毕达哥拉斯定理

首先，毕达哥拉斯本人被毕达哥拉斯定理震惊和感动了，以致当他发现了这个定理之后这个素食者竟然开戒举办了一次闻名遐迩的百牛大祭——破例杀了一百头牛用以祭祀，仪式之后还举行了盛大的宴会——叩谢缪斯女神。

至于如此兴师动众吗？

毕达哥拉斯定理（勾股定理）陈述了直角三角形边线之间的关系。直角三角形即三个角中包含一个90°角的三角形。通过勾股定理我们可以得出以直角三角形的任意一边组成正方形，两个直角边组成的正方形面积之和等于斜边组成的正方形面积，下图所示即“勾三股四弦五”这个特例：

如图1所示，两个较小的正方形面积分别为3 ² =9以及4 ² =16，依照毕达哥拉斯当时的思路只需数一数那些小方块即可得出结论。最大的正方形面积为5 ² =25，由此我们得以验证9+16=25。

现在我们大多数人都听说过毕达哥拉斯定理，哪怕对它的印象只是当时在学校里学习几何时所残留的一点模糊的记忆。如果让你们回过头来重新看待这个定理，如果你们是当时的毕达哥拉斯，乍听到这里面传递的信息你们也会觉得是惊天奇闻。这个定理向我们说明，物体的几何结构里包含着隐藏的数字关系。换句话说，数字即便尚不能解释一切，至少它们描述了实体和实相的一些至关重要的东西，即存在于实体和实相中实物的大小和形状。

在后面的探讨中我们还将接触到比这个定理复杂高深得多的概念，届时我不得不借助比喻和类比以达其义，这时人们在精准的数学思维中把清晰的概念拼接得严丝合缝所获得的那种妙趣和意境便顿然失色了。但是别担心，毕达哥拉斯定理的魔力在于人们可以毫不费力地验证它，所以在这本书中我们有机会体验这种妙趣。那些最精彩的论证都十分令人难忘，使人一辈子记忆犹新，它们深深地鼓舞了阿道司·赫胥黎 和阿尔伯特·爱因斯坦——更不用说毕达哥拉斯本人啦！我由衷地希望各位读者也能体会到这种妙趣。

|圭多的论证|

“太简单啦！”

这就是阿道司·赫胥黎的短篇小说《少年阿基米德》（ Young Archimedes ）里的小主人公圭多说的话，当时他正在推证毕达哥拉斯定理。彩图C所示的图形为圭多论证的基础。

|小圭多的玩具？|

现在让我们详细解读一下到底什么东西让圭多一目了然。

彩图C 为两个大大的正方形。两个大方块中都有四个不同颜色的三角形，而且两个方块中都能找到同种颜色的三角形一一对应；所有颜色的三角形都是直角三角形而且具有相同尺寸。比方说最短的直角边长度为 a ，另一条直角边的长度为 b ，最长的斜边为 c ，这样我们很容易看出两个大正方形（大方块）边的长度是 a + b ；尤其明显的是这两个大方块还具有相同的面积。

那么面积相同又意味着什么呢？在第一个大方块里，我们能在左上角看到一个蓝色的正方形，它的边长为a，右下角还有一个红色的正方形，它的边长则是b；这两个正方形的面积分别是a ² 和b ² ，而它们的面积之和为a ² +b ² 。在右面第二个大方块里，我们看到一个灰色的正方形，它的边长是c，而它的面积就是c ² 。想想前文，我们便得出如下的结论：

a ² +b ² =c ²

这不就是毕达哥拉斯定理嘛！

|爱因斯坦的论证（？）|

爱因斯坦在他的《自述》（ Autobiographical Notes ）里回忆说：

我记得有位叔叔给我讲了毕达哥拉斯定理，那个时候我还没碰过那本关于几何学的神圣小册子 呢。我费了好大劲用相似的三角形才“证明”出这个定理。通过这个方法，直角三角形各个边之间的关系在我看来更“明显”了，它们都取决于其中的一个锐角……

