自《孙子算经》提出“物不知数”问题以后，引起了人们的很大兴趣。《孙子算经》所示算法的思路启发人们认识到，求解一次同余式组

N≡R1（moda1）≡R2（moda2）≡R3（moda3）

的关键是在寻找三个与1同余的数的乘积，即设计辅助系数K ₁ ，K ₂ ，K ₃ 使如下同余式成立：

K ₁ a ₂ a ₃ ≡1（moda ₁ ）

K ₂ a ₁ a ₃ ≡1（moda ₂ ）

K ₃ a ₁ a ₂ ≡1（moda ₃ ）

那么，所求数N依下式求得：

N=R ₁ K ₁ a ₂ a ₃ +R ₂ K ₂ a ₁ a ₃ +R ₃ K ₃ a ₁ a ₂ -pa ₁ a ₂ a ₃

（式中p非负整数）当然，在简单的情况下，K i可以通过观测试算得出，可它的一般方法呢？此外，如若“物不知数”设问的三个模数不是两两互素，“孙子歌”便行不通。因此，中算家在深入研究“物不知数”问题时，必然面临如何求解模数不两两互素的同余式组：

N≡R ₁ （mod A ₁ ）

≡R ₂ （mod A ₂ ）

……

≡Rn（mod A n）

式中Ai称为“问数”，一般不两两互素。秦九韶的“大衍总数术”便是解决这一问题的杰出创造。

1247年，秦九韶《数书九章》问世。全书18卷，81道数学问题按应用分为9类：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅和市物。《数书九章》开篇第一卷“大衍类”问题，就是一次同余式组问题，而其中“大衍总数术”是对一次同余式组的辉煌总结。

“大衍总数术”包括两大部分：

其一是化问数为定数。即将问题所给数据标准化，“问数”即模数。一般说来，模数{Ai}并不两两互素，因此，首先需要把模数{Ai}约化为一组两两互素的模数{ai}。

其二是运用剩余定理的求解程序，计算

秦九韶为式中各数设定了一套特别的术语：

定数a _i ，且两两互素：（a _i ，a _j ）=1

衍母M=a ₁ a ₂ a ₃ ...a _n

衍数M _i =M/a _i

乘率K _i ，满足Kig _i ≡1（moda _i ），

奇数g _i ，g _i 〈a _i ，若g _i =1，则1（单数）即为乘率

用数K _i M _i

求乘率K _i 的算法就是著名的“大衍求一术”。秦九韶化问数为定数的基本算法是：两两连环求等，约奇弗约偶。

所谓“连环求等”，即是A ₁ ，A ₂ ，……，A n要两两相见，不重不漏。具体做法是先以A n与A n-1，……，A ₂ ，A ₁ 求等相约，尔后以A _{n - 1} 与A n-2，……，A ₂ ，A ₁ 求等相约，最后是A ₂ 与A ₁ 求等相约。这样经过（n-1）“变”，可以约化完毕，得到一组互素的定数{a _i }。在每一变中，各元数a _i 的地位不尽相同。例如，在第一“变”中，A n要与n-1元数配对相约，而其它元数仅只与A n配对相约一次，为了表示这种区别，秦九韶将元数A n称之为“偶”，而把其余的元数A n-1，……，A ₂ ，A ₁ 皆称为“奇”。

所谓“约奇弗约偶”，是说在第k变中，一般是用等数去约处于“奇”位的元数A _j （1≤j〈n-k+1），而不约处于“偶”位的元数a _n-k+1 .只是在特殊的情形才有例外。对此，秦九韶特加注说明“或约得五，而彼有十，乃约偶弗约奇”。其意是说，只有在“约奇弗约偶”后仍有等数，而“约偶弗约奇”结果互素的情形，才“约偶弗约奇”。这种情形秦氏称为“反约”。

