《孙子算经》卷下第26题“今有物不知其数”即著名的“孙子定理”，也正是这一问题，使《孙子算经》成为载入世界数学史册的著名数学典籍。

其问是：

今有物不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

这是一个一次同余式组问題。用现代数学符号表示，即是：

N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）

求满足条件的最小正整数。答案是N=23。

《孙子算经》给出了这一问题的解法。术曰：

（取自《宋刻算经六种》，北京：文物出版社，1980年）

三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。

按术文的前半段，给出本题的解：

N=70×2+21×3+15×2-105×2=23

而术文的后半段，则给出这类一次同余式组的一般解法。即，设三个模数为3、5、7，相应的余数为R ₁ ，R ₂ ，R ₃ ，满足下面同余式组N≡R ₁ （mod3）≡R ₂ （mod5）≡R ₃ （mod7）的一般解是：

N≡70R ₁ +21R ₂ +15R ₃ -105p;（p为正整数）

《孙子算经》所述术文简略，没有说明解法的原理，但从解的构造则能窥探出几分奥秘。术文中三个关键性数字70、21、15具有下述性质：如70被3除余1，被5、7整除；21被5除余1，被3、7整除；15被7除余1，被3、5整除。用记号R[M]表示R的整倍数，上述性质可表述为：

70=3[M]+1=5[M]=7[M]

21=3[M]=5[M]+1=7[M]

15=3[M]=5[M]=7[M]+1

各以所余R ₁ ，R ₂ ，R ₃ 乘之：

70R ₁ =3[M]+R ₁ =5[M]=7[M]

21R ₂ =3[M]=5[M]+R ₂ =7[M]

15R ₃ =3[M]=5[M]=7[M]+R ₃

三式相加：N ^* =70R ₁ +21R ₂ +15R ₃

=3[M]+R ₁ =5[M]+R ₂ =7[M]+R ₃

而 105=3[M]=5[M]=7[M]

选取适当的整数p，可使N=N ^* -105p=70R ₁ +21R ₂ +15R ₃ -105p是满足同余式组（1）的最小正整数解。

《孙子算经》的解法实际上可以概括成更一般的情形（见本章第3节），故称此类问题为“孙子定理”。

“物不知数”题不见于《九章算术》而首载《孙子算经》并不是偶然的。中国古代历法自汉代起就重视上元积年的推算，而以各种天文周期（如回归年、朔望月、近点月）和相应的差数来推算上元积年，则构成了一个求解一次同余式组的问题。因此，《孙子算经》虽以“物不知数”的游戏形式设问造术，而本质上则是古历推求上元方法流行于民间的生动体现。

《孙子算经》提出的“物不知数”问题引起了后世学者的很大兴趣。人们从术文知道解题的关键是在找到三个与1同余的数的乘积，故作诗文以助记忆，“物不知数”遂以各种形式得以流传普及。其主要线索有：

（1）宋杨辉“剪管术”。《续古摘奇算法》（1275年）载孙子问题，其“解题”下注称：“俗名秦王暗点兵，犹覆射之术”，并将题术定名为“剪管”。杨辉又为此法另拟四道问题，兹引述如下：

第一题：用工不知其数，差人支犒，每三人支肉一斤，剩五两八铢，乃三数剩二；每五人支钱一贯，剩零四百，是五数剩三；每七人支酒一掇，恰撞成掇，是七数无剩。问总工所支几何？

答数：98人，钱19贯600文，酒14掇，肉32斤10两16铢。

注意，杨辉所拟问题并未直接给出“用工”所余。“总工”是人数，而余数是物零，需将物零折算每人份数，物零有几份便可折合人数。

如：3人分肉，剩余5两8铢，即1/3斤，是1人份，即已分2份，故折合人数2，即人数为“三数剩二”。

5人支钱1000文，是每人200文；剩400文，是2人份，即已分600文，是3人份，故人数“五数剩三”。

第二题：七数剩一，八数剩二，九数剩三。问本总数几何。

答数：498。

第三题：十一数余三，十二数余二，十三数余一。问元总。

答数：14。

第五题：二数余一，五数余二，七数余三，九数余四。问原总数几何。

答数：157。

（2）宋周密“鬼谷算”。《志雅堂杂钞》（1290年）卷下“阴阳算术”条将孙子题术变作“鬼谷算”，又名“隔墙算”，所记算法是“先将钱不拘多少三数数之，凡遇剩一则下七十，二则下百四十。次五数数之剩一则下二十一，二则下四十二。又七数数之剩一，则下十五，二则下三十。总计其数，然后退一百五，或多则二百十，之外余者即是见在钱数也。”并以诗隐括：

三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇；

七度上元重相会，寒食清明便可知。

这里“上元”指正月十五元宵节，暗射15，“寒食”指清明节前一天，冬至后一百零五天是清明前后，暗射105.周密指出了解的构造“秘密”：“按此法取相乘之数也，如三则以五七相乘数，倍之。五则以三七相乘之数，七则以三五相乘，乘数合之得百零五。”

（3）明严恭“管数”。《通原算法》（1372年）载剩余问题称“此系管数”。

（4）明周述学“总分”。《神道大编历宗算会》（1558年）卷十“总分”条叙述剩余问题。所列五题与杨辉相同。

（5）明程大位“孙子歌”。《算法统宗》（1593年）卷五载“孙子歌”（又云“韩信点兵”）曰：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；

七子团圆正半月，除百零五便得知。

诗里对4个数据不绕弯道，和盘托出。此歌在民间广为流传，曾传至日本，影响甚广。 WYnFBBtvQCwqIEoYhyJYnatEHQWHIDDYRVG2abPsBJ78qZnS2otJt3NYED6JYPVV