言了现代人要更加深入探索和分析的雄心。书中还提出这些亚成分可能不会像普通的物体一样独立存在而只能在更复杂的物体之中才能发现它们，这种可能性已经在今天被永远禁闭在原子核内部的夸克和胶子实现了。

尤为重要的是，我们在柏拉图的这些猜想中发现有一个观点针对我们的思索至关重要：我们的世界（究其最深层的结构）即为美的载体。这个观点是柏拉图猜想的精神衣钵。柏拉图提出世界最基本的结构，也就是物质的原子承载和体现了纯粹的观念，人类单凭大脑是可以发现和表达这些观念的。

｜简要清通｜

回过头来再说说前面讲的细菌：它们学过几何吗？

这是一个外繁内简的例子，或者更确切地说是利用简单的规则产生表面上看起来很复杂但在理想化的理念上却很简单的结构。问题是这些细菌的DNA必须在细菌存活的方方面面对其发出指令，但DNA的大小却相当有限。为了使这部“生产手册”言简意赅且篇幅简短，我们的产品最好是由简单而相同的零件按照相同的方式组装出来的。那是我们早就听过的曲调：“简单的相同成分按照相同的方式组装在一起”正好符合了对柏拉图多面体的定义！因为攒零合整，所以细菌无须“懂”十二面体或者二十面体究竟是怎么回事——它们只需“知道”三角形就够了，外加上一两条将它们拼装的规则便可。倒是那些更加多样化、更加不规则、表面上看似杂乱无章的形体，譬如人类的躯体，则需要更加详细的安装说明方可。当信息和资源都有限的时候对称就会冒出来充当默认的结构。

｜青年开普勒和天体乐章｜

继柏拉图提出自己的创见两千年之后，年轻的约翰内斯·开普勒又在柏拉图的启发下发现了自己的使命。这一次他同样还是围绕着数字“5”这个中心。开普勒是早期哥白尼学说狂热的追随者，他将太阳置于创世的中心并试图了解整个太阳系的结构 。那时候已经有六颗行星为人类所认知：水星、金星、地球、火星、木星和土星。你们不难发现，“6”这个数字也很接近“5”。这难道是巧合吗？开普勒认为这绝非巧合。在创世之初，对于造物主来说还有什么比使用完美的几何体更有意思的事情呢？

哥白尼和托勒密如出一辙，他的天文学基础是圆周运动。这是对美所做的另一个误判，而这种误判却得到了柏拉图和亚里士多德的支持（误判在很大程度上因他俩而生）。只有圆形这种最完美的形状才配得上创世，行星都被拖行在一个天球上。虽然哥白尼和开普勒就何为天球的中心各有说辞（太阳还是地球），但他们俩都想当然地认为确实存在这样的天球，年轻的开普勒也不例外。开普勒想，围绕着太阳已经有六大星球了，于是他不禁要问：为什么是六个，而且为什么它们具有如此不同的大小？

有一天正当开普勒讲授一节天文学的入门课时，他突然灵机一动想出了答案。头五个天球的每一颗外切出一个正多面体，另一颗内切于一个不同的柏拉图多面体。这样五个正多面体一个套一个地斡旋于六个天球之间！然而，只有在球体的大小合适的情况下这个体系才能成立。开普勒使用这种方法预测了不同行星和太阳之间的距离。开普勒坚信自己发现了上帝的蓝图，他狂热地将这个发现写在纸上，在他的著作《宇宙的奥秘》里写满了类似的语录：

面对天国和谐的仙境，我感到一阵眩晕，发觉自己被一种难言的狂喜迷了心窍。

还有

上帝为人太好，一刻不停歇，没事就玩符号的游戏，在世界随处都留下他的神秘象征。因此才会让我偶然想到大自然的一切和优美的天空都象征了包含在几何中的艺术。

的确，那真是一个华美绝伦的体系，从图9的模型里我们可以看到它的辉煌壮丽。

显然开普勒也问了我们所提出的问题并确信他已经有了答案：世界确实是美的载体，他的答案非常符合柏拉图的预想。继而他就音乐的确切性质探讨了那些旋转的天球所奏出的乐章，细节相当具体，他甚至写出了乐谱！

然而开普勒的人生无论事业还是个人生活都充满了艰辛，是他的热忱让他坚持了下来。宗教改革 运动后，战争频发，宗教斗争和政治运动席卷欧洲中部，开普勒正好处在这些战争和风潮的旋涡中心。

他的母亲曾被指控施巫术，而他自己则老实辛苦地钻研，想要精确地表述行星的运动规律。结果，他的成果和发现却颠覆了自己青年时的理想。因为行星运转时画的不是圆圈，而是椭圆（开普勒第一定律）。太阳也并不正好处于这些椭圆轨迹的中心位置（用专家的话讲，它处于一个焦点上）。最终，在开普勒更加成熟而准确地为大自然绘制的蓝图上浮现出了更深刻的大美。但是那些更深刻的美却和他青年时期的理想大不相同，他甚至没有在活着的时候看到那样的美。 1S9wI6ShmZeP3mfDX7kbkPXxR71VcOnDjeTvVTCTIqAJgoCo8UldiQw+ChqkaMcP