“大衍类”第八问“积尺寻源”是“求等相约”的典型算例。特以此例说明秦氏“大衍总数术”的解算过程。

问：欲砌基一段，见管大小方砖、六门砖、城砖四色。令匠取便，或平或侧，只用一色砖砌，须要适足。匠以砖量地计料，称：用大方料，广多六寸，深少六寸；用小方，广多二寸，深少三寸；用城砖，长广多三寸，深少一寸；以阔深少一寸，广多三寸；以厚广多五分，深多一寸；用六门砖，长广多三寸，深多一寸；以阔广多三寸，深多一寸；以厚广多一寸，深多一寸；皆不匼匝，未免修破砖料稗补。其四色砖：大方方一尺三寸，小方方一尺一寸，城砖长一尺二寸，阔六寸，厚二寸五分；六门砖长一尺，阔五寸，厚二寸。欲知基深广几何。

答曰：深三丈七尺一寸，广一丈二尺三寸。

术曰：以大衍求之。置砖方、长、阔、厚为元数，以小者为单，起一，先求总等，存一位，约众位[列位多者，随意立号]，乃为元数。连环求等，约为定母。以定相乘为衍母，各定约衍母得衍数，满定去之得奇。奇定大衍得乘率，以乘衍数得用数。次置广深多少数，多者乘用，少者减元数，余以乘用，并为总。满衍母去之，不满得广、深。

如设地基的宽度和进深分别是x，y（单位：分），那么本题就是要解两个同余式组：

x≡60（mod130）≡30（mod120）≡20（mod110）≡30（mod100）

≡30（mod60）≡30（mod50）≡5（mod25）≡10（mod20）；

y≡-60（mod130）≡-10（mod120）≡-30（mod110）≡10（mod100）

≡-10（mod60）≡10（mod50）≡10（mod25）≡10（mod20）；

下面以广为例，说明解算过程。

第一步，以八音（金、石、丝、竹、匏、土、革、木）为号记其问数，从大到小“锥形置之”。按“两两求等”原则进行约化（见表2.1）。

经过求等相约之后，原问数约化为13（金），8（石），11（丝），1（竹），3（匏），1（土），25（革），1（木），此八数两两互素，称为“定数”。原同余式组可简化为：

x≡60（mod13）≡30（mod8）≡20（mod11）

≡30（mod3）≡5（mod25）；

第二步，原同余式组已转化为“孙子问题”。下面求“乘率”Ki:

K ₁ ×8×11×3×25≡1（mod13）

K ₂ ×13×11×3×25≡1（mod8）

K ₃ ×13×8×3×25≡1（mod11）

K ₅ ×13×8×11×25≡1（mod3）

K ₇ ×13×8×11×3≡1（mod25）

对左边进行“模运算”，得到同解的同余式：

K ₁ ×9≡1（mod13）

K ₂ ×5≡1（mod8）

K ₃ ×1≡1（mod11）

K ₅ ×1≡1（mod3）

K ₇ ×7≡1（mod25）

至此，原同余式组转化为求解单个同余式：

Kig _i ≡1（moda _i ）

式中K _i ，称为“乘率”，g _i 称为“奇数”，即：

g _i =a ₁ …a _i -1a _i +1…-sia _i

s _i 为非负整数。

秦九韶给出了求解K _i 的规范化算法——“大衍求一术”，原术如下：

大衍求一术云：置奇右上，定居右下。立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，递互除之。所得商数，随即递互累乘，归左行上下。须使右上末后奇一而止。乃验左上所得，以为乘率。或奇数已见单一者，便为乘率。

下面给出求K ₇ ×7≡1（mod25）的推演过程：

求得K ₇ =18，同理可求得K ₁ =3，K ₂ =5。

本问的最后结果可由下式推出：

N≡R ₁ K ₁ M ₁ +R ₂ K ₂ M ₂ +R ₃ K ₃ M ₃ +R ₅ K ₅ M ₅ +R ₇ K ₇ M ₇ （mod M）

其中：R _i =60，30，20，30，5;（i=1，2，3，5，7.下同）

K _i =3，5，1，1，18;

a _i =13，8，11，3，25;

M=a ₁ a ₂ a ₃ a ₅ a ₇

M _i =M/a _i

求得N的最小整数解是1230。 68eMT4GmNFRJAg8HTRa4BlKIixiTyAp9QMkQ1UtJ8tpaaULFGpFZbqJRdK0zahYm