针对爱因斯坦的说法我实在没有足够的细节来准确地重现他的论证，下方的图2则是本人做出的尽量合理的猜测。这个猜测应该靠谱，因为它是对毕达哥拉斯定理最简洁的论证，朴素却妙不可言。这个论证尤其将毕达哥拉斯定理为何涉及了三角形边长的平方解释得相当透彻。

|一块抛光的宝石|

我们注意到任何含有角φ的直角三角形都是相似的。更精确地讲，对任意一个这样的直角三角形按比例地整体进行缩放便得出一个和它相似的直角三角形。另外，如果三角形的边长根据某个因子发生了伸缩，那么三角形的面积也应随着这个因子的平方扩大或缩减。

想想图2所呈现的三个直角三角形：大的三角形及其包含的两个小三角形。这三个三角形都有一个角φ，因此它们互为相似三角形。它们的面积从小到大依次正比于a ² 、b ² 、c ² 。由于两个小三角形合起来就是大三角形，大三角形相应的面积也应是两个小三角形相加之和：a ² +b ² =c ² 。

毕达哥拉斯定理就这样又冒出来啦！

｜妙不可言的讽刺｜

具有绝妙讽刺意味的是毕达哥拉斯的这个定理可以用来摧毁他自己的信条：万物皆数。

毕达哥拉斯学派没有把这个不太体面的结果归功于毕达哥拉斯本人，而是加在了另一个成员、他的学生希帕索斯（Hippasus）的头上。希帕索斯在发现这个问题后不久便葬身大海了，他的死因究竟是惹恼了众神还是激怒了毕达哥拉斯学派至今仍是人们争论的焦点。

希帕索斯的推理十分巧妙但并不那么复杂。现在就让我们轻松地浏览一番。

等腰直角三角形两个直边的长度相等——也就是说， a = b 。根据毕达哥拉斯定理：2×a ² =c ²

现在我们设想 a 和 c 的长度都是整数。如果万物皆是数，这假设要是合理的当然好啦！可我们发觉这样根本不可能。

如果 a 和 c 都是偶数，我们可以将边长缩短一半，得到一个相似。我们可以不断地将边长减半，直到 a 或 c 中至少有一个变成了奇数。

无论选择 a 或 c 是奇数，我们都很快会将自己逼近死胡同。

首先我们设想 c 是奇数，那么c ² 也是奇数，但2×a ² 显然是偶数，因为这个式子含有2这个因子。如此说来，我们得不出根据毕达哥拉斯定理推导出的2×a ² =c ² 。简直是矛盾！

或者换种方式，假设 c 是偶数（这时 a 一定是奇数）， c =2× p 。那么c ² =4×p ² 。毕达哥拉斯定理告诉我们，如果等式的两边分别以2相除，即会得出a ² =2×p ² 。那么a就不能是奇数。和前面一样，还是矛盾！

如此说来，至少万物不可能皆是整数。不可能存在这样一个长度的单元让所有可能的长度都是这个长度单元的整数倍。

毕达哥拉斯学派的成员似乎根本没有想到可以从中得出完全不同的结论，他们更没有想到该如何拯救“万物皆数”的学说。其实完全可以假设一个世界，它的空间是由许许多多相同的原子构成的。事实上，我的友人艾德·弗雷德金（Ed Fredkin）和史蒂芬·沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）提倡的基于细胞自动机 的世界模型就是由完全相同的细胞构成的。电脑屏幕是由一种被我们称作像素的东西构成的，它向我们展示上面的世界竟然看起来可以如此真实！按照逻辑，正确的结论应该是：在如此的世界里，人类不可能造出一个完全精准的等腰直角三角形，必须允许出现小小的误差。“直角”不可能正好就是90°，两条腰不见得正好相等——或者就像电脑屏幕一样——三角形的两腰可能不完全是直的。

古希腊的数学家并没有什么选择的余地，他们倒是更愿意把几何想成更迷人的连续形式，那样我们既可以有直角也可以有等腰。（事实证明，这个选择对于物理研究是最富成效的；牛顿的成果便是很好的证明。）要做到这一点，我们必须优先考虑几何而将算数忽略，个中的原因你们也看到了——整数甚至不足以描述一个非常简单的几何图形。因此对于“万物皆数”这个信条，古希腊的数学家们摒弃了其字面意思，只秉承了其中的精神。 EYV4f/K9xc7CJKlRVvXO6k++vDy/WSDmy87lTuKx1u04avGjmQ9re6bPznpce0